Relación 2

chapter {* R2: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R2_Razonamiento_automatico_sobre_programas
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declare [[names_short]]

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.1. Definir la función
     sumaImpares :: nat ⇒ nat
  tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
  impares. Por ejemplo,
     sumaImpares 5  =  25
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* manperjim pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2
   hugrubsan enrparalv gleherlop chrgencar giafus1 pabbergue alikan
   aribatval *)  
fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaImpares 0 = 0" |
  "sumaImpares n = 2*n-1 + sumaImpares (n-1)"

value "sumaImpares 1  = 1"
value "sumaImpares 3  = 9"
value "sumaImpares 5  = 25"

(* josgomrom4 marfruman1 benber antramhur *)
fun sumaImpares2 :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaImpares2 0 = 0" |
  "sumaImpares2 (Suc n) = 2*n + 1 + sumaImpares2 n"

value "sumaImpares2 1  = 1"
value "sumaImpares2 3  = 9"
value "sumaImpares2 5  = 25"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.2. Demostrar que 
     sumaImpares n = n*n
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* manperjim pabalagon cammonagu juacanrod josgomrom4 hugrubsan
   enrparalv gleherlop benber chrgencar giafus1 alikan aribatval *) 
lemma "sumaImpares n = n*n"
  apply (induction n)
   apply auto
  done

(* pabalagon *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
  apply (induction n)
   apply simp
   apply simp
  done

(* pabalagon antramhur *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
  by (induction n) simp_all

(* alfmarcua raffergon2 marfruman1 pabbergue *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
  by (induction n) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.1. Definir la función
     sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
  tal que 
     (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
  Por ejemplo, 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* manperjim pabalagon cammonagu chrgencar hugrubsan gleherlop benber
   pabbergue aribatval *) 
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2" |
  "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = 
     2^(n+1) + sumaPotenciasDeDosMasUno n"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16"

(* juacanrod josgomrom4 marfruman1 antramhur *)
fun sumaPotenciasDeDosMasUno2 :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno2 0 = 2" |
  "sumaPotenciasDeDosMasUno2 (Suc n) = 
     2^(Suc n) + sumaPotenciasDeDosMasUno2 n"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno2 3  =  16"

(* alfmarcua raffergon2 enrparalv alikan giafus1 *)
fun sumaPotenciasDeDosMasUno3 :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno3 0 = 2" |
  "sumaPotenciasDeDosMasUno3 n = 2^n + sumaPotenciasDeDosMasUno3 (n-1)"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno3 3  =  16"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.2. Demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* manperjim pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2
   josgomrom4 hugrubsan enrparalv benber chrgencar gleherlop  giafus1
   pabbergue alikan aribatval *)  
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
  apply (induction n)
   apply auto
  done

(* pabalagon antramhur *)
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
  by (induction n) simp_all

(* marfruman1 *)
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
  by (induct n) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.1. Definir la función
     copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     copia 3 x = [x,x,x]
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* manperjim pabalagon cammonagu josgomrom4 hugrubsan benber gleherlop
   chrgencar pabbergue alikan antramhur aribatval *) 
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia 0 x = []" |
  "copia (Suc n) x = x#copia n x"

value "copia 3 x = [x,x,x]"

(* juacanrod marfruman1 *)
fun copia2 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia2 0 x = []" |
  "copia2 (Suc n) x = [x] @ copia2 n x"

value "copia2 3 x = [x,x,x]"

(* manperjim alfmarcua raffergon2 enrparalv giafus1 *)
fun copia3 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia3 0 x = []" |
  "copia3 n x = x#(copia (n-1) x)"

value "copia3 3 x = [x,x,x]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.2. Definir la función
     todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
  la propiedad p. Por ejemplo,
     todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
     todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
  Nota: La conjunción se representa por ∧
  ----------------------------------------------------------------- *}

(* manperjim pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2
   josgomrom4 marfruman1 hugrubsan enrparalv benber chrgencar giafus1
   gleherlop pabbergue alikan antramhur aribatval *)  
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "todos p [] = True" |
  "todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"

value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True"
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.3. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
  iguales a x. 
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* manperjim pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2
   josgomrom4 hugrubsan enrparalv benber giafus1 pabbergue alikan
   gleherlop chrgencar aribatval *) 
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  apply (induction n)
   apply auto
  done

(* Comentario: La demostración anterior falla para copia3. *)

(* pabalagon antramhur *)
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  by (induction n) simp_all

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.1. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
     amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
  final de la lista xs. Por ejemplo,
     amplia [d,a] t = [d,a,t]
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* manperjim pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2
   josgomrom4 marfruman1 hugrubsan enrparalv benber chrgencar gleherlop
   giafus1 pabbergue alikan antramhur aribatval *)  
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "amplia [] y = [y]" |
  "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"

value "amplia [d,a] t = [d,a,t]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.2. Demostrar que 
     amplia xs y = xs @ [y]
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* manperjim pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2
   josgomrom4 hugrubsan gleherlop enrparalv benber chrgencar giafus1
   pabbergue alikan aribatval *)  
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
  apply (induction xs)
   apply auto
  done

(* pabalagon antramhur *)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
  by (induction xs) simp_all

(* marfruman1 *)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
  by (induction xs) auto

end