Estudio de una función definida a trozos
De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)
Enunciado:
Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x<=1 y 1+lnx si x>1) 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas. 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera. 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos y mínimos relativos. 4. Representar su gráfica.
Solución: Dominio, puntos de corte, asíntotas ( %i1) g(x):=1/(1+x^2); ( %i2) h(x):=1+log(x); El dominio de g es todo R ( %i3) solve(1+x^2=0); ( %i4) solve(1+x^2=0); ( %i5) is(1+x^2>0); Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, ( %i7) solve(g(x)=0,x); ( %i8) solve(h(x)=0,x); El único punto de corte es x = 1
Puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0, ( %i9) g(0);
Asintotas verticales, horizontales y oblicuas ( %i10) limit(h(x),x,0,plus); ( %i11) limit(g(x),x,minf); ( %i12) limit(h(x),x,inf); f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la recta y = 0) cuando x tiende a menos infito.
Continuidad, derivabilidad Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este punto son distintos, pues ( %i13) limit(g(x),x,1,minus); ( %i14) limit(h(x),x,1,plus); f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto). Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos dominios). Puesto que ( %i15) diff(g(x),x); ( %i16) diff(h(x),x);
Crecimiento, extremos relativos
El crecimiento de f depende del signo de la función derivada, f0(x), calculada en el apartado anterior. Cuando x > 1, obviamente, 1 x > 0 y por lo tanto, f0(x) > 0. Aunque es un caso tan sencillo que no merece la pena recurrir al ordenador, puede servir como ilustración la forma en que se podría comprobar lo anterior, utilizando los comandos “assume” e “is”: ( %i22) assume(x>1); ( %o22) [x > 1] ( %i23) is(1/x>0); ( %o23) true cuando x < 1, el asunto es diferente, pues el signo de f0(x) dependerá de la expresión 2x (x2 + 1)2 ; (B.1) que depende del signo de 2x (puesto que el denominador es siempre estrictamente positivo), siendo, negativo cuando x > 0 y positivo en caso contrario. Por lo tanto 129 f es creciente en (1; 0) [ (1;+1) y decreciente en (0; 1). Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f: ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x); ( %o24) [x = 0] ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x); ( %o25) [] Esto es, h no tiene puntos críticos y g tiene un punto crítico, x = 0. Cuando x = 0 la función f es igual a g, luego éste es un punto crítico de f. Para saber si se trata de un máximo o un mínimo, podemos estudiar el signo de la segunda derivada: ( %i26) diff(g(x),x,2); ( %o26) 8 x2 (x2 + 1)3 2 (x2 + 1)2 ( %i27) %,x=0; ( %o27) 2 Por lo tanto, f00(0) = g00(0) = 2 < 0, es decir, f tiene un máximo relativo en x = 0. Representación gráfica Para representar la gráfica de f, podemos definir: ( %i33) f(x):= if(x<1) then g(x) else h(x); ( %o33) f (x) := if x < 1 then g (x) else h (x) El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”. ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]); Maxima was unable to evaluate the predicate:
- error while printing error message **
Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M
- 0: f(x=x)
- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true); 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, "set zeroaxis"], [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "grafica.eps"]);