Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Enunciado Dada la recta r(x,y,z) = (1,0,0)+ λ(0,1,1), y el punto P(1,1,0), se pide:

a) Hallar la ecuación de una recta s que sea perpendicular a r y pase por P

b) Hallar el punto P’, simétrico de P respecto de r.

(Ejercicio resuelto por Javier Escalante Macias)

Solución:

a)Calculamos un vector v perpendicular a la recta r cuyo vector director es u (%i2) u:[0,1,1]; (%o2) [0,1,1] (%i3) v:[2,k,1]; (%o3) [2,k,1] (%i4) u.v=0; (%o4) k+1=0 (%i5) solve(%o4,k); (%o5) [k=-1]

De esta manera el vector v vale

(%i6) v:[2,-1,1]; (%o6) [2,-1,1]

La recta s perpendicular a r que pasa por P

(%i7) x:1+2*t; y:1-t; z:0+t; (%o7) 2*t+1 (%o8) 1-t (%o9) t

b) Calculamos la proyección de P sobre r. Dicho punto es el punto medio entre P y P'

Calculamos el plano pi perpendicular a r por P. El plano pi tiene como vector normal a n que coincide con u, luego pi: 0*x+1*y+1*z+D=0 (%i13) n:[0,1,1]; P:[1,1,0]; (%o13) [0,1,1] (%o14) [1,1,0] (%i15) n.P+D=0; (%o15) D+1=0 (%i16) solve(%o15,D); (%o16) [D=-1] (%i21) x:1; y:t; z:t; y+z-1=0; (%o21) 1 (%o22) t (%o23) t (%o24) 2*t-1=0 (%i25) solve(%o24,t); (%o25) [t=1/2] (%i26) t:1/2;x:1; y:t; z:t; (%o26) 1/2 (%o27) 1 (%o28) 1/2 (%o29) 1/2

Luego el punto medio entre P y P' M vale

(%i30) M:[1,1/2,1/2]; (%o30) [1,1/2,1/2]

Definiendo P' como (a,b,c), de la definición de punto medio

(%i32) Ps:[a,b,c]; (%o32) [a,b,c] (%i33) P/2+Ps/2; (%o33) [a/2+1/2,b/2+1/2,c/2] (%i41) %o33-%o30; (%o41) [a/2-1/2,b/2,c/2-1/2] (%i43) solve(%o41,%o32); (%o43) a=1,b=0,c=1 -->