R15

chapter ‹ R15: Definiciones inductivas: clausuras ›

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section ‹ La clausura reflexiva transitiva ›

text ‹
  · Las definiciones inductivas aceptan parámetros; por tanto, permite
    expresar funciones que construyen conjuntos.

  · La relaciones binarias son conjuntos de pares; por tanto, se pueden
   definir inductivamente.
›

text ‹
  · La clausura reflexiva y transitiva de una relación r es la menor
   relación reflexiva y transitiva que contiene a r. 

  · Se representa por r*.

  · Se puede definir inductivamente, como conjunto:
    · (x,x) ∈ r*
    · Si (x,y) ∈ r e (y,z) ∈ r*, entonces (x,z) ∈ r*

  · La definición inductiva, como conjunto, se puede expresar en 
   Isabelle/HOL como sigue: 
›

inductive_set
  crt :: "('a × 'a) set ⇒ ('a × 'a) set"   ("_*" [1000] 999)
  for r :: "('a × 'a) set"
where
  crt_refl [iff]: "(x,x) ∈ r*"
| crt_paso:       "⟦(x,y) ∈ r; (y,z) ∈ r* ⟧ ⟹ (x,z) ∈ r*"

text ‹
  Notas:
  · La sintaxis concreta permite escribir r* en lugar de (crt r).
  · La definición consta de dos reglas.
  · A la regla reflexiva se le añade el atributo iff para aumentar la
    automatización. 
  · A la regla del paso no se le añade ningún atributo, porque r* ocurre
   en la izquierda. 
  · En el resto de esta sección se demuestra que esta definición
   coincide con la menor relación reflexiva y transitiva que contiene a
   r.  
›

text ‹Lema. La relación r* es reflexiva.›

lemma "(x,x) ∈ r*"
  oops

text ‹Lema. La relación r* contiene a r.›

― ‹La demostración aplicativa es ›
lemma "(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ r*"  
oops


― ‹La demostración automática es›
lemma r_contenida_clausura [intro]: 
  "(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ r*"
  oops
    
― ‹La demostración declarativa es ›
lemma "(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ r*"  
  oops

text ‹
  Notas:
  · La ventaja del lema es que se puede declarar como regla de
    introducción, porque r* ocurre sólo en la derecha.
  · Con la declaración, algunas demostraciones que usan crt_paso se
    hacen de manera automática.
›

text ‹El esquema de inducción de la clausura reflexiva transitiva es
  · crt.induct:
    ⟦(x1, x2) ∈ r*; 
     ⋀x. P x x; 
     ⋀x y z. ⟦(x,y) ∈ r; (y,z) ∈ r*; P y z⟧ ⟹ P x z⟧
    ⟹ P x1 x2
›

text ‹Lema. La relación r* es transitiva.›

― ‹La demostración aplicativa es›
lemma "⟦(x,y) ∈ r*; (y,z) ∈ r*⟧ ⟹ (x,z) ∈ r*"
oops

― ‹La demostración automática es›
lemma "⟦(x,y) ∈ r*; (y,z) ∈ r*⟧ ⟹ (x,z) ∈ r*"
  oops

― ‹La demostración declarativa es ›
lemma assumes "(x,y) ∈ r*" and
              "(y,z) ∈ r*" 
      shows   "(x,z) ∈ r*"
  oops 

text ‹Otra formulación del lema, con la variable y a la derecha.›

― ‹La demostración aplicativa es›
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r* ⟶ (x,z) ∈ r*"
  oops

― ‹La demostración automática es›
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r* ⟶ (x,z) ∈ r*"
  oops

― ‹ Demostración declarativa ›
lemma crt_trans [rule_format]:
  "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r* ⟶ (x,z) ∈ r*"
  oops

text ‹Notas:
  · La reformulación anterior es un caso particular de la siguiente
    heurística:
       "Para probar una fórmula por inducción sobre (x1,...,xn) ∈ R,
       poner todas las premisas conteniendo cualquiera de lax xi en la
       conclusión usando ⟶". 
  · El atributo "rule_format" transforma ⟶ en ⟹.›

text ‹La relación r* está contenida en cualquier relación reflexiva y 
  transitiva que contenga a r.

  Mediante (crt2 r) se define la menor relación reflexiva y transitiva 
  que contiene a r.›

inductive_set
  crt2 :: "('a × 'a)set ⇒ ('a × 'a)set"
  for r :: "('a × 'a)set"
where
  "(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ crt2 r"                      (* contiene a r *) 
| "(x,x) ∈ crt2 r"                                      (* reflexiva *)
| "⟦(x,y) ∈ crt2 r; (y,z) ∈ crt2 r⟧ ⟹ (x,z) ∈ crt2 r" (* transitiva *)

text ‹Probaremos que r* coincide con (crt2 r) ›

text ‹Lema. La relación (crt2 r) está contenida en r*.›

― ‹Demostración aplicativa ›
lemma "(x,y) ∈ crt2 r ⟹ (x,y) ∈ r*"
  oops

― ‹Demostración automática›
lemma "(x,y) ∈ crt2 r ⟹ (x,y) ∈ r*"
  oops

― ‹Demostración declarativa ›
lemma "(x,y) ∈ crt2 r ⟹ (x,y) ∈ r*"
  oops

text ‹Lema. La relación r* está contenida en (crt2 r).›

― ‹Demostración aplicativa ›
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (x,y) ∈ crt2 r"
  oops

― ‹Demostración automática ›
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (x,y) ∈ crt2 r"
  oops

― ‹Demostración declarativa ›
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (x,y) ∈ crt2 r"
  oops

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 1. Demostrar que si (x,y) ∈ r* e (y,z) ∈ r, entonces 
  (x,z) ∈ r*
  ------------------------------------------------------------------- ›

― ‹Demostración aplicativa ›
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r ⟶ (x,z) ∈ r*"
  oops 

― ‹ Demostración automática ›
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r ⟶ (x,z) ∈ r*"
  oops 

― ‹Demostración declarativa ›
lemma crt_paso2 [rule_format]: 
  "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r ⟶ (x,z) ∈ r*"
   oops 

text ‹---------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Considerar la siguiente definición de la clausura tran-
  sitiva de una relación r, y probar que es la menor relación reflexiva 
  y transitiva que contiene a r.

  Nota: Establecer los lemas necesarios.
  ------------------------------------------------------------------- ›

inductive star' :: "('a ⇒ 'a ⇒ bool) ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" for r where
  refl': "star' r x x" 
| step': "star' r x y ⟹ r y z ⟹ star' r x z"

― ‹ Demostración de que (star' r) es reflexiva ›
lemma star'Refl: "star' r x x"
  oops 

― ‹ Demostración aplicativa de r contenida en (star' r) ›
lemma "r x y ⟹ star' r x y"
  oops

― ‹ Demostración automática de r contenida en (star' r) ›
lemma "r x y ⟹ star' r x y"
  oops
    
― ‹ Demostración declarativa de r contenida en (star' r) ›    
lemma rsubsetStar': "r x y ⟹ star' r x y"
   oops 

text ‹ A continuación se prueba una condición suficiente para star' r ›

― ‹ Demostración aplicativa ›
lemma 
  "⟦star' r y z; r x y⟧ ⟹ star' r x z"
  oops

― ‹ Demostración automática ›
lemma star'_subset_star'_l1:
  "⟦star' r y z; r x y⟧ ⟹ star' r x z"
  oops 

― ‹ Demostraciones de que  (star' r) es transitiva ›

― ‹ Demostración aplicativa ›
lemma "⟦star' r x y; star' r y z⟧ ⟹ star' r x z"   
  oops 

― ‹ Demostración automática ›
lemma star'Trans: 
  "⟦star' r x y; star' r y z⟧ ⟹ star' r x z"
  oops 
   
text ‹  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Considerar la siguiente definición inductiva. Probar que 
  "star' r x y syss (∃n. iter r n x y)"
  ------------------------------------------------------------------- ›

inductive iter :: "('a ⇒ 'a ⇒ bool) ⇒ nat ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool"
for r where
  iterRefl: "iter r 0 x x"
| iterStep: "⟦iter r n x y; r y z⟧ ⟹ iter r (n+1) x z"

― ‹ El esquema de inducción correspondiente es ›
thm iter.induct
(*
  ⟦iter ?r ?x1.0 ?x2.0 ?x3.0; 
   ⋀x. ?P 0 x x;
   ⋀n x y z. ⟦iter ?r n x y; ?P n x y; ?r y z⟧ ⟹ ?P (n + 1) x z⟧
  ⟹ ?P ?x1.0 ?x2.0 ?x3.0
*)

― ‹ Algunos teoremas derivados son ›

thm iterRefl
(* iter ?r 0 ?x ?x *)

thm iterRefl [of r y]
(* iter r 0 y y *)

thm iterStep
(* ⟦iter ?r ?n ?x ?y; ?r ?y ?z⟧ ⟹ iter ?r (?n + 1) ?x ?z *)

thm iterStep [of r x y n z]
(* ⟦iter r x y n; r n z⟧ ⟹ iter r (x + 1) y z *)

thm iterStep [of r x y 0 y]
(* ⟦iter r x y 0; r 0 y⟧ ⟹ iter r (x + 1) y y *)

text ‹  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.1. Demostrar  
     star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)
  ------------------------------------------------------------------- ›

― ‹ Demostración aplicativa ›
lemma "star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)"
  oops 

― ‹ Demostración automática ›
lemma [rule_format]: "star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)"    
  oops 

― ‹ Demostración declarativa ›
lemma [rule_format]: "star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)"    
  oops 
  
text ‹  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.2. Demostrar  
     (∃n. iter r n x y) ⟹ star' r x y
  ------------------------------------------------------------------- ›

― ‹ En la demostración se usará el siguiente lema:
      iter r n x y ⟹ star' r x y ›   

― ‹ Demostración aplicativa del lema ›
lemma iter_star'_subset: "iter r n x y ⟹ star' r x y"
  oops 

― ‹ Demostración automática del lema ›
lemma "iter r n x y ⟹ star' r x y"
  oops 

― ‹ Demostración aplicativa ›
lemma "(∃n. iter r n x y) ⟹ star' r x y"
  oops 

― ‹ Demostración automática ›
lemma "(∃n. iter r n x y) ⟹ star' r x y"
  oops 

― ‹ Demostración declarativa ›
lemma assumes "(∃n. iter r n x y)"
      shows "star' r x y"
  oops 

end