Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Enunciado: 

Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x<=1 y 1+lnx si x>1)
1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.
2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.
3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos
   y mínimos relativos.
4. Representar su gráfica.

Solución: 
Dominio, puntos de corte, asíntotas
( %i1) g(x):=1/(1+x^2);
( %i2) h(x):=1+log(x);
El dominio de g es todo R 
( %i3) solve(1+x^2=0);
( %i4) solve(1+x^2=0);
( %i5) is(1+x^2>0);

Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas,
( %i7) solve(g(x)=0,x);
( %i8) solve(h(x)=0,x);
El único punto de corte es x = 1

Puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0,
( %i9) g(0);

Asintotas verticales, horizontales y oblicuas
( %i10) limit(h(x),x,0,plus);
( %i11) limit(g(x),x,minf);
( %i12) limit(h(x),x,inf);
f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la
recta y = 0) cuando x tiende a menos infito.

Continuidad, derivabilidad
Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por
lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones
donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este
punto son distintos, pues
( %i13) limit(g(x),x,1,minus);
( %i14) limit(h(x),x,1,plus);
f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).
Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de
R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos
dominios). Puesto que
( %i15) diff(g(x),x);
( %i16) diff(h(x),x);

Crecimiento, extremos relativos
( %i22) assume(x>1);
( %i23) is(1/x>0);
f es creciente en (􀀀1; 0) [ (1;+1) y decreciente en (0; 1).

Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f: ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x); ( %o24) [x = 0] ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x); ( %o25) [] Esto es, h no tiene puntos críticos y g tiene un punto crítico, x = 0. Cuando x = 0 la función f es igual a g, luego éste es un punto crítico de f. Para saber si se trata de un máximo o un mínimo, podemos estudiar el signo de la segunda derivada: ( %i26) diff(g(x),x,2); ( %o26) 8 x2 (x2 + 1)3 􀀀 2 (x2 + 1)2 ( %i27) %,x=0; ( %o27) 􀀀2 Por lo tanto, f00(0) = g00(0) = 􀀀2 < 0, es decir, f tiene un máximo relativo en x = 0. Representación gráfica Para representar la gráfica de f, podemos definir: ( %i33) f(x):= if(x<1) then g(x) else h(x); ( %o33) f (x) := if x < 1 then g (x) else h (x) El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”. ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]); Maxima was unable to evaluate the predicate:

• • error while printing error message **

Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M

1. 0: f(x=x)

- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true); 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, "set zeroaxis"], [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "grafica.eps"]);