Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas

• Ejercicio sobre integrales.

Se considera la función real de variable real definida por: f(x)= x^3-3*x^2+4

a)Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión. b)Determínense los extremos relativos de f.

Solución:

a) Para calcular el punto de inflexión de la función f(x), debemos calcular su segunda derivada y estudiar los valores de x que la hacen cero.

(%i1) f(x):= x^3 - 3*x^2 + 4;

(%i2) diff(f(x), x, 2);

(%o2) 6 x - 6

(%i3) a:solve(6*x -6=0, x);

(%o3) [x = 1]

Ahora, comprobamos que ciertamente para x=1 existe un punto de inflexión mediante la tercera derivada. Al sustituir dicho punto en ella, el resultado debe ser distinto de cero.

(%i4) diff(f(x), x, 3);

(%o4) 6

• Ahora que ya conocemos el punto de inflexión de la función, vamos a calcular la recta tangente a ella en dicho punto. Dicha recta tangente viene dada por:

y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)

Por lo tanto, nos queda calcular la primera derivada y sustituir:

(%i5) diff(f(x),x);

(%o5) 3x^2-6x

(%i6) a:f(1);

(%o6) 2

(%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;

(%i8) b:f1(1);

(%o8) - 3

• Por lo tanto, ahora sólo nos queda sustituir los valores:

y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)

y= -3*(x-1)+ 2

y=-3x +5

b)Para calcular los extremos relativos de la función, resolvemos la primera derivada y estudiamos el signo de la segunda derivada una vez sustituidos los valores, de forma que:

• Si f(x_0)< 0, en x_0 tenemos un máximo.
• Si f(x_0)> 0, en x_0 tenemos un mínimo.

Si llamamos f1 a la primera derivada y f2 a la segunda:

(%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;

(%i9) solve(3*x^2-6*x=0,x);

(%o9) [x = 0, x = 2]

Sustituimos los valores anteriores en la segunda derivada:

(%i10) f2(x):=6* x - 6;

(%i11) f2(0);

(%o11) - 6

(%i12) f2(2);

(%o12) 6

Por lo tanto, para x=0 tenemos un máximo y para x=2 tenemos un minimo relativo.