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Diferencia entre revisiones de «Estudio de una función»

De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)
 
(No se muestran 7 ediciones intermedias del mismo usuario)
Línea 1: Línea 1:
 
  '''Enunciado: '''
 
  '''Enunciado: '''
  
−
Sea f(x) = (x^2-9)/x
+
Sea f(x) = (x^2-9)/x
 
  * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas
 
  * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas
 
  * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas
 
  * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas
Línea 15: Línea 15:
  
 
  '''Solución: '''
 
  '''Solución: '''
−
Comenzamos definiendo f(x):
+
( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;
−
( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;
+
 
−
( %o1)
+
Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:
−
f (x) :=
+
( %i2) solve(f(x)=0,x);
−
x2 􀀀 9
+
 
−
x
+
Los puntos de corte con OY verifican x = 0:
−
118 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
+
( %i3) f(0);
−
Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:
+
 
−
( %i2) solve(f(x)=0,x);
+
Valores de f(n)
−
( %o2)
+
( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);
−
[x = 􀀀3; x = 3]
+
( %i5) tabla:map(f,lista);
−
así que tenemos (􀀀3; 0) y (3; 0). Los puntos de corte con OY verifican x = 0, pero
+
( %i6) %,numer;
−
( %i3) f(0);
+
( %i7) limit(f(x),x,inf);
−
Division by 0
+
 
−
#0: f(x=0)
+
Asíntotas
−
- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);
+
Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0,  
−
Evidentemente, el punto x = 0 no está en el dominio, pues el denominador se hace cero
+
( %i8) limit(f(x),x,0);  
−
(y Maxima nos da el error anterior).
+
( %i9) limit(f(x),x,0,plus);
−
Valores de f(n)
+
( %i10) limit(f(x),x,0,minus);
−
Podríamos calcular uno a uno los valores de f(n) pero es más rápido, como
+
f(x) no tiene asíntotas horizontales  
−
vimos en el tema anterior, utilizar la función “map”, que es especialmente apropiada
+
( %i11) limit(f(x),x,minf);
−
para crear tablas de valores:
+
( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);
−
( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);
+
f(x) tiene una asíntota oblicua
−
( %o4)
+
( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);
−
[100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900; 1000; 1100; 1200; 1300; 1400; 1500]
+
Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.
−
( %i5) tabla:map(f,lista);
+
 
−
( %o5)
+
Gráfica
−
�
+
( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
−
9991
+
zeroaxis;"]);
−
100
+
 
−
;
+
Derivada  
−
39991
+
( %i15) diff(f(x),x);
−
200
+
( %i16) ratsimp(%);  
−
;
+
Derivada para a=3
−
29997
+
( %i17) a:3;
−
100
+
( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;
−
;
+
 
−
159991
+
La recta tangente  
−
400
+
( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));
−
;
+
( %i20) m:Df(a);
−
249991
+
( %i21) y-f(a)=m*(x-a);
−
500
+
( %i22) expand(%);
−
;
+
 
−
119997
+
Representación
−
200
+
( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
−
;
+
zeroaxis;"]);
−
489991
+
 
−
700
+
Primitiva  
−
;
+
( %i24) integrate(f(x),x);
−
639991
+
−
800
+
Àrea
−
;
+
( %i25) f(x);
−
89999
+
( %i26) numerador:num(f(x));
−
100
+
( %i27) denominador:denom(f(x));
−
;
+
( %i28) assume(x>3);
−
999991
+
( %i29) is(numerador>0);
−
1000
+
( %i30) is(denominador>0);
−
;
+
( %i31) forget(x>3);
−
1209991
+
( %i32) integrate(f(x),x,3,4);
−
1100
+
( %i33) %,numer;
−
;
 
−
479997
 
−
400
 
−
;
 
−
16899130( %i6) %,numer;
 
−
( %o6)
 
−
[99;909999999999997; 199;95500000000001; 299;97000000000003; 399;97750000000002; 499;982000000000Parece que
 
−
l��m
 
−
x!+1
 
−
f(x) = +1;
 
−
pero es mejor confirmarlo con Maxima. Efectivamente:
 
−
119
 
−
( %i7) limit(f(x),x,inf);
 
−
( %o7)
 
−
1
 
−
Asíntotas
 
−
Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, de hecho
 
−
l��m
 
−
x!0+
 
−
f(x) = 􀀀1 l��m
 
−
x!0􀀀
 
−
f(x) = +1
 
−
( %i8) limit(f(x),x,0);
 
−
( %o8)
 
−
und
 
−
( %i9) limit(f(x),x,0,plus);
 
−
( %o9)
 
−
􀀀1
 
−
( %i10) limit(f(x),x,0,minus);
 
−
( %o10)
 
−
1
 
−
Por otra parte, f(x) no tiene asíntotas horizontales en +1(como vimos, el límite
 
−
es +1) y tampoco en 􀀀1, como vemos ahora:
 
−
( %i11) limit(f(x),x,minf);
 
−
( %o11)
 
−
􀀀1
 
−
Y, por otro lado, puesto que
 
−
( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);
 
−
( %o12)
 
−
1
 
−
f(x) tiene una asíntota oblicua, de la forma y = 1 � x + a, donde a viene dado por el
 
−
siguiente límite:
 
−
120 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
 
−
( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);
 
−
( %o13)
 
−
0
 
−
Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.
 
−
Gráfica
 
−
Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se
 
−
encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [􀀀20; 20],
 
−
y 2 [􀀀20; 100]:
 
−
( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
 
−
zeroaxis;"]);
 
−
( %o14)
 
−
Figura A.1: Gráfica de la función x2􀀀9
 
−
2 junto a su asíntota oblicua y = x
 
−
Derivada y recta tangente
 
−
A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y
 
−
hallamos f0(a).
 
−
( %i15) diff(f(x),x);
 
−
( %o15)
 
−
2 􀀀
 
−
x2 􀀀 9
 
−
x2
 
−
121
 
−
( %i16) ratsimp(%);
 
−
( %o16)
 
−
x2 + 9
 
−
x2
 
−
( %i17) a:3;
 
−
( %o17)
 
−
3
 
−
( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;
 
−
( %o18)
 
−
2
 
−
Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor
 
−
x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene
 
−
pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado
 
−
de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la
 
−
última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la
 
−
derivada de f(x)».
 
−
También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que
 
−
podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos
 
−
más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la
 
−
derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede
 
−
leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)
 
−
la derivada (diff ) de f(x)»
 
−
Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta
 
−
tangente como
 
−
y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)
 
−
( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));
 
−
( %o19)
 
−
Df (x) :=
 
−
x2 + 9
 
−
x2
 
−
( %i20) m:Df(a);
 
−
( %o20)
 
−
2
 
−
( %i21) y-f(a)=m*(x-a);
 
−
( %o21)
 
−
y = 2 (x 􀀀 3)
 
−
122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
 
−
( %i22) expand(%);
 
−
( %o22)
 
−
y = 2 x 􀀀 6
 
−
Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la
 
−
gráfica:
 
−
( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
 
−
zeroaxis;"]);
 
−
( %o23)
 
−
El resultado se puede apreciar en la figura A.2
 
−
Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9
 
−
2 junto su recta tengente en x = 3
 
−
Primitiva y área
 
−
Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,
 
−
tendremos:
 
−
( %i24) integrate(f(x),x);
 
−
( %o24)
 
−
x2
 
−
2
 
−
􀀀 9 log x
 
−
Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) > 0 en [3;+1), pues hemos visto que
 
−
f(3) = 0 y si x > 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos
 
−
123
 
−
(en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos
 
−
más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida:
 
−
Z 4
 
−
3
 
−
f(x)dx
 
−
( %i25) f(x);
 
−
( %o25)
 
−
x2 􀀀 9
 
−
x
 
−
( %i26) numerador:num(f(x));
 
−
( %o26)
 
−
x2 􀀀 9
 
−
( %i27) denominador:denom(f(x));
 
−
( %o27)
 
−
x
 
−
( %i28) assume(x>3);
 
−
( %o28)
 
−
[x > 3]
 
−
( %i29) is(numerador>0);
 
−
( %o29)
 
−
true
 
−
( %i30) is(denominador>0);
 
−
( %o30)
 
−
true
 
−
( %i31) forget(x>3);
 
−
( %o31)
 
−
[x > 3]
 
−
( %i32) integrate(f(x),x,3,4);
 
−
( %o32)
 
−
􀀀9 log 4 + 9 log 3 +
 
−
7
 
−
2
 
−
( %i33) %,numer;
 
−
124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
 
−
( %o33)
 
−
0;910861347933972
 

Revisión actual del 14:19 19 abr 2011

Enunciado: 

Sea f(x) = (x^2-9)/x
* Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas
* Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas
  que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.
* Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).
* Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.
* Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.
* Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.
* Calcula una primitiva de f(x).
* Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A
  mayor que uno?
* Puntos de corte

Solución: 
( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;

Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:
( %i2) solve(f(x)=0,x);

Los puntos de corte con OY verifican x = 0:
( %i3) f(0);

Valores de f(n)
( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);
( %i5) tabla:map(f,lista);
( %i6) %,numer;
( %i7) limit(f(x),x,inf);

Asíntotas
Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, 
( %i8) limit(f(x),x,0); 
( %i9) limit(f(x),x,0,plus);
( %i10) limit(f(x),x,0,minus);
f(x) no tiene asíntotas horizontales 
( %i11) limit(f(x),x,minf);
( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);
f(x) tiene una asíntota oblicua
( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);
Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.

Gráfica
( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
zeroaxis;"]);

Derivada 
( %i15) diff(f(x),x);
( %i16) ratsimp(%); 
Derivada para a=3
( %i17) a:3;
( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;

La recta tangente 
( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));
( %i20) m:Df(a);
( %i21) y-f(a)=m*(x-a);
( %i22) expand(%);
 
Representación
( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
zeroaxis;"]);

Primitiva 
( %i24) integrate(f(x),x);

Àrea
( %i25) f(x);
( %i26) numerador:num(f(x));
( %i27) denominador:denom(f(x));
( %i28) assume(x>3);
( %i29) is(numerador>0);
( %i30) is(denominador>0);
( %i31) forget(x>3);
( %i32) integrate(f(x),x,3,4);
( %i33) %,numer;
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