Estudio de una función
De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)
Enunciado:
Sea f(x) = (x^2-9)/x * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima. * Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x). * Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x. * Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3. * Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente. * Calcula una primitiva de f(x). * Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A mayor que uno? * Puntos de corte
Solución: ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;
Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0: ( %i2) solve(f(x)=0,x);
Los puntos de corte con OY verifican x = 0: ( %i3) f(0);
Valores de f(n) ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15); ( %i5) tabla:map(f,lista); ( %i6) %,numer; ( %i7) limit(f(x),x,inf);
Asíntotas Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, ( %i8) limit(f(x),x,0); ( %i9) limit(f(x),x,0,plus); ( %i10) limit(f(x),x,0,minus); f(x) no tiene asíntotas horizontales ( %i11) limit(f(x),x,minf); ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf); f(x) tiene una asíntota oblicua ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf); Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.
Gráfica
Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [20; 20], y 2 [20; 100]: ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set zeroaxis;"]); ( %o14) Figura A.1: Gráfica de la función x29 2 junto a su asíntota oblicua y = x Derivada y recta tangente A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y hallamos f0(a). ( %i15) diff(f(x),x); ( %o15) 2 x2 9 x2 121 ( %i16) ratsimp(%); ( %o16) x2 + 9 x2 ( %i17) a:3; ( %o17) 3 ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a; ( %o18) 2 Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la derivada de f(x)». También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp) la derivada (diff ) de f(x)» Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta tangente como y f(a) = m � (x a) ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x))); ( %o19) Df (x) := x2 + 9 x2 ( %i20) m:Df(a); ( %o20) 2 ( %i21) y-f(a)=m*(x-a); ( %o21) y = 2 (x 3) 122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función ( %i22) expand(%); ( %o22) y = 2 x 6 Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la gráfica: ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set zeroaxis;"]); ( %o23) El resultado se puede apreciar en la figura A.2 Figura A.2: Gráfica de la función x29 2 junto su recta tengente en x = 3 Primitiva y área Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima, tendremos: ( %i24) integrate(f(x),x); ( %o24) x2 2 9 log x Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) > 0 en [3;+1), pues hemos visto que f(3) = 0 y si x > 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos 123 (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida: Z 4 3 f(x)dx ( %i25) f(x); ( %o25) x2 9 x ( %i26) numerador:num(f(x)); ( %o26) x2 9 ( %i27) denominador:denom(f(x)); ( %o27) x ( %i28) assume(x>3); ( %o28) [x > 3] ( %i29) is(numerador>0); ( %o29) true ( %i30) is(denominador>0); ( %o30) true ( %i31) forget(x>3); ( %o31) [x > 3] ( %i32) integrate(f(x),x,3,4); ( %o32) 9 log 4 + 9 log 3 + 7 2 ( %i33) %,numer; 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función ( %o33) 0;910861347933972