IH.sympI – Calculemus

Las particiones definen relaciones de equivalencia

PorJosé A. Alonso 28 agosto 202123 agosto 2021

Cada familia de conjuntos P define una relación de forma que dos elementos están relacionados si algún conjunto de P contiene a ambos elementos. Se puede definir en Lean por

   def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
     ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

1 2	def relacion (P : set (set X)) (x y : X) := ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

Una familia de subconjuntos de X es una partición de X si cada elemento de X pertenece a un único conjunto de P y todos los elementos de P son no vacíos. Se puede definir en Lean por

   def particion (P : set (set X)) : Prop :=
     (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

1 2	def particion (P : set (set X)) : Prop := (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

Demostrar que si P es una partición de X, entonces la relación definida por P es una relación de equivalencia.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean:

import tactic

variable {X : Type}
variable (P : set (set X))

def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example
  (h : particion P)
  : equivalence (relacion P) :=
sorry

import tactic

variable {X : Type}

variable (P : set (set X))

def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=

∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : set (set X)) : Prop :=

(∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example

(h : particion P)

: equivalence (relacion P) :=

sorry

[expand title=»Soluciones con Lean»]

import tactic

variable {X : Type}
variable (P : set (set X))

def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=
  ∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : set (set X)) : Prop :=
  (∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example
  (h : particion P)
  : equivalence (relacion P) :=
begin
  repeat { split },
  { intro x,
    rcases (h.1 x) with ⟨A, hAP, hxA, -⟩,
    use [A, ⟨hAP, hxA, hxA⟩], },
  { intros x y hxy,
    rcases hxy with ⟨B, hBP, ⟨hxB, hyB⟩⟩,
    use [B, ⟨hBP, hyB, hxB⟩], },
  { rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,
    use B1,
    repeat { split },
    { exact hB1P, },
    { exact hxB1, },
    { convert hzB2,
      rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,
      exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm (hB B2 hB2P hyB2), }},
end

import tactic

variable {X : Type}

variable (P : set (set X))

def relacion (P : set (set X)) (x y : X) :=

∃ A ∈ P, x ∈ A ∧ y ∈ A

def particion (P : set (set X)) : Prop :=

(∀ x, (∃ B ∈ P, x ∈ B ∧ ∀ C ∈ P, x ∈ C → B = C)) ∧ ∅ ∉ P

example

(h : particion P)

: equivalence (relacion P) :=

begin

repeat { split },

{ intro x,

rcases (h.1 x) with ⟨A, hAP, hxA, -⟩,

use [A, ⟨hAP, hxA, hxA⟩], },

{ intros x y hxy,

rcases hxy with ⟨B, hBP, ⟨hxB, hyB⟩⟩,

use [B, ⟨hBP, hyB, hxB⟩], },

{ rintros x y z ⟨B1,hB1P,hxB1,hyB1⟩ ⟨B2,hB2P,hyB2,hzB2⟩,

use B1,

repeat { split },

{ exact hB1P, },

{ exact hxB1, },

{ convert hzB2,

rcases (h.1 y) with ⟨B, -, -, hB⟩,

exact eq.trans (hB B1 hB1P hyB1).symm (hB B2 hB2P hyB2), }},

end

Se puede interactuar con la prueba anterior en esta sesión con Lean.

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="lean"> y otra con </pre>
[/expand]

[expand title=»Soluciones con Isabelle/HOL»]

theory Las_particiones_definen_relaciones_de_equivalencia
imports Main
begin

definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where
  "relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)"

definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where
  "particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"

(* 1ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "equivp (relacion P)"
proof (rule equivpI)
  show "reflp (relacion P)"
  proof (rule reflpI)
    fix x
    obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A"
      using assms particion_def by metis
    then show "relacion P x x"
      using relacion_def by metis
  qed
next
  show "symp (relacion P)"
  proof (rule sympI)
    fix x y
    assume "relacion P x y"
    then obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A"
      using relacion_def by metis
    then show "relacion P y x"
      using relacion_def by metis
  qed
next
  show "transp (relacion P)"
  proof (rule transpI)
    fix x y z
    assume "relacion P x y" and "relacion P y z"
    obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"
      using ‹relacion P x y› by (meson relacion_def)
    obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"
      using ‹relacion P y z› by (meson relacion_def)
    have "A = B"
    proof -
      obtain C where "C ∈ P"
                 and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"
        using assms particion_def by metis
      then show "A = B"
        using ‹A ∈ P› ‹B ∈ P› hA hB by blast
    qed
    then have "x ∈ A ∧ z ∈ A"  using hA hB by auto
    then show "relacion P x z"
      using ‹A = B› ‹A ∈ P› relacion_def by metis
  qed
qed

(* 2ª demostración *)
lemma
  assumes "particion P"
  shows   "equivp (relacion P)"
proof (rule equivpI)
  show "reflp (relacion P)"
    using assms particion_def relacion_def
    by (metis reflpI)
next
  show "symp (relacion P)"
    using assms relacion_def
    by (metis sympI)
next
  show "transp (relacion P)"
    using assms relacion_def particion_def
    by (smt (verit) transpI)
qed

end

theory Las_particiones_definen_relaciones_de_equivalencia

imports Main

begin

definition relacion :: "('a set) set ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" where

"relacion P x y ⟷ (∃A∈P. x ∈ A ∧ y ∈ A)"

definition particion :: "('a set) set ⇒ bool" where

"particion P ⟷ (∀x. (∃B∈P. x ∈ B ∧ (∀C∈P. x ∈ C ⟶ B = C))) ∧ {} ∉ P"

(* 1ª demostración *)

lemma

assumes "particion P"

shows "equivp (relacion P)"

proof (rule equivpI)

show "reflp (relacion P)"

proof (rule reflpI)

fix x

obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A"

using assms particion_def by metis

then show "relacion P x x"

using relacion_def by metis

qed

show "symp (relacion P)"

proof (rule sympI)

fix x y

assume "relacion P x y"

then obtain A where "A ∈ P ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A"

using relacion_def by metis

then show "relacion P y x"

using relacion_def by metis

qed

show "transp (relacion P)"

proof (rule transpI)

fix x y z

assume "relacion P x y" and "relacion P y z"

obtain A where "A ∈ P" and hA : "x ∈ A ∧ y ∈ A"

using ‹relacion P x y› by (meson relacion_def)

obtain B where "B ∈ P" and hB : "y ∈ B ∧ z ∈ B"

using ‹relacion P y z› by (meson relacion_def)

have "A = B"

proof -

obtain C where "C ∈ P"

and hC : "y ∈ C ∧ (∀D∈P. y ∈ D ⟶ C = D)"

using assms particion_def by metis

then show "A = B"

using ‹A ∈ P› ‹B ∈ P› hA hB by blast

qed

then have "x ∈ A ∧ z ∈ A" using hA hB by auto

then show "relacion P x z"

using ‹A = B› ‹A ∈ P› relacion_def by metis

qed

(* 2ª demostración *)

lemma

assumes "particion P"

shows "equivp (relacion P)"

proof (rule equivpI)

show "reflp (relacion P)"

using assms particion_def relacion_def

by (metis reflpI)

show "symp (relacion P)"

using assms relacion_def

by (metis sympI)

show "transp (relacion P)"

using assms relacion_def particion_def

by (smt (verit) transpI)

qed

end

En los comentarios se pueden escribir otras soluciones, escribiendo el código entre una línea con <pre lang="isar"> y otra con </pre>
[/expand]