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Diferencia entre revisiones de «Relación 2»

De Razonamiento automático (2018-19)

m (Protegió «Relación 2» ([Editar=Solo administradores] (indefinido) [Trasladar=Solo administradores] (indefinido)))
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   "sumaImpares n = 2*n-1 + sumaImpares (n-1)"
 
   "sumaImpares n = 2*n-1 + sumaImpares (n-1)"
  
{* josgomrom4 marfruman1*}
+
 
 +
(* josgomrom4 marfruman1 *)
 
fun sumaImpares2 :: "nat ⇒ nat" where
 
fun sumaImpares2 :: "nat ⇒ nat" where
 
   "sumaImpares2 0 = 0" |
 
   "sumaImpares2 0 = 0" |
 
   "sumaImpares2 (Suc n) = 2*n + 1 + sumaImpares2 n"
 
   "sumaImpares2 (Suc n) = 2*n + 1 + sumaImpares2 n"
  
value "sumaImpares 1  = 1"
+
value "sumaImpares2 1  = 1"
value "sumaImpares 3  = 9"
+
value "sumaImpares2 3  = 9"
value "sumaImpares 5  = 25"
+
value "sumaImpares2 5  = 25"
 
 
  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
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(* pabalagon cammonagu juacanrod josgomrom4 hugrubsan *)
 
(* pabalagon cammonagu juacanrod josgomrom4 hugrubsan *)
 
lemma "sumaImpares n = n*n"
 
lemma "sumaImpares n = n*n"
   apply(induction n)
+
   apply (induction n)
 
   apply auto
 
   apply auto
 
   done
 
   done
Línea 44: Línea 44:
 
(* pabalagon *)
 
(* pabalagon *)
 
lemma "sumaImpares n = n*n"
 
lemma "sumaImpares n = n*n"
   apply(induction n)
+
   apply (induction n)
 +
  apply simp
 
   apply simp
 
   apply simp
  apply simp
 
 
   done
 
   done
  
Línea 56: Línea 56:
 
lemma "sumaImpares n = n*n"
 
lemma "sumaImpares n = n*n"
 
   by (induction n) auto
 
   by (induction n) auto
 
  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
 
text {* ---------------------------------------------------------------  
Línea 67: Línea 66:
 
   ------------------------------------------------------------------ *}
 
   ------------------------------------------------------------------ *}
  
(* pabalagon cammonagu hugrubsan*)
+
(* pabalagon cammonagu hugrubsan *)
 
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
 
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
 
   "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2" |
 
   "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2" |
   "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = 2^(n+1) + sumaPotenciasDeDosMasUno n"
+
   "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) =  
 +
    2^(n+1) + sumaPotenciasDeDosMasUno n"
  
{* juacanrod josgomrom4 marfruman1*}
+
(* juacanrod josgomrom4 marfruman1*)
 
fun sumaPotenciasDeDosMasUno2 :: "nat ⇒ nat" where
 
fun sumaPotenciasDeDosMasUno2 :: "nat ⇒ nat" where
 
   "sumaPotenciasDeDosMasUno2 0 = 2" |
 
   "sumaPotenciasDeDosMasUno2 0 = 2" |
   "sumaPotenciasDeDosMasUno2 (Suc n) = 2^(Suc n) + sumaPotenciasDeDosMasUno2 n"
+
   "sumaPotenciasDeDosMasUno2 (Suc n) =  
 +
    2^(Suc n) + sumaPotenciasDeDosMasUno2 n"
  
 
(* alfmarcua raffergon2 *)
 
(* alfmarcua raffergon2 *)
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   ------------------------------------------------------------------- *}
 
   ------------------------------------------------------------------- *}
  
(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4 hugrubsan *)
+
(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
 +
  hugrubsan *)  
 
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
 
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
   apply(induction n)
+
   apply (induction n)
 
   apply auto
 
   apply auto
 
   done
 
   done
Línea 134: Línea 136:
 
   ----------------------------------------------------------------- *}
 
   ----------------------------------------------------------------- *}
  
(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4 marfruman1 hugrubsan *)
+
(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
 +
  marfruman1 hugrubsan *)  
 
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
 
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
 
   "todos p [] = True" |
 
   "todos p [] = True" |
Línea 144: Línea 147:
 
   ------------------------------------------------------------------- *}
 
   ------------------------------------------------------------------- *}
  
(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4 hugrubsan *)
+
(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
 +
  hugrubsan *)  
 
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
 
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
   apply(induction n)
+
   apply (induction n)
 
   apply auto
 
   apply auto
 
   done
 
   done
 +
 +
(* Comentario: La demostración anterior falla para copia3. *)
  
 
(* pabalagon *)
 
(* pabalagon *)
Línea 162: Línea 168:
 
   ------------------------------------------------------------------ *}
 
   ------------------------------------------------------------------ *}
  
(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4 marfruman1 hugrubsan *)
+
(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
 +
  marfruman1 hugrubsan *)  
 
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
 
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
 
   "amplia [] y = [y]" |
 
   "amplia [] y = [y]" |
Línea 174: Línea 181:
 
(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4 hugrubsan *)
 
(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4 hugrubsan *)
 
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
 
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
   apply(induction xs)
+
   apply (induction xs)
 
   apply auto
 
   apply auto
 
   done
 
   done

Revisión del 10:17 22 nov 2018

chapter {* R2: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R2_Razonamiento_automatico_sobre_programas
imports Main 
begin

declare [[names_short]]

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.1. Definir la función
     sumaImpares :: nat ⇒ nat
  tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
  impares. Por ejemplo,
     sumaImpares 5  =  25
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 hugrubsan *)
fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaImpares 0 = 0" |
  "sumaImpares n = 2*n-1 + sumaImpares (n-1)"


(* josgomrom4 marfruman1 *)
fun sumaImpares2 :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaImpares2 0 = 0" |
  "sumaImpares2 (Suc n) = 2*n + 1 + sumaImpares2 n"

value "sumaImpares2 1  = 1"
value "sumaImpares2 3  = 9"
value "sumaImpares2 5  = 25"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.2. Demostrar que 
     sumaImpares n = n*n
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod josgomrom4 hugrubsan *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
  apply (induction n)
   apply auto
  done

(* pabalagon *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
  apply (induction n)
   apply simp
   apply simp
  done

(* pabalagon *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
  by (induction n) simp_all

(* alfmarcua raffergon2 marfruman1 *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
  by (induction n) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.1. Definir la función
     sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
  tal que 
     (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
  Por ejemplo, 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon cammonagu hugrubsan *)
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2" |
  "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = 
     2^(n+1) + sumaPotenciasDeDosMasUno n"

(* juacanrod josgomrom4 marfruman1*)
fun sumaPotenciasDeDosMasUno2 :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno2 0 = 2" |
  "sumaPotenciasDeDosMasUno2 (Suc n) = 
     2^(Suc n) + sumaPotenciasDeDosMasUno2 n"

(* alfmarcua raffergon2 *)
fun sumaPotenciasDeDosMasUno3 :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno3 0 = 2" |
  "sumaPotenciasDeDosMasUno3 n = 2^n + sumaPotenciasDeDosMasUno3 (n-1)"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.2. Demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
   hugrubsan *) 
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
  apply (induction n)
   apply auto
  done

(* pabalagon *)
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
  by (induction n) simp_all

(* marfruman1 *)
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
  by (induct n) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.1. Definir la función
     copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     copia 3 x = [x,x,x]
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon cammonagu josgomrom4 hugrubsan *)
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia 0 x = []" |
  "copia (Suc n) x = x#copia n x"

(* juacanrod marfruman1 *)
fun copia2 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia2 0 x = []" |
  "copia2 (Suc n) x = [x] @ copia2 n x"

(* alfmarcua raffergon2*)
fun copia3 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia3 0 x = []" |
  "copia3 n x = x#(copia (n-1) x)"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.2. Definir la función
     todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
  la propiedad p. Por ejemplo,
     todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
     todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
  Nota: La conjunción se representa por ∧
  ----------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
   marfruman1 hugrubsan *) 
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "todos p [] = True" |
  "todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.3. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
  iguales a x. 
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
   hugrubsan *) 
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  apply (induction n)
   apply auto
  done

(* Comentario: La demostración anterior falla para copia3. *)

(* pabalagon *)
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  by (induction n) simp_all

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.1. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
     amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
  final de la lista xs. Por ejemplo,
     amplia [d,a] t = [d,a,t]
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
   marfruman1 hugrubsan *) 
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "amplia [] y = [y]" |
  "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.2. Demostrar que 
     amplia xs y = xs @ [y]
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4 hugrubsan *)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
  apply (induction xs)
   apply auto
  done

(* pabalagon *)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
  by (induction xs) simp_all

(* marfruman1 *)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
  by (induction xs) auto

end