Demostrar con Lean4 que si \(m, n \in \mathbb{N}\) son números naturales, entonces
\[\gcd(m, n) = \gcd(n, m)\]
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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1 2 3 4 5 6 7 |
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (k m n : ℕ) open Nat example : gcd m n = gcd n m := by sorry |
Demostrar con Lean4 que si \(x, y, z ∈ ℕ\), entonces \(x\) divide a \(yxz\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
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1 2 3 4 5 |
import Mathlib.Data.Real.Basic variable (x y z : ℕ) example : x ∣ y * x * z := by sorry |
Demostrar que los productos de los números naturales por números pares son pares.
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:
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1 2 3 4 5 6 7 8 |
import Mathlib.Data.Nat.Basic import Mathlib.Data.Nat.Parity import Mathlib.Tactic open Nat example : ∀ m n : ℕ, Even n → Even (m * n) := by sorry |
Demostración en lenguaje natural
Si \(n\) es par, entonces (por la definición de Even) existe un \(k\) tal que
\[
\begin{align*}
n = k + k && (1)
\end{align*}
\]
Por tanto,
\[
\begin{align*}
mn &= m(k + k) && (\text{por (1)})\\
&= mk + mk && (\text{por la propiedad distributiva})
\end{align*}
\]
Por consiguiente, \(mn\) es par.
Soluciones con Lean4
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import Mathlib.Data.Nat.Basic import Mathlib.Data.Nat.Parity import Mathlib.Tactic open Nat -- 1ª demostración example : ∀ m n : ℕ, Even n → Even (m * n) := by rintro m n ⟨k, hk⟩ use m * k rw [hk] ring -- 2ª demostración example : ∀ m n : ℕ, Even n → Even (m * n) := by rintro m n ⟨k, hk⟩ use m * k rw [hk] rw [mul_add] -- 3ª demostración example : ∀ m n : ℕ, Even n → Even (m * n) := by rintro m n ⟨k, hk⟩ use m * k rw [hk, mul_add] -- 4ª demostración example : ∀ m n : Nat, Even n → Even (m * n) := by rintro m n ⟨k, hk⟩; use m * k; rw [hk, mul_add] -- 5ª demostración example : ∀ m n : ℕ, Even n → Even (m * n) := by rintro m n ⟨k, hk⟩ exact ⟨m * k, by rw [hk, mul_add]⟩ -- 6ª demostración example : ∀ m n : Nat, Even n → Even (m * n) := fun m n ⟨k, hk⟩ ↦ ⟨m * k, by rw [hk, mul_add]⟩ -- 7ª demostración example : ∀ m n : ℕ, Even n → Even (m * n) := by rintro m n ⟨k, hk⟩ use m * k rw [hk] exact mul_add m k k -- 8ª demostración example : ∀ m n : ℕ, Even n → Even (m * n) := by intros m n hn unfold Even at * cases hn with | intro k hk => use m * k rw [hk, mul_add] -- 9ª demostración example : ∀ m n : ℕ, Even n → Even (m * n) := by intros m n hn unfold Even at * cases hn with | intro k hk => use m * k calc m * n = m * (k + k) := by exact congrArg (HMul.hMul m) hk _ = m * k + m * k := by exact mul_add m k k -- 10ª demostración example : ∀ m n : Nat, Even n → Even (m * n) := by intros; simp [*, parity_simps] |
Se puede interactuar con las pruebas anteriores en Lean 4 Web.
Referencias