Ver el código de «R7» - Razonamiento automático (2018-19)

<source lang="isabelle">
chapter {* R7: Deducción natural de primer orden *}

theory R7_Deduccion_natural_de_primer_orden
imports Main 
begin

text {*
  Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas
  básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los
  cuantificadores y de la igualdad: 
  · conjI:      ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
  · conjunct1:  P ∧ Q ⟹ P
  · conjunct2:  P ∧ Q ⟹ Q  
  · notnotD:    ¬¬ P ⟹ P
  · mp:         ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q 
  · impI:       (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
  · disjI1:     P ⟹ P ∨ Q
  · disjI2:     Q ⟹ P ∨ Q
  · disjE:      ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R 
  · FalseE:     False ⟹ P
  · notE:       ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
  · notI:       (P ⟹ False) ⟹ ¬P
  · iffI:       ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
  · iffD1:      ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P 
  · iffD2:      ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
  · ccontr:     (¬P ⟹ False) ⟹ P

  · allI:       ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R
  · allE:       (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x
  · exI:        P x ⟹ ∃x. P x
  · exE:        ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q

  · refl:       t = t
  · subst:      ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t
  · trans:      ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t
  · sym:        s = t ⟹ t = s
  · not_sym:    t ≠ s ⟹ s ≠ t
  · ssubst:     ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t
  · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d
  · arg_cong:   x = y ⟹ f x = f y
  · fun_cong:   f = g ⟹ f x = g x
  · cong:       ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y
*}

text {*
  Se usarán las reglas notnotI, mt y not_ex que demostramos a 
  continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

lemma no_ex: "¬(∃x. P(x)) ⟹ ∀x. ¬P(x)"
by auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1. Demostrar
       P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x 
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Demostrar
       {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, 
        ∀x. ¬(R x x)}
       ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Demostrar o refutar
       (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Demostrar o refutar
       (∃y. ∀x. P x y) ⟶ (∀x. ∃y. P x y)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Demostrar o refutar
     {∀x. P a x x, 
      ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧
     ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Demostrar o refutar
     {∀y. Q a y, 
      ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} 
     ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. (En APLI2 el ejercicio 13 de LP) Formalizar, y demostrar
  la corrección, del siguiente argumento 
     Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada,
     entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de
     funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje 
     de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en 
     estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo
     tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes
     del operador. 
  Usar A : La válvula está abierta.
       P : La monitorización está preparada.
       R : Envía una señal de reconocimiento.
       F : Envía un mensaje de funcionamiento.
       N : El sistema está en estado normal.
       Or : Se aceptan órdenes del operador.
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. (En APLI2 el ejercicio 5 de LP) Formalizar, y demostrar
  la corrección, del siguiente argumento 
     En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el
     paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el
     caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se
     ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En
     consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco
     B, el paciente ha mejorado considerablemente. 
  Usar A: Hemos empleado el fármaco A.
       B: Hemos empleado el fármaco B.
       M: El paciente ha mejorado notablemente.
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. (En APLI2 el ejercicio 13 de LPO) Formalizar, y decidir
  la corrección, del siguiente argumento 
     Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
     persona rica que tiene un abuelo rico.
  Usar R(x) para x es rico
       p(x) para el padre de x
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. (En APLI2 el ejercicio 10 de LPO) Formalizar, y decidir
  la corrección, del siguiente argumento 
     Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
     extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
     tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
     Juanito no es aficionado al fútbol.
  Usar Af(x)   para x es aficicionado al fútbol
       Ap(x,y) para x aplaude a y
       E(x)    para x es un futbolista extranjero
       N(x)    para x es un futbolista nacionalizado español
       j       para Juanito
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
  argumento
     Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
     un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
     del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
     entonces paga su cuota. 
  Usar P(x) para x es socio del club
       Q(x) para x paga su cuota
       R(x) para x está en deuda con el tesorero
       a    para el tesorero del club
   ------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>