Estudio de una función

Enunciado:

Sea f(x) = (x^2-9)/x
* Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas
* Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas
  que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.
* Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).
* Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.
* Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.
* Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.
* Calcula una primitiva de f(x).
* Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A
  mayor que uno?
* Puntos de corte

Solución: 
( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;

Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:
( %i2) solve(f(x)=0,x);

Los puntos de corte con OY verifican x = 0:
( %i3) f(0);

Valores de f(n)
( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);
( %i5) tabla:map(f,lista);
( %i6) %,numer;
( %i7) limit(f(x),x,inf);

Asíntotas
Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, 
( %i8) limit(f(x),x,0); 
( %i9) limit(f(x),x,0,plus);
( %i10) limit(f(x),x,0,minus);
f(x) no tiene asíntotas horizontales 
( %i11) limit(f(x),x,minf);
( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);
f(x) tiene una asíntota oblicua
( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);
Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.

Gráfica
( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
zeroaxis;"]);

Derivada 
( %i15) diff(f(x),x);
( %i16) ratsimp(%); 
Derivada para a=3
( %i17) a:3;
( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;

La recta tangente 
( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));
( %i20) m:Df(a);
( %i21) y-f(a)=m*(x-a);
( %i22) expand(%);
 
Representación
( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
zeroaxis;"]);

Primitiva y área

Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima, tendremos: ( %i24) integrate(f(x),x); ( %o24) x2 2 􀀀 9 log x Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) > 0 en [3;+1), pues hemos visto que f(3) = 0 y si x > 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos 123 (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida: Z 4 3 f(x)dx ( %i25) f(x); ( %o25) x2 􀀀 9 x ( %i26) numerador:num(f(x)); ( %o26) x2 􀀀 9 ( %i27) denominador:denom(f(x)); ( %o27) x ( %i28) assume(x>3); ( %o28) [x > 3] ( %i29) is(numerador>0); ( %o29) true ( %i30) is(denominador>0); ( %o30) true ( %i31) forget(x>3); ( %o31) [x > 3] ( %i32) integrate(f(x),x,3,4); ( %o32) 􀀀9 log 4 + 9 log 3 + 7 2 ( %i33) %,numer; 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función ( %o33) 0;910861347933972

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