R10

chapter ‹ R10: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL ›
 
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text ‹ --------------------------------------------------------------- 
   En toda la relación de ejercicios las demostraciones han de realizarse
   de las formas siguientes:
    (*) automática
    (*) detallada (bien declarativa o aplicativa)
  ------------------------------------------------------------------ ›
    
text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.1. Definir la función
     sumaImpares :: nat ⇒ nat
  tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
  impares. Por ejemplo,
     sumaImpares 5  =  25
  ------------------------------------------------------------------›

fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaImpares 0 = 0"
| "sumaImpares (Suc n) = sumaImpares n + (2*n+1)"

value "sumaImpares 5"  ― ‹= 25›

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.2. Demostrar que 
     sumaImpares n = n*n
  -------------------------------------------------------------------›

 ― ‹Demostración automática:›
lemma "sumaImpares n = n*n"
  oops

 ― ‹Demostración detallada:›
lemma sumaImpares_d:
  "sumaImpares n = n*n"
  oops

text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.1. Definir la función
     sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
  tal que 
     (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
  Por ejemplo, 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16
  ------------------------------------------------------------------ ›
   
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno 0       = 2"
| "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(n+1)"
 
value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3" ― ‹= 16›
 
text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.2. Demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  ------------------------------------------------------------------- ›

 ― ‹Demostración automática:›
lemma  
  "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
  oops

 ― ‹Demostración detallada:›
lemma sumaPotenciasDeDosMasUno_d: 
  "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
  oops
 
text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Definir la función
     copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     copia 3 x = [x,x,x]
  ------------------------------------------------------------------ ›
 
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia 0 x       = []"
| "copia (Suc n) x = x # copia n x"
 
value "copia 3 x" ― ‹= [x,x,x]›
 
text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Definir la función
     todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
  la propiedad p. Por ejemplo,
     todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
     todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
  Nota: La conjunción se representa por ∧
  ----------------------------------------------------------------- ›
 
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "todos p []     = True"
| "todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"
 
value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" ― ‹= True›
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4]" ― ‹= False›
 
text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
  iguales a x. 
  ------------------------------------------------------------------- ›

 ― ‹Demostración automática:›
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  oops

 ― ‹Demostración detallada:›
lemma todos_copia_d: 
  "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  oops
    
text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6.1. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
     amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
  final de la lista xs. Por ejemplo,
     amplia [d,a] t = [d,a,t]
  ------------------------------------------------------------------ ›
 
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "amplia []     y = [y]"
| "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"
 
value "amplia [d,a] t" ― ‹= [d,a,t]›
 
text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6.2, Demostrar que 
     amplia xs y = xs @ [y]
  ------------------------------------------------------------------- ›

 ― ‹Demostración automática:›
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
  oops

 ― ‹Demostración detallada:›
lemma amplia_append_d: "amplia xs y = xs @ [y]"
  oops
    
text ‹ 
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Definir la función 
     algunos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (algunos p xs) se verifica si algunos elementos de la lista 
  xs cumplen la propiedad p. Por ejemplo, se verifica 
     algunos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[3]]
     ¬algunos (λx. 1<length x) [[],[3]]"

  Nota: La función algunos es equivalente a la predefinida list_ex. 
  --------------------------------------------------------------------- 
›

fun algunos  :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "algunos p []     = False"
| "algunos p (x#xs) = ((p x) ∨ (algunos p xs))"


text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Demostrar o refutar
     todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
›
 ― ‹Demostración automática:›
lemma "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
  oops

 ― ‹Demostración detallada:›
lemma todos_conj_d: 
  "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
  oops
    
text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Demostrar o refutar
     todos P (xs @ ys) = (todos P xs ∧ todos P ys)
  --------------------------------------------------------------------- 
›

 ― ‹Demostración automática:›
lemma "todos P (xs @ ys) = (todos P xs ∧ todos P ys)"
  oops

 ― ‹Demostración detallada:›
lemma todos_append_d: "todos P (xs @ ys) = (todos P xs ∧ todos P ys)"
  oops


text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar o refutar
     todos P (rev xs) = todos P xs
  --------------------------------------------------------------------- 
›

 ― ‹Demostración automática:›
lemma "todos P (rev xs) = todos P xs"
  oops

 ― ‹Demostración detallada:›
lemma todos_rev_d: "todos P (rev xs) = todos P xs"
  oops
  
text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Demostrar o refutar:
    algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
›

lemma "algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)"
  oops

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 12. Demostrar o refutar
     algunos P (map f xs) = algunos (P ∘ f) xs
  --------------------------------------------------------------------- 
›

 ― ‹Demostración automática:›
lemma "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
  oops

 ― ‹Demostración detallada:›
lemma algunos_map_e: "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
  oops
  
text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 13. Demostrar o refutar
     algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)
  --------------------------------------------------------------------- 
›

 ― ‹Demostración automática:›
lemma "algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
  oops

 ― ‹Demostración detallada:›
lemma algunos_append_e: 
  "algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
  oops

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 14. Demostrar o refutar
     algunos P (rev xs) = algunos P xs
  --------------------------------------------------------------------- 
›

 ― ‹Demostración automática:›
lemma "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
  oops

 ― ‹Demostración detallada:›
lemma algunos_rev_e: 
  "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
  oops

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 15. Encontrar un término no trivial Z tal que sea cierta la 
  siguiente ecuación:
     algunos (λx. P x ∨ Q x) xs = Z
  y demostrar la equivalencia de forma automática y detallada.
  --------------------------------------------------------------------- 
›

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 16. Demostrar o refutar
     algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
›

 ― ‹Demostración automática:›
lemma algunos_no_todos_d: 
  "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
  oops

 ― ‹Demostración detallada:›
lemma algunos_no_todos_e: 
  "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
  oops

 text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 17.1. Definir la función
     estaEn :: 'a ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (estaEn x xs) se verifica si el elemento x está en la lista
  xs. Por ejemplo, 
     estaEn (2::nat) [3,2,4] = True
     estaEn (1::nat) [3,2,4] = False
  --------------------------------------------------------------------- 
›

fun estaEn :: "'a ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "estaEn x []     = False"
| "estaEn x (a#xs) = (a=x ∨ estaEn x xs)"


text ‹
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  Ejercicio 17.2. Expresar la relación existente entre estaEn y algunos. 
  Demostrar dicha relación de forma automática y detallada.
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›

end