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Diferencia entre revisiones de «Relación 2»

De Razonamiento automático (2018-19)

Línea 31: Línea 31:
 
   ------------------------------------------------------------------- *}
 
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 +
(* pabalagon *)
 
lemma "sumaImpares n = n*n"
 
lemma "sumaImpares n = n*n"
   oops
+
   apply(induction n)
 +
  apply auto
 +
  done
  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
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 +
(* pabalagon *)
 
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
 
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
   "sumaPotenciasDeDosMasUno n = undefined"
+
   "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2" |
 +
  "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = 2^(n+1) + sumaPotenciasDeDosMasUno n"
  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
Línea 51: Línea 56:
 
   ------------------------------------------------------------------- *}
 
   ------------------------------------------------------------------- *}
  
 +
(* pabalagon *)
 
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
 
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
   oops
+
   apply(induction n)
 +
  apply auto
 +
  done
  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
Línea 62: Línea 70:
 
   ------------------------------------------------------------------ *}
 
   ------------------------------------------------------------------ *}
  
 +
(* pabalagon *)
 
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
 
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
   "copia n x = undefined"
+
   "copia 0 x = []" |
 +
  "copia (Suc n) x = x#copia n x"
  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
Línea 75: Línea 85:
 
   ----------------------------------------------------------------- *}
 
   ----------------------------------------------------------------- *}
  
 +
(* pabalagon *)
 
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
 
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
   "todos p xs = undefined"
+
   "todos p [] = True" |
 +
  "todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"
  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
Línea 83: Línea 95:
 
   ------------------------------------------------------------------- *}
 
   ------------------------------------------------------------------- *}
  
 +
(* pabalagon *)
 
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
 
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
   oops
+
   apply(induction n)
 +
  apply auto
 +
  done
  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
Línea 94: Línea 109:
 
   ------------------------------------------------------------------ *}
 
   ------------------------------------------------------------------ *}
  
 +
(* pabalagon *)
 
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
 
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
   "amplia xs y = undefined"
+
   "amplia [] y = [y]" |
 +
  "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"
  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
Línea 102: Línea 119:
 
   ------------------------------------------------------------------- *}
 
   ------------------------------------------------------------------- *}
  
 +
(* pabalagon *)
 
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
 
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
   oops
+
   apply(induction xs)
 +
  apply auto
 +
  done
  
 
end
 
end
 
</source>
 
</source>

Revisión del 22:10 15 nov 2018

chapter {* R2: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R2_Razonamiento_automatico_sobre_programas
imports Main 
begin

declare [[names_short]]

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.1. Definir la función
     sumaImpares :: nat ⇒ nat
  tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
  impares. Por ejemplo,
     sumaImpares 5  =  25
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon cammonagu *)
fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaImpares 0 = 0" |
  "sumaImpares n = 2*n-1 + sumaImpares (n-1)"

value "sumaImpares 1  = 1"
value "sumaImpares 3  = 9"
value "sumaImpares 5  = 25"


text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.2. Demostrar que 
     sumaImpares n = n*n
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
  apply(induction n)
   apply auto
  done

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.1. Definir la función
     sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
  tal que 
     (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
  Por ejemplo, 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon *)
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2" |
  "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = 2^(n+1) + sumaPotenciasDeDosMasUno n"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.2. Demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon *)
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
  apply(induction n)
   apply auto
  done

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.1. Definir la función
     copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     copia 3 x = [x,x,x]
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon *)
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia 0 x = []" |
  "copia (Suc n) x = x#copia n x"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.2. Definir la función
     todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
  la propiedad p. Por ejemplo,
     todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
     todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
  Nota: La conjunción se representa por ∧
  ----------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon *)
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "todos p [] = True" |
  "todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.3. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
  iguales a x. 
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon *)
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  apply(induction n)
   apply auto
  done

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.1. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
     amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
  final de la lista xs. Por ejemplo,
     amplia [d,a] t = [d,a,t]
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon *)
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "amplia [] y = [y]" |
  "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.2. Demostrar que 
     amplia xs y = xs @ [y]
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon *)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
  apply(induction xs)
   apply auto
  done

end