Ver el código de «Punto simétrico respecto de una recta» - Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Enunciado
Dada la recta r(x,y,z) = (1,0,0)+ λ(0,1,1), y el punto P(1,1,0), se pide:

a)	Hallar la ecuación de una recta s que sea perpendicular a r y pase por P

b)	Hallar el punto P’, simétrico de P respecto de r.

(Ejercicio resuelto por Javier Escalante Macias)

Solución:

a)Calculamos un vector v perpendicular a la recta r cuyo vector director es u
(%i2) u:[0,1,1];
(%o2) [0,1,1]
(%i3) v:[2,k,1];
(%o3) [2,k,1]
(%i4) u.v=0;
(%o4) k+1=0
(%i5) solve(%o4,k);
(%o5) [k=-1]
 De esta manera el vector v vale
(%i6) v:[2,-1,1];
(%o6) [2,-1,1]
 La recta s perpendicular a r que pasa por P
(%i7) x:1+2*t; y:1-t; z:0+t;
(%o7) 2*t+1
(%o8) 1-t
(%o9) t

b) Calculamos la proyección de P sobre r. Dicho punto es el punto medio entre P y P'

Calculamos el plano pi perpendicular a r por P. El plano pi tiene como vector normal a n
que coincide con u, luego pi: 0*x+1*y+1*z+D=0
(%i13) n:[0,1,1];
P:[1,1,0];
(%o13) [0,1,1]
(%o14) [1,1,0]
(%i15) n.P+D=0;
(%o15) D+1=0
(%i16) solve(%o15,D);
(%o16) [D=-1]
(%i21) x:1; y:t; z:t; y+z-1=0;
(%o21) 1
(%o22) t
(%o23) t
(%o24) 2*t-1=0
(%i25) solve(%o24,t);
(%o25) [t=1/2]
(%i26) t:1/2;x:1; y:t; z:t;
(%o26) 1/2
(%o27) 1
(%o28) 1/2
(%o29) 1/2
 Luego el punto medio entre P y P' M vale
(%i30) M:[1,1/2,1/2];
(%o30) [1,1/2,1/2]
 Definiendo P' como (a,b,c), de la definición de punto medio
(%i32) Ps:[a,b,c];
(%o32) [a,b,c]
(%i33) P/2+Ps/2;
(%o33) [a/2+1/2,b/2+1/2,c/2]
(%i41) %o33-%o30;
(%o41) [a/2-1/2,b/2,c/2-1/2]
(%i43) solve(%o41,%o32);
(%o43) [[a=1,b=0,c=1]]
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