I1M2010: Ejercicios de demostraciones de propiedades de funciones Haskell (relación 20)
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado la resolución de ejercicios de las relación 20 en la que se demuestran por inducción propiedades de funciones Haskell.
Las soluciones de los ejercicios se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1a. Definir por recursión la función -- sumaImpares :: Int -> Int -- tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números -- impares. Por ejemplo, -- *Main> sumaImpares 5 == 25 -- --------------------------------------------------------------------- sumaImpares :: Int -> Int sumaImpares 0 = 0 sumaImpares (n+1) = sumaImpares n + (2*n+1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1b. Definir, sin usar recursión, la función -- sumaImpares' :: Int -> Int -- tal que (sumaImpares' n) es la suma de los n primeros números -- impares. Por ejemplo, -- *Main> sumaImpares' 5 == 25 -- --------------------------------------------------------------------- sumaImpares' :: Int -> Int sumaImpares' n = sum [1,3..(2*n-1)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1c. Definir la función -- sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool -- tal que (sumaImparesIguales m n) se verifica si para todo x entre m y -- n se tiene que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales. -- -- Comprobar que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales para -- todos los números x entre 1 y 100. -- --------------------------------------------------------------------- -- La definición es sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool sumaImparesIguales m n = and [sumaImpares x == sumaImpares' x | x <- [m..n]] -- La comprobación es -- *Main> sumaImparesIguales 1 100 -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1d. Definir la función -- grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)] -- tal que (grafoSumaImpares m n) es la lista formadas por los números x -- entre m y n y los valores de (sumaImpares x). -- -- Calcular (grafoSumaImpares 1 9). -- --------------------------------------------------------------------- -- La definición es grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)] grafoSumaImpares m n = [(x,sumaImpares x) | x <- [m..n]] -- El cálculo es -- *Main> grafoSumaImpares 1 9 -- [(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),(6,36),(7,49),(8,64),(9,81)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1e. Demostrar por inducción que para todo n, -- (sumaImpares n) es igual a n^2. -- --------------------------------------------------------------------- {- Caso base: Hay que demostrar que sumaImpares 0 = 0^2 En efecto, sumaImpares 0 [por hipótesis] = 0 [por sumaImpares.1] = 0^2 [por aritmética] Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.) sumaImpares n = n^2 Hay que demostrar que sumaImpares (n+1) = (n+1)^2 En efecto, sumaImpares (n+1) = = (sumaImpares n) + (2*n+1 ) [por sumaImpares.2] = n^2 + (2*n+1) [por H.I.] = (n+1)^2 [por álgebra] -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2a. Definir por recursión la función -- sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int -- tal que -- (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. -- Por ejemplo, -- sumaPotenciasDeDosMasUno 3 == 16 -- --------------------------------------------------------------------- sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2 sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1) = sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(n+1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2b. Definir por comprensión la función -- sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int -- tal que -- (sumaPotenciasDeDosMasUno' n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. -- Por ejemplo, -- sumaPotenciasDeDosMasUno' 3 == 16 -- --------------------------------------------------------------------- sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int sumaPotenciasDeDosMasUno' n = 1 + sum [2^x | x <- [0..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2c. Demostrar por inducción que -- sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1) -- --------------------------------------------------------------------- {- Caso base: Hay que demostrar que sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2^(0+1) En efecto, sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2 [por sumaPotenciasDeDosMasUno.1] = 2^(0+1) [por aritmética] Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.) sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1) Hay que demostrar que sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1) = 2^((n+1)+1) En efecto, sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1) = (sumaPotenciasDeDosMasUno n) + 2^(n+1) [por sumaPotenciasDeDosMasUno.2] = 2^(n+1) + 2^(n+1) [por H.I.] = 2^((n+1)+1) [por aritmética] -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3a. Definir por recursión la función -- copia :: Int -> a -> [a] -- tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento -- x. Por ejemplo, -- copia 3 2 == [2,2,2] -- --------------------------------------------------------------------- copia :: Int -> a -> [a] copia 0 _ = [] -- copia.1 copia (n+1) x = x : copia n x -- copia.2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3b. Definir por recursión la función -- todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool -- tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen -- la propiedad p. Por ejemplo, -- todos even [2,6,4] ==> True -- todos even [2,5,4] ==> False -- --------------------------------------------------------------------- todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool todos p [] = True -- todos.1 todos p (x : xs) = p x && todos p xs -- todos.2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3c. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de -- (copia n x) son iguales a x. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_copia :: Eq a => Int -> a -> Bool prop_copia n x = todos (==x) (copia n' x) where n' = abs n -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_copia -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3d. Demostrar, por inducción en n, que todos los elementos -- de (copia n x) son iguales a x. -- --------------------------------------------------------------------- {- Hay que demostrar que para todo n y todo x, todos (==x) (copia n x) Caso base: Hay que demostrar que todos (==x) (copia 0 x) = True En efecto, todos (== x) (copia 0 x) = todos (== x) [] [por copia.1] = True [por todos.1] Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.) todos (==x) (copia n x) = True Hay que demostrar que todos (==x) (copia (n+1) x) = True En efecto, todos (==x) (copia (n+1) x) = todos (==x) (x : copia n x ) [por copia.2] = x == x && todos (==x) (copia n x ) [por todos.2] = True && todos (==x) (copia n x ) [por def. de ==] = todos (==x) (copia n x ) [por def. de &&] = True [por H.I.] -} -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3e. Definir por plegado la función -- todos' :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool -- tal que (todos' p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen -- la propiedad p. Por ejemplo, -- todos' even [2,6,4] ==> True -- todos' even [2,5,4] ==> False -- --------------------------------------------------------------------- todos' :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool todos' p = foldr ((&&) . p) True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- traspuesta :: [[a]] -> [[a]] -- tal que (traspuesta m) es la traspuesta de la matriz m. Por ejemplo, -- traspuesta [[1,2,3],[4,5,6]] == [[1,4],[2,5],[3,6]] -- traspuesta [[1,4],[2,5],[3,6]] == [[1,2,3],[4,5,6]] -- --------------------------------------------------------------------- traspuesta :: [[a]] -> [[a]] traspuesta [] = [] traspuesta ([]:xss) = traspuesta xss traspuesta ((x:xs):xss) = (x:[h | (h:_) <- xss]) : traspuesta (xs : [t | (_:t) <- xss]) |