I1M2010: Ejercicios de Haskell (relaciones 14 y 15)
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos continuado con la resolución de los ejercicios de la 14ª relación (que comenzamos en la clase del día 17) y hemos comentado las soluciones de la 15ª relación.
Las soluciones de los restantes de la relación 14 son
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- sumaCifrasLista :: [Int] -> Int -- tal que (sumaCifrasLista xs) es la suma de las cifras de la lista de -- números xs. Por ejemplo, -- sumaCifrasLista [254, 61] == 18 -- --------------------------------------------------------------------- -- Por comprensión: sumaCifrasLista :: [Int] -> Int sumaCifrasLista xs = sum [sumaCifras y | y <- xs] -- Por recursión: sumaCifrasListaR :: [Int] -> Int sumaCifrasListaR [] = 0 sumaCifrasListaR (x:xs) = sumaCifras x + sumaCifrasListaR xs -- Por plegado: sumaCifrasListaP :: [Int] -> Int sumaCifrasListaP = foldr f 0 where f x y = sumaCifras x + y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- propiedad2 :: Int -> Bool -- tal que (propiedad2 n) se verifica si n puede expresarse como suma de -- 11 primos consecutivos y la suma de las cifras de los 11 sumandos es -- un número primo. Por ejemplo, -- propiedad2 2011 == True -- propiedad2 2000 == False -- --------------------------------------------------------------------- propiedad2 :: Int -> Bool propiedad2 n = [xs | xs <- primosConsecutivosConSuma n, length xs == 11, esPrimo (sumaCifrasLista xs)] /= [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Calcular el primer año que cumple la propiedad1 y la -- propiedad2. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> head [n | n <- [1..], propiedad1 n, propiedad2 n] -- 2011 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- propiedad3 :: Int -> Bool -- tal que (propiedad3 n) se verifica si n puede expresarse como suma de -- tantos números consecutivos como indican sus dos últimas cifras. Por -- ejemplo, -- propiedad3 2011 == True -- propiedad3 2000 == False -- --------------------------------------------------------------------- propiedad3 :: Int -> Bool propiedad3 n = [xs | xs <- primosConsecutivosConSuma n, length xs == a] /= [] where a = mod n 100 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Calcular el primer año que cumple la propiedad1 y la -- propiedad3. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> head [n | n <- [1..], propiedad1 n, propiedad3 n] -- 2011 -- Hemos comprobado que 2011 es el menor número que cumple las -- propiedades 1 y 1 y también es el menor número que cumple las -- propiedades 1 y 3. |
Las soluciones de los ejercicios de la relación 15 son
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 |
-- I1M 2010-11: Relación 15 (18 de enero de 2010) -- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A. -- Universidad de Sevilla -- ===================================================================== -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir, usando takeWhile y map, la función -- potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int] -- tal que (potenciasMenores x y) es la lista de las potencias de x -- menores que y. Por ejemplo, -- potenciasMenores 2 1000 == [2,4,8,16,32,64,128,256,512] -- --------------------------------------------------------------------- potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int] potenciasMenores x y = takeWhile (<y) (map (x^) [1..]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir, por recursión y comprensión, la función -- repite :: a -> [a] -- tal que (repite x) es la lista infinita cuyos elementos son x. Por -- ejemplo, -- repite 5 == [5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,... -- take 3 (repite 5) == [5,5,5] -- Nota: La función repite es equivalente a la función repeat definida en -- el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- -- Por recursión: repite :: a -> [a] repite x = x : repite x -- Por comprensión: repite' x = [x | _ <- [1..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir, por recursión y por comprensión, la función -- repiteFinita :: Int-> a -> [a] -- tal que (repite n x) es la lista con n elementos iguales a x. Por -- ejemplo, -- repiteFinita 3 5 == [5,5,5] -- Nota: La función repite es equivalente a la función replicate definida -- en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- -- Por recursión: repiteFinita :: Int -> a -> [a] repiteFinita n x = take n (repite x) -- Por comprensión: repiteFinita' :: Int -> a -> [a] repiteFinita' n x = [x | _ <- [1..n]] -- También se puede definir usando repite repiteFinita2 :: Int -> a -> [a] repiteFinita2 n x = take n (repite x) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Se considera la función -- eco :: String -> String -- tal que (eco xs) es la cadena obtenida a partir de la cadena xs -- repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición: el -- primer elemento se repite 1 vez, el segundo 2 veces y así -- sucesivamente. Por ejemplo, -- eco "abcd" == "abbcccdddd" -- 1. Escribir una definición 'no recursiva' de la función eco. -- 2. Escribir una definición 'recursiva' de la función eco. -- --------------------------------------------------------------------- -- Una definición no recursiva es ecoNR :: String -> String ecoNR xs = concat [replicate i x | (i,x) <- zip [1..] xs] -- Una definición recursiva es ecoR :: String -> String ecoR xs = ecoRaux 1 0 xs where ecoRaux i n [] = [] ecoRaux i n (c:cs) | i <= n = ecoRaux (i+1) 0 cs | otherwise = c : (ecoRaux i (n+1) (c:cs)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir, por recursión, la función -- itera :: (a -> a) -> a -> [a] -- tal que (itera f x) es la lista cuyo primer elemento es x y los -- siguientes elementos se calculan aplicando la función f al elemento -- anterior. Por ejemplo, -- Main> itera (+1) 3 -- [3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,{Interrupted!} -- Main> itera (*2) 1 -- [1,2,4,8,16,32,64,{Interrupted!} -- Main> itera (`div` 10) 1972 -- [1972,197,19,1,0,0,0,0,0,0,{Interrupted!} -- Nota: La función repite es equivalente a la función iterate definida -- en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- itera :: (a -> a) -> a -> [a] itera f x = x : itera f (f x) -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6, Definir la función -- agrupa :: Int -> [a] -> [[a]] -- tal que (agrupa n xs) es la lista de las sublistas de longitud n de -- la lista xs. Por ejemplo, -- Main> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7] -- [[3,1],[5,8],[2,7]] -- Main> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7,9] -- [[3,1],[5,8],[2,7],[9]] -- Main> agrupa 5 "todo necio confunde valor y precio" -- ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"] -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Una definición no recursiva es agrupa :: Int -> [a] -> [[a]] agrupa n = takeWhile (not . null) . map (take n) . iterate (drop n) -- Puede verse su funcionamiento en el siguiente ejemplo, -- iterate (drop 2) [5..10] -- ==> [[5,6,7,8,9,10],[7,8,9,10],[9,10],[],[],... -- map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10]) -- ==> [[5,6],[7,8],[9,10],[],[],[],[],... -- takeWhile (not . null) (map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10])) -- ==> [[5,6],[7,8],[9,10]] -- Una definición recursiva de agrupa es agrupa' :: Int -> [a] -> [[a]] agrupa' n [] = [] agrupa' n xs = take n xs : agrupa' n (drop n xs) -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir, y comprobar, con QuickCheck las dos propiedades -- que caracterizan a la función agrupa: -- * todos los grupos tienen que tener la longitud determinada (salvo el -- último que puede tener una longitud menor) y -- * combinando todos los grupos se obtiene la lista inicial. -- ---------------------------------------------------------------------------- -- La primera propiedad es prop_AgrupaLongitud :: Int -> [Int] -> Property prop_AgrupaLongitud n xs = n > 0 && not (null gs) ==> and [length g == n | g <- init gs] && 0 < length (last gs) && length (last gs) <= n where gs = agrupa n xs -- La comprobación es -- Main> quickCheck prop_AgrupaLongitud -- OK, passed 100 tests. -- La segunda propiedad es prop_AgrupaCombina :: Int -> [Int] -> Property prop_AgrupaCombina n xs = n > 0 ==> concat (agrupa n xs) == xs -- La comprobación es -- Main> quickCheck prop_AgrupaCombina -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero -- positivo: -- * Si el número es par, se divide entre 2. -- * Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1. -- Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir, -- las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita -- de 13 es -- 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,... -- Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir, -- se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura -- de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número -- con el que comencemos. Ejemplos: -- * Empezando en n = 6 se obtiene 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. -- * Empezando en n = 11 se obtiene: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, -- 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. -- * Empezando en n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta -- 9232 antes de descender a 1: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, -- 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, -- 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, -- 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, -- 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, -- 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, -- 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, -- 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, -- 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, -- 16, 8, 4, 2, 1. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- siguiente :: Integer -> Integer -- tal que (siguiente n) es el siguiente de n en la sucesión de -- Collatz. Por ejemplo, -- siguiente 13 == 40 -- siguiente 40 == 20 -- --------------------------------------------------------------------- siguiente n | even n = n `div` 2 | otherwise = 3*n+1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir, por recursión, la función -- collatz :: Integer -> [Integer] -- tal que (collatz n) es la órbita de Collatz d n hasta alcanzar el -- 1. Por ejemplo, -- collatz 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1] -- --------------------------------------------------------------------- collatz :: Integer -> [Integer] collatz 1 = [1] collatz n = n : collatz (siguiente n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir, sin recursión, la función -- collatz' :: Integer -> [Integer] -- tal que (collatz' n) es la órbita de Collatz d n hasta alcanzar el -- 1. Por ejemplo, -- collatz' 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1] -- Indicación: Usar takeWhile e iterate. -- --------------------------------------------------------------------- collatz' :: Integer -> [Integer] collatz' n = (takeWhile (/=1) (iterate siguiente n)) ++ [1] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- menorCollatzMayor :: Int -> Integer -- tal que (menorCollatzMayor x) es el menor número cuya órbita de -- Collatz tiene más de x elementos. Por ejemplo, -- menorCollatzMayor 100 == 27 -- --------------------------------------------------------------------- menorCollatzMayor :: Int -> Integer menorCollatzMayor x = head [y | y <- [1..], length (collatz y) > x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- menorCollatzSupera :: Integer -> Integer -- tal que (menorCollatzSupera x) es el menor número cuya órbita de -- Collatz tiene algún elemento mayor que x. Por ejemplo, -- menorCollatzSupera 100 == 15 -- --------------------------------------------------------------------- menorCollatzSupera :: Integer -> Integer menorCollatzSupera x = head [y | y <- [1..], maximum (collatz y) > x] -- Otra definición alternativa es menorCollatzSupera' :: Integer -> Integer menorCollatzSupera' x = head [n | n <- [1..], t <- collatz' n, t > x] |