Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Enunciado: 

Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x<=1 y 1+lnx si x>1)
1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.

2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera. 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos y mínimos relativos. 4. Representar su gráfica. Dominio, puntos de corte, asíntotas Definimos: ( %i1) g(x):=1/(1+x^2); ( %o1) g (x) := 1 1 + x2 ( %i2) h(x):=1+log(x); ( %o2) h (x) := 1 + log x El dominio de g es todo R pues, evidentemente, 1 + x2 6= 0 8x 2 R. Pero, por si hubiera alguna duda, el alumno podría utilizar Maxima para comprobar que no existe ninguna solución real (todas sus soluciones son imaginarios puros): ( %i3) solve(1+x^2=0); 126 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos ( %o3) [x = 􀀀i; x = i] ( %i4) solve(1+x^2=0); ( %o4) [x = 􀀀i; x = i] Maxima es incluso capaz de asegurarnos que 1+x2 es estrictamente positivo (independientemente del valor de x) si utilizamos la función is: ( %i5) is(1+x^2>0); ( %o5) true Por otra parte, la función h(x) solamente está bien definida para aquellos valores de x para los que tiene sentido log(x), es decir, el dominio de h es fx 2 R = x > 0g. Luego El dominio de la función f(x) es todo R, pues cuando x � 1 es igual a g, que está perfectamente definida, y cuando x > 1 coincide con h(x), que no tiene ningún problema para estos valores de x. Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, planteamos ( %i7) solve(g(x)=0,x); ( %o7) [] ( %i8) solve(h(x)=0,x); ( %o8) � x = e􀀀1� El único punto de corte es x = 1 e . En cuanto a posibles puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0 nuestra función toma el valor f(0) = g(0) = 1: ( %i9) g(0); ( %o9) 1 En definitiva: Los puntos de corte de f(x) son (0; 1) y ( 1 e ; 0). 127 En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical en x = 0, debido al logaritmo: ( %i10) limit(h(x),x,0,plus); ( %o10) 􀀀1 Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical. Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x) cuando x ! 􀀀1 (en cuyo caso f = g) y cuando x ! +1 (en cuyo caso f = h), ( %i11) limit(g(x),x,minf); ( %o11) 0 ( %i12) limit(h(x),x,inf); ( %o12) 1 Por lo tanto, podemos concluir que: f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la recta y = 0) cuando x ! 􀀀1. Continuidad, derivabilidad Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este punto son distintos, pues ( %i13) limit(g(x),x,1,minus); ( %o13) 1 2 ( %i14) limit(h(x),x,1,plus); ( %o14) 1 en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto). 128 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos dominios). Puesto que ( %i15) diff(g(x),x); ( %o15) 􀀀 2 x (x2 + 1)2 ( %i16) diff(h(x),x); ( %o16) 1 x podemos concluir que la función derivada de f es: f0(x) = 8>< >: 􀀀 2x (x2 + 1)2 si x < 1 1 x si x > 1 Crecimiento, extremos relativos El crecimiento de f depende del signo de la función derivada, f0(x), calculada en el apartado anterior. Cuando x > 1, obviamente, 1 x > 0 y por lo tanto, f0(x) > 0. Aunque es un caso tan sencillo que no merece la pena recurrir al ordenador, puede servir como ilustración la forma en que se podría comprobar lo anterior, utilizando los comandos “assume” e “is”: ( %i22) assume(x>1); ( %o22) [x > 1] ( %i23) is(1/x>0); ( %o23) true cuando x < 1, el asunto es diferente, pues el signo de f0(x) dependerá de la expresión 􀀀 2x (x2 + 1)2 ; (B.1) que depende del signo de 􀀀2x (puesto que el denominador es siempre estrictamente positivo), siendo, negativo cuando x > 0 y positivo en caso contrario. Por lo tanto 129 f es creciente en (􀀀1; 0) [ (1;+1) y decreciente en (0; 1). Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f: ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x); ( %o24) [x = 0] ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x); ( %o25) [] Esto es, h no tiene puntos críticos y g tiene un punto crítico, x = 0. Cuando x = 0 la función f es igual a g, luego éste es un punto crítico de f. Para saber si se trata de un máximo o un mínimo, podemos estudiar el signo de la segunda derivada: ( %i26) diff(g(x),x,2); ( %o26) 8 x2 (x2 + 1)3 􀀀 2 (x2 + 1)2 ( %i27) %,x=0; ( %o27) 􀀀2 Por lo tanto, f00(0) = g00(0) = 􀀀2 < 0, es decir, f tiene un máximo relativo en x = 0. Representación gráfica Para representar la gráfica de f, podemos definir: ( %i33) f(x):= if(x<1) then g(x) else h(x); ( %o33) f (x) := if x < 1 then g (x) else h (x) El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”. ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]); Maxima was unable to evaluate the predicate:

• • error while printing error message **

Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M

1. 0: f(x=x)

- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true); 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, "set zeroaxis"], [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "grafica.eps"]);