I1M2010: Ejercicios sobre vectores y matrices en Haskell (2)
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos continuado comentando las soluciones a los ejercicios sobre vectores y matrices en Haskell de la 28ª relación que iniciamos en la clase del día 7.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Diagonales de una matriz -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir la función -- diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a -- tal que (diagonalPral p) es la diagonal principal de la matriz p. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> diagonalPral p -- array (1,2) [(1,5),(2,2)] -- ghci> vectorLista (diagonalPral p) -- [5,2] -- --------------------------------------------------------------------- diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a diagonalPral p = array (1,n) [(i,p!(i,i)) | i <- [1..n]] where n = min (numFilas p) (numColumnas p) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- diagonalSec :: Num a => Matriz a -> Vector a -- tal que (diagonalSec p) es la diagonal secundaria de la matriz p. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> diagonalSec p -- array (1,2) [(1,1),(2,3)] -- ghci> vectorLista (diagonalPral p) -- [5,2] -- --------------------------------------------------------------------- diagonalSec :: Num a => Matriz a -> Vector a diagonalSec p = array (1,n) [(i,p!(i,m+1-i)) | i <- [1..n]] where n = min (numFilas p) (numColumnas p) m = numFilas p -- --------------------------------------------------------------------- -- Submatrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (submatriz i j p) es la matriz obtenida a partir de la p -- eliminando la fila i y la columna j. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> submatriz 2 3 p -- array ((1,1),(2,2)) [((1,1),5),((1,2),1),((2,1),4),((2,2),6)] -- ghci> matrizLista (submatriz 2 3 p) -- [[5,1],[4,6]] -- --------------------------------------------------------------------- submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a submatriz i j p = array ((1,1), (m-1,n -1)) [((k,l), p ! f k l) | k <- [1..m-1], l <- [1.. n-1]] where (m,n) = dimension p f k l | k < i && l < j = (k,l) | k >= i && l < j = (k+1,l) | k < i && l >= j = (k,l+1) | otherwise = (k+1,l+1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Transformaciones elementales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Definir la función -- intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (intercambiaFilas k l p) es la matriz obtenida intercambiando -- las filas k y l de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> intercambiaFilas 1 3 p -- array ((1,1),(3,3)) [((1,1),4),((1,2),6),((1,3),9), -- ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6), -- ((3,1),5),((3,2),1),((3,3),0)] -- ghci> matrizLista (intercambiaFilas 1 3 p) -- [[4,6,9],[3,2,6],[5,1,0]] -- --------------------------------------------------------------------- intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a intercambiaFilas k l p = array ((1,1), (m,n)) [((i,j), p! f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p f i j | i == k = (l,j) | i == l = (k,j) | otherwise = (i,j) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Definir la función -- intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (intercambiaColumnas k l p) es la matriz obtenida -- intercambiando las columnas k y l de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (intercambiaColumnas 1 3 p) -- [[0,1,5],[6,2,3],[9,6,4]] -- --------------------------------------------------------------------- intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a intercambiaColumnas k l p = array ((1,1), (m,n)) [((i,j), p ! f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p f i j | j == k = (i,l) | j == l = (i,k) | otherwise = (i,j) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Definir la función -- multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (multFilaPor k x p) es a matriz obtenida multiplicando la -- fila k de la matriz p por el número x. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (multFilaPor 2 3 p) -- [[5,1,0],[9,6,18],[4,6,9]] -- --------------------------------------------------------------------- multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a multFilaPor k x p = array ((1,1), (m,n)) [((i,j), f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p f i j | i == k = x*(p!(i,j)) | otherwise = p!(i,j) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Definir la función -- sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (sumaFilaFila k l p) es la matriz obtenida sumando la fila l -- a la fila k d la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (sumaFilaFila 2 3 p) -- [[5,1,0],[7,8,15],[4,6,9]] -- --------------------------------------------------------------------- sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a sumaFilaFila k l p = array ((1,1), (m,n)) [((i,j), f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p f i j | i == k = p!(i,j) + p!(l,j) | otherwise = p!(i,j) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 24. Definir la función -- sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (sumaFilaPor k l x p) es la matriz obtenida sumando a la fila -- k de la matriz p la fila l multiplicada por x. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (sumaFilaPor 2 3 10 p) -- [[5,1,0],[43,62,96],[4,6,9]] -- --------------------------------------------------------------------- sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a sumaFilaPor k l x p = array ((1,1), (m,n)) [((i,j), f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p f i j | i == k = p!(i,j) + x*p!(l,j) | otherwise = p!(i,j) -- --------------------------------------------------------------------- -- Triangularización de matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 25. Definir la función -- buscaIndiceDesde :: Num a => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int -- tal que (buscaIndiceDesde p j i) es el menor índice k, mayor o igual -- que i, tal que el elemento de la matriz p en la posición (k,j) es no -- nulo. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> buscaIndiceDesde p 3 2 -- Just 2 -- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]] -- ghci> buscaIndiceDesde q 3 2 -- Nothing -- --------------------------------------------------------------------- buscaIndiceDesde :: Num a => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int buscaIndiceDesde p j i | null xs = Nothing | otherwise = Just (head xs) where xs = [k | ((k,j'),y) <- assocs p, j == j', y /= 0, k>=i] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 26. Definir la función -- buscaPivoteDesde :: Num a => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a -- tal que (buscaPivoteDesde p j i) es el elemento de la matriz p en la -- posición (k,j) donde k es (buscaIndiceDesde p j i). Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> buscaPivoteDesde p 3 2 -- Just 6 -- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]] -- ghci> buscaPivoteDesde q 3 2 -- Nothing -- --------------------------------------------------------------------- buscaPivoteDesde :: Num a => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a buscaPivoteDesde p j i | null xs = Nothing | otherwise = Just (head xs) where xs = [y | ((k,j'),y) <- assocs p, j == j', y /= 0, k>=i] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 27. Definir la función -- anuladaColumnaDesde :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Bool -- tal que (anuladaColumnaDesde j i p) se verifica si todos los -- elementos de la columna j de la matriz p desde i+1 en adelante son -- nulos. Por ejemplo, -- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]] -- ghci> anuladaColumnaDesde q 3 2 -- True -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> anuladaColumnaDesde p 3 2 -- False -- --------------------------------------------------------------------- anuladaColumnaDesde :: Num a => Matriz a -> Int -> Int -> Bool anuladaColumnaDesde p j i = buscaIndiceDesde p j (i+1) == Nothing -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 28. Definir la función -- anulaEltoColumnaDesde :: Num a => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a -- tal que (anulaEltoColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida a partir -- de p anulando el primer elemento de la columna j por debajo de la -- fila i usando el elemento de la posición (i,j). Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[2,3,1],[5,0,5],[8,6,9]] :: Matriz Double -- ghci> matrizLista (anulaEltoColumnaDesde p 2 1) -- [[2.0,3.0,1.0],[5.0,0.0,5.0],[4.0,0.0,7.0]] -- --------------------------------------------------------------------- anulaEltoColumnaDesde :: Fractional a => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a anulaEltoColumnaDesde p j i = sumaFilaPor l i (-(p!(l,j)/a)) p where Just l = buscaIndiceDesde p j (i+1) a = p!(i,j) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 29. Definir la función -- anulaColumnaDesde :: Fractional a => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a -- tal que (anulaColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida anulando -- todos los elementos de la columna j de la matriz p por debajo del la -- posición (i,j) (se supone que el elemnto p_(i,j) es no nulo). Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[2,2,1],[5,4,5],[10,8,9]] :: Matriz Double -- ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 2 1) -- [[2.0,2.0,1.0],[1.0,0.0,3.0],[2.0,0.0,5.0]] -- ghci> let p = listaMatriz [[4,5],[2,7%2],[6,10]] -- ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 1 1) -- [[4 % 1,5 % 1],[0 % 1,1 % 1],[0 % 1,5 % 2]] -- --------------------------------------------------------------------- anulaColumnaDesde :: Fractional a => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a anulaColumnaDesde p j i | anuladaColumnaDesde p j i = p | otherwise = anulaColumnaDesde (anulaEltoColumnaDesde p j i) j i -- --------------------------------------------------------------------- -- Algoritmo de Gauss para triangularizar matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 30. Definir la función -- elementosNoNulosColDesde :: Num a => Matriz a -> Int -> Int -> [a] -- tal que (elementosNoNulosColDesde p j i) es la lista de los elementos -- no nulos de la columna j a partir de la fila i. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[3,2],[5,1],[0,4]] -- ghci> elementosNoNulosColDesde p 1 2 -- [5] -- --------------------------------------------------------------------- elementosNoNulosColDesde :: Num a => Matriz a -> Int -> Int -> [a] elementosNoNulosColDesde p j i = [x | ((k,j'),x) <- assocs p, x /= 0, j' == j, k >= i] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 31. Definir la función -- existeColNoNulaDesde :: Num a => Matriz a -> Int -> Int -> Bool -- tal que (existeColNoNulaDesde p j i) se verifica si la matriz p tiene -- una columna a partir de la j tal que tiene algún elemento no nulo por -- debajo de la j; es decir, si la submatriz de p obtenida eliminando -- las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas es no nula. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]] -- ghci> existeColNoNulaDesde p 2 2 -- False -- ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]] -- ghci> existeColNoNulaDesde q 2 2 -- --------------------------------------------------------------------- existeColNoNulaDesde :: Num a => Matriz a -> Int -> Int -> Bool existeColNoNulaDesde p j i = or [not (null (elementosNoNulosColDesde p l i)) | l <- [j..n]] where n = numColumnas p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 32. Definir la función -- menorIndiceColNoNulaDesde -- :: Num a => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int -- tal que (menorIndiceColNoNulaDesde p j i) es el índice de la primera -- columna, a partir de la j, en el que la matriz p tiene un elemento no -- nulo a partir de la fila i. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]] -- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde p 2 2 -- Just 2 -- ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,2]] -- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde q 2 2 -- Just 3 -- ghci> let r = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]] -- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde r 2 2 -- Nothing -- --------------------------------------------------------------------- menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int menorIndiceColNoNulaDesde p j i | null js = Nothing | otherwise = Just (head js) where n = numColumnas p js = [j' | j' <- [j..n], not (null (elementosNoNulosColDesde p j' i))] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 33. Definir la función -- gaussAux :: Fractional a => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a -- tal que (gauss p) es la matriz que en el que las i-1 primeras filas y -- las j-1 primeras columnas son las de p y las restantes están -- triangularizadas por el método de Gauss; es decir, -- 1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p. -- 2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1 -- primeras columnas es nulas, entonces p. -- 3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo -- 3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene -- algún elemento no nulo a partir de la fila i, -- 3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j' -- de p, -- 3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de -- p1 tiene un elemento no nulo, -- 3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de -- la matriz p1 y -- 3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la -- columna j de p2 por debajo de la fila i. -- Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[3,2,5]] -- ghci> matrizLista (gaussAux p 2 2) -- [[1.0,2.0,3.0],[1.0,2.0,4.0],[2.0,0.0,1.0]] -- --------------------------------------------------------------------- gaussAux :: Fractional a => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a gaussAux p i j | dimension p == (i,j) = p -- 1 | not (existeColNoNulaDesde p j i) = p -- 2 | otherwise = gaussAux p' (i+1) (j+1) -- 3 where Just j' = menorIndiceColNoNulaDesde p j i -- 3.1 p1 = intercambiaColumnas j j' p -- 3.2 Just i' = buscaIndiceDesde p1 j i -- 3.3 p2 = intercambiaFilas i i' p1 -- 3.4 p' = anulaColumnaDesde p2 j i -- 3.5 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 34. Definir la función -- gauss :: Fractional a => Matriz a -> Matriz a -- tal que (gauss p) es la triangularización de la matriz p por el método -- de Gauss. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]] -- ghci> gauss p -- array ((1,1),(3,3)) [((1,1),1.0),((1,2),3.0),((1,3),2.0), -- ((2,1),0.0),((2,2),1.0),((2,3),0.0), -- ((3,1),0.0),((3,2),0.0),((3,3),0.0)] -- ghci> matrizLista (gauss p) -- [[1.0,3.0,2.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]] -- ghci> let p = listaMatriz [[3.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]] -- ghci> matrizLista (gauss p) -- [[3.0,2.0,3.0],[0.0,1.3333333333333335,3.0],[0.0,0.0,1.0]] -- ghci> let p = listaMatriz [[3%1,2,3],[1,2,4],[1,2,5]] -- ghci> matrizLista (gauss p) -- [[3 % 1,2 % 1,3 % 1],[0 % 1,4 % 3,3 % 1],[0 % 1,0 % 1,1 % 1]] -- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,0,3],[1,0,4],[3,0,5]] -- ghci> matrizLista (gauss p) -- [[1.0,3.0,0.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]] -- --------------------------------------------------------------------- gauss :: Fractional a => Matriz a -> Matriz a gauss p = gaussAux p 1 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Determinante -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 35. Definir la función -- determinante :: Fractional a => Matriz a -> a -- tal que (determinante p) es el determinante de la matriz p. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]] -- ghci> determinante p -- 0.0 -- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,3,4],[1,2,5]] -- ghci> determinante p -- 2.0 -- --------------------------------------------------------------------- determinante :: Fractional a => Matriz a -> a determinante p = product (elems (diagonalPral (gauss p))) |