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Etiqueta: L.push_neg

Límite de sucesiones no decrecientes

José A. Alonso-

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

En Lean, se define que a es el límite de la sucesión u, por

   def limite (u: ℕ → ℝ) (a: ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| < ε
<pre lang="text">
donde se usa la notación |x| para el valor absoluto de x
<pre lang="text">
   notation `|`x`|` := abs x

y que la sucesión u es no decreciente por

   def no_decreciente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ n m, n ≤ m → u n ≤ u m

Demostrar que si u es una sucesión no decreciente y su límite es a, entonces u(n) ≤ a para todo n.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
import tactic
 
variable {u : ℕ → ℝ}
variable (a : ℝ)
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε
 
def no_decreciente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ n m, n ≤ m → u n ≤ u m
 
example
  (h : limite u a)
  (h' : no_decreciente u)
  : ∀ n, u n ≤ a :=
sorry
Soluciones con Lean
import data.real.basic
import tactic
 
variable {u : ℕ → ℝ}
variable (a : ℝ)
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε
 
def no_decreciente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ n m, n ≤ m → u n ≤ u m
 
-- 1ª demostración
example
  (h : limite u a)
  (h' : no_decreciente u)
  : ∀ n, u n ≤ a :=
begin
  intro n,
  by_contradiction H,
  push_neg at H,
  replace H : u n - a > 0 := sub_pos.mpr H,
  cases h (u n - a) H with m hm,
  let k := max n m,
  specialize hm k (le_max_right _ _),
  specialize h' n k (le_max_left _ _),
  replace hm : |u k - a| < u k - a, by
    calc |u k - a| < u n - a : hm
               ... ≤ u k - a : sub_le_sub_right h' a,
  rw ← not_le at hm,
  apply hm,
  exact le_abs_self (u k - a),
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : limite u a)
  (h' : no_decreciente u)
  : ∀ n, u n ≤ a :=
begin
  intro n,
  by_contradiction H,
  push_neg at H,
  cases h (u n - a) (by linarith) with m hm,
  specialize hm (max n m) (le_max_right _ _),
  specialize h' n (max n m) (le_max_left _ _),
  rw abs_lt at hm,
  linarith,
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory Limite_de_sucesiones_no_decrecientes
imports Main HOL.Real
begin
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
definition no_decreciente :: "(nat ⇒ real) ⇒ bool"
  where "no_decreciente u ⟷ (∀ n m. n ≤ m ⟶ u n ≤ u m)"
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "limite u a"
          "no_decreciente u"
  shows   "∀ n. u n ≤ a"
proof (rule allI)
  fix n
  show "u n ≤ a"
  proof (rule ccontr)
    assume "¬ u n ≤ a"
    then have "a < u n"
      by (rule not_le_imp_less)
    then have H : "u n - a > 0"
      by (simp only: diff_gt_0_iff_gt)
    then obtain m where hm : "∀p≥m. ¦u p - a¦ < u n - a"
      using assms(1) limite_def by blast
    let ?k = "max n m"
    have "n ≤ ?k"
      by (simp only: assms(2) no_decreciente_def)
    then have "u n ≤ u ?k"
      using assms(2) no_decreciente_def by blast
    have "¦u ?k - a¦ < u n - a"
      by (simp only: hm)
    also have "… ≤ u ?k - a"
      using ‹u n ≤ u ?k› by (rule diff_right_mono)
    finally have "¦u ?k - a¦ < u ?k - a"
      by this
    then have "¬ u ?k - a ≤ ¦u ?k - a¦"
      by (simp only: not_le_imp_less)
    moreover have "u ?k - a ≤ ¦u ?k - a¦"
      by (rule abs_ge_self)
    ultimately show False
      by (rule notE)
  qed
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "limite u a"
          "no_decreciente u"
  shows   "∀ n. u n ≤ a"
proof (rule allI)
  fix n
  show "u n ≤ a"
  proof (rule ccontr)
    assume "¬ u n ≤ a"
    then have H : "u n - a > 0"
      by simp
    then obtain m where hm : "∀p≥m. ¦u p - a¦ < u n - a"
      using assms(1) limite_def by blast
    let ?k = "max n m"
    have "¦u ?k - a¦ < u n - a"
      using hm by simp
    moreover have "u n ≤ u ?k"
      using assms(2) no_decreciente_def by simp
    ultimately have "¦u ?k - a¦ < u ?k - a"
      by simp
    then show False
      by simp
  qed
qed
 
(* 3ª demostración *)
lemma
  assumes "limite u a"
          "no_decreciente u"
  shows   "∀ n. u n ≤ a"
proof
  fix n
  show "u n ≤ a"
  proof (rule ccontr)
    assume "¬ u n ≤ a"
    then obtain m where hm : "∀p≥m. ¦u p - a¦ < u n - a"
      using assms(1) limite_def by fastforce
    let ?k = "max n m"
    have "¦u ?k - a¦ < u n - a"
      using hm by simp
    moreover have "u n ≤ u ?k"
      using assms(2) no_decreciente_def by simp
    ultimately show False
      by simp
  qed
qed
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →

Las sucesiones divergentes positivas no tienen límites finitos

José A. Alonso-

En Lean, una sucesión u₀, u₁, u₂, … se puede representar mediante una función (u : ℕ → ℝ) de forma que u(n) es uₙ.

Se define que a es el límite de la sucesión u, por

   def limite (u: ℕ → ℝ) (a: ℝ) :=
     ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, |u n - a| < ε

donde se usa la notación |x| para el valor absoluto de x

   notation `|`x`|` := abs x

La sucesión u diverge positivamente cuando, para cada número real A, se puede encontrar un número natural m tal que, para n > m , se tenga u(n) > A. En Lean se puede definir por

   def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
     ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A

Demostrar que si u diverge positivamente, entonces ningún número real es límite de u.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import data.real.basic
import tactic
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε
 
def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A
 
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
sorry
Soluciones con Lean
import data.real.basic
import tactic
 
variable  {u : ℕ → ℝ}
 
notation `|`x`|` := abs x
 
def limite (u : ℕ → ℝ) (a : ℝ) :=
  ∀ ε > 0, ∃ m, ∀ n ≥ m, |u n - a| < ε
 
def diverge_positivamente (u : ℕ → ℝ) :=
  ∀ A, ∃ m, ∀ n ≥ m, u n > A
 
-- 1ª demostración
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
begin
  push_neg,
  intros a ha,
  cases ha 1 zero_lt_one with m1 hm1,
  cases h (a+1) with m2 hm2,
  let m := max m1 m2,
  specialize hm1 m (le_max_left _ _),
  specialize hm2 m (le_max_right _ _),
  replace hm1 : u m - a < 1 := lt_of_abs_lt hm1,
  replace hm2 : 1 < u m - a := lt_sub_iff_add_lt'.mpr hm2,
  apply lt_irrefl (u m),
  calc u m < a + 1 : sub_lt_iff_lt_add'.mp hm1
       ... < u m   : lt_sub_iff_add_lt'.mp hm2,
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
begin
  push_neg,
  intros a ha,
  cases ha 1 (by linarith) with m1 hm1,
  cases h (a+1) with m2 hm2,
  let m := max m1 m2,
  replace hm1 : |u m - a| < 1 := by finish,
  replace hm1 : u m - a < 1   := lt_of_abs_lt hm1,
  replace hm2 : u m > a + 1   := by finish,
  replace hm2 : 1 < u m - a   := lt_sub_iff_add_lt'.mpr hm2,
  apply lt_irrefl (u m),
  calc u m < a + 1 : by linarith
       ... < u m   : by linarith
end
 
-- 3ª demostración
example
  (h : diverge_positivamente u)
  : ¬(∃ a, limite u a) :=
begin
  push_neg,
  intros a ha,
  cases ha 1 (by linarith) with m1 hm1,
  cases h (a+1) with m2 hm2,
  let m := max m1 m2,
  specialize hm1 m (le_max_left _ _),
  specialize hm2 m (le_max_right _ _),
  rw abs_lt at hm1,
  linarith,
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory Las_sucesiones_divergentes_positivas_no_tienen_limites_finitos
imports Main HOL.Real
begin
 
definition limite :: "(nat ⇒ real) ⇒ real ⇒ bool"
  where "limite u a ⟷ (∀ε>0. ∃N. ∀k≥N. ¦u k - a¦ < ε)"
 
definition diverge_positivamente :: "(nat ⇒ real) ⇒ bool"
  where "diverge_positivamente u ⟷ (∀A. ∃m. ∀n≥m. u n > A)"
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "diverge_positivamente u"
  shows   "∄a. limite u a"
proof (rule notI)
  assume "∃a. limite u a"
  then obtain a where "limite u a" try
    by auto
  then obtain m1 where hm1 : "∀n≥m1. ¦u n - a¦ < 1"
    using limite_def by fastforce
  obtain m2 where hm2 : "∀n≥m2. u n > a + 1"
    using assms diverge_positivamente_def by blast
  let ?m = "max m1 m2"
  have "u ?m < u ?m" using hm1 hm2
  proof -
    have "?m ≥ m1"
      by (rule max.cobounded1)
    have "?m ≥ m2"
      by (rule max.cobounded2)
    have "u ?m - a < 1"
      using hm1 ‹?m ≥ m1› by fastforce
    moreover have "u ?m > a + 1"
      using hm2 ‹?m ≥ m2› by simp
    ultimately show "u ?m < u ?m"
      by simp
  qed
  then show False
    by auto
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "diverge_positivamente u"
  shows   "∄a. limite u a"
proof (rule notI)
  assume "∃a. limite u a"
  then obtain a where "limite u a" try
    by auto
  then obtain m1 where hm1 : "∀n≥m1. ¦u n - a¦ < 1"
    using limite_def by fastforce
  obtain m2 where hm2 : "∀n≥m2. u n > a + 1"
    using assms diverge_positivamente_def by blast
  let ?m = "max m1 m2"
  have "1 < 1"
  proof -
    have "1 < u ?m - a"
      using hm2
      by (metis add.commute less_diff_eq max.cobounded2)
    also have "… < 1"
      using hm1
      by (metis abs_less_iff max_def order_refl)
    finally show "1 < 1" .
  qed
  then show False
    by auto
qed
 
end

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Soluciones →

Las clases de equivalencia de elementos no relacionados son disjuntas

José A. Alonso-

Demostrar que las clases de equivalencia de elementos no relacionados son disjuntas.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic
 
variable  {X : Type}
variables {x y: X}
variable  {R : X → X → Prop}
 
def clase (R : X → X → Prop) (x : X) :=
  {y : X | R x y}
 
example
  (h : equivalence R)
  (hxy : ¬ R x y)
  : clase R x ∩ clase R y = ∅ :=
sorry
Soluciones con Lean
import tactic
 
variable  {X : Type}
variables {x y: X}
variable  {R : X → X → Prop}
 
def clase (R : X → X → Prop) (x : X) :=
  {y : X | R x y}
 
-- 1ª demostración
example
  (h : equivalence R)
  (hxy : ¬ R x y)
  : clase R x ∩ clase R y = ∅ :=
begin
  rcases h with ⟨hr, hs, ht⟩,
  by_contradiction h1,
  apply hxy,
  have h2 : ∃ z, z ∈ clase R x ∩ clase R y,
    { contrapose h1,
      intro h1a,
      apply h1a,
      push_neg at h1,
      exact set.eq_empty_iff_forall_not_mem.mpr h1, },
  rcases h2 with ⟨z, hxz, hyz⟩,
  replace hxz : R x z := hxz,
  replace hyz : R y z := hyz,
  have hzy : R z y := hs hyz,
  exact ht hxz hzy,
end
 
-- 2ª demostración
example
  (h : equivalence R)
  (hxy : ¬ R x y)
  : clase R x ∩ clase R y = ∅ :=
begin
  rcases h with ⟨hr, hs, ht⟩,
  by_contradiction h1,
  have h2 : ∃ z, z ∈ clase R x ∩ clase R y,
    { by finish [set.eq_empty_iff_forall_not_mem]},
  apply hxy,
  rcases h2 with ⟨z, hxz, hyz⟩,
  exact ht hxz (hs hyz),
end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>

Soluciones con Isabelle/HOL
theory Las_clases_de_equivalencia_de_elementos_no_relacionados_son_disjuntas
imports Main
begin
 
definition clase :: "('a ⇒ 'a ⇒ bool) ⇒ 'a ⇒ 'a set"
  where "clase R x = {y. R x y}"
 
(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "equivp R"
          "¬(R x y)"
  shows "clase R x ∩ clase R y = {}"
proof -
  have "∀z. z ∈ clase R x ⟶ z ∉ clase R y"
  proof (intro allI impI)
    fix z
    assume "z ∈ clase R x"
    then have "R x z"
      using clase_def by (metis CollectD)
    show "z ∉ clase R y"
    proof (rule notI)
      assume "z ∈ clase R y"
      then have "R y z"
        using clase_def by (metis CollectD)
      then have "R z y"
        using assms(1) by (simp only: equivp_symp)
      with ‹R x z› have "R x y"
        using assms(1) by (simp only: equivp_transp)
      with ‹¬R x y› show False
        by (rule notE)
    qed
  qed
  then show "clase R x ∩ clase R y = {}"
    by (simp only: disjoint_iff)
qed
 
(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "equivp R"
          "¬(R x y)"
  shows "clase R x ∩ clase R y = {}"
proof -
  have "∀z. z ∈ clase R x ⟶ z ∉ clase R y"
  proof (intro allI impI)
    fix z
    assume "z ∈ clase R x"
    then have "R x z"
      using clase_def by fastforce
    show "z ∉ clase R y"
    proof (rule notI)
      assume "z ∈ clase R y"
      then have "R y z"
        using clase_def by fastforce
      then have "R z y"
        using assms(1) by (simp only: equivp_symp)
      with ‹R x z› have "R x y"
        using assms(1) by (simp only: equivp_transp)
      with ‹¬R x y› show False
        by simp
    qed
  qed
  then show "clase R x ∩ clase R y = {}"
    by (simp only: disjoint_iff)
qed
 
(* 3ª demostración *)
lemma
  assumes "equivp R"
          "¬(R x y)"
  shows "clase R x ∩ clase R y = {}"
  using assms
  by (metis clase_def
            CollectD
            equivp_symp
            equivp_transp
            disjoint_iff)
 
(* 4ª demostración *)
lemma
  assumes "equivp R"
          "¬(R x y)"
  shows "clase R x ∩ clase R y = {}"
  using assms
  by (metis equivp_def
            clase_def
            CollectD
            disjoint_iff_not_equal)
 
end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>

Soluciones →