chapter ‹Tema 2a: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL›
theory T2a_Deduccion_natural_en_logica_proposicional_con_Isabelle
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begin
text ‹En este tema se presentan los ejemplos del tema de deducción
natural proposicional siguiendo la presentación de Huth y Ryan en su
libro "Logic in Computer Science" http://goo.gl/qsVpY y, más
concretamente, a la forma como se explica en la asignatura de
"Lógica informática" (LI) http://goo.gl/AwDiv
La página al lado de cada ejemplo indica la página de las
transparencias de LI donde se encuentra la demostración.›
section ‹Reglas de la conjunción›
text ‹ Notas sobre la lógica: Las reglas de la conjunción son
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q ›
thm conjI
thm conjunct1
thm conjunct2
subsection ‹Ejemplo 1›
text ‹Ejemplo 1 (p. 4). Demostrar que
p ∧ q, r ⊢ q ∧ r. ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_1:
"⟦p ∧ q; r⟧ ⟹ q ∧ r"
apply (rule conjI)
apply (erule conjunct2)
apply assumption
done
text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
· "⟦ ... ⟧" para representar las hipótesis,
· ";" para separar las hipótesis y
· "⟹" para separar las hipótesis de la conclusión.›
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_1_1:
assumes 1: "p ∧ q" and
2: "r"
shows "q ∧ r"
proof -
have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2)
show 4: "q ∧ r" using 3 2 by (rule conjI)
qed
text ‹Notas sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
· "assumes" para indicar las hipótesis,
· "and" para separar las hipótesis,
· "shows" para indicar la conclusión,
· "proof" para iniciar la prueba,
· "qed" para terminar la pruebas,
· "-" (después de "proof") para no usar el método por defecto,
· "have" para establecer un paso,
· "using" para usar hechos en un paso,
· "by (rule ..)" para indicar la regla con la que se peueba un hecho,
· "show" para establecer la conclusión.›
subsubsection ‹Demostración estructurada›
text ‹Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue›
lemma ejemplo_1_2:
assumes 1: "p ∧ q" and
2: "r"
shows "q ∧ r"
proof -
have 3: "q" using 1 ..
show 4: "q ∧ r" using 3 2 ..
qed
text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
· ".." para indicar que se prueba por la regla correspondiente.›
text ‹Se pueden eliminar las etiquetas como sigue›
lemma ejemplo_1_3:
assumes "p ∧ q"
"r"
shows "q ∧ r"
proof -
have "q" using assms(1) ..
then show "q ∧ r" using assms(2) ..
qed
text ‹
Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
· "assms(n)" para indicar la hipótesis n y
· "then show" para demostrar la conclusión usando el hecho anterior.
Además, no es necesario usar and entre las hipótesis.›
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_1_4:
assumes "p ∧ q"
"r"
shows "q ∧ r"
using assms
by auto
text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
· "assms" para indicar las hipótesis y
· "by auto" para demostrar la conclusión automáticamente.›
subsubsection ‹Demostración detallada hacia atrás›
text ‹Se puede hacer la demostración por razonamiento hacia atrás,
como sigue›
lemma ejemplo_1_5:
assumes "p ∧ q"
and "r"
shows "q ∧ r"
proof (rule conjI)
show "q" using assms(1) by (rule conjunct2)
next
show "r" using assms(2) by this
qed
text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
· "proof (rule r)" para indicar que se hará la demostración con la
regla r,
· "next" para indicar el comienzo de la prueba del siguiente
subobjetivo,
· "this" para indicar el hecho actual.›
subsubsection ‹Demostración estructurada hacia atrás›
text ‹Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue›
lemma ejemplo_1_6:
assumes "p ∧ q"
"r"
shows "q ∧ r"
proof
show "q" using assms(1) ..
next
show "r" using assms(2) .
qed
text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
· "." para indicar por el hecho actual.›
subsubsection ‹Demostraciones automáticas›
lemma ejemplo_1_7:
assumes "p ∧ q"
"r"
shows "q ∧ r"
using assms by simp
― ‹Se puede acortar como sigue›
lemma ejemplo_1_8_:
"⟦p ∧ q; r⟧ ⟹ q ∧ r"
by simp
section ‹Reglas de la doble negación›
subsection ‹Reglas de la doble negación›
text ‹La regla de eliminación de la doble negación es
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la siguiente regla de
introducción de la doble negación
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
aunque, de momento, no detallamos su demostración.›
lemma notnotI [intro!]: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto
subsection ‹Ejemplo 2›
text ‹Ejemplo 2. (p. 5)
p, ¬¬(q ∧ r) ⊢ ¬¬p ∧ r ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_2:
"⟦p; ¬¬(q ∧ r)⟧ ⟹ ¬¬p ∧ r"
apply (rule conjI)
apply (rule notnotI)
apply assumption
apply (drule notnotD)
apply (erule conjunct2)
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_2_1:
assumes 1: "p" and
2: "¬¬(q ∧ r)"
shows "¬¬p ∧ r"
proof -
have 3: "¬¬p" using 1 by (rule notnotI)
have 4: "q ∧ r" using 2 by (rule notnotD)
have 5: "r" using 4 by (rule conjunct2)
show 6: "¬¬p ∧ r" using 3 5 by (rule conjI)
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
― ‹Se puede eliminar etiquetas y reglas›
lemma ejemplo_2_2:
assumes "p"
"¬¬(q ∧ r)"
shows "¬¬p ∧ r"
proof -
have "¬¬p" using assms(1) ..
have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)
then have "r" ..
with ‹¬¬p› show "¬¬p ∧ r" ..
qed
text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
· ‹...› para referenciar un hecho y
· "with P show Q" para indicar que con el hecho anterior junto con el
hecho P se demuestra Q.›
subsubsection ‹Demostración detallada hacia atrás›
lemma ejemplo_2_3:
assumes "p"
"¬¬(q ∧ r)"
shows "¬¬p ∧ r"
proof (rule conjI)
show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI)
next
have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)
then show "r" by (rule conjunct2)
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada hacia atrás›
text ‹Se puede eliminar las reglas en la demostración anterior, como
sigue:›
lemma ejemplo_2_4:
assumes "p"
"¬¬(q ∧ r)"
shows "¬¬p ∧ r"
proof
show "¬¬p" using assms(1) ..
next
have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)
then show "r" ..
qed
subsubsection ‹Demostraciones automáticas›
lemma ejemplo_2_5:
assumes "p"
"¬¬(q ∧ r)"
shows "¬¬p ∧ r"
using assms
by simp
― ‹Se puede simplificar›
lemma ejemplo_2_6:
"⟦p; ¬¬(q ∧ r)⟧ ⟹ ¬¬p ∧ r"
by simp
section ‹Regla de eliminación del condicional›
text ‹La regla de eliminación del condicional es la regla del modus
ponens
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q ›
subsection ‹Ejemplo 3›
text ‹Ejemplo 3. (p. 6) Demostrar que
¬p ∧ q, ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p ⊢ r ∨ ¬p ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_3:
"⟦¬p ∧ q; ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p⟧ ⟹ r ∨ ¬p"
apply (erule mp)
apply assumption
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_3_1:
assumes 1: "¬p ∧ q" and
2: "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p"
shows "r ∨ ¬p"
proof -
show "r ∨ ¬p" using 2 1 by (rule mp)
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_3_2:
assumes "¬p ∧ q"
"¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p"
shows "r ∨ ¬p"
proof -
show "r ∨ ¬p" using assms(2,1) ..
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_3_3:
"⟦¬p ∧ q; ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p⟧ ⟹ r ∨ ¬p"
by simp
subsection ‹Ejemplo 4›
text ‹Ejemplo 4 (p. 6) Demostrar que
p, p ⟶ q, p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ r ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_4:
"⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r"
apply (drule mp)
apply assumption
apply (drule mp)
apply assumption
apply (drule mp)
apply assumption+
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_4_1:
assumes 1: "p" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 2 1 by (rule mp)
have 5: "q ⟶ r" using 3 1 by (rule mp)
show 6: "r" using 5 4 by (rule mp)
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_4_2:
assumes "p"
"p ⟶ q"
"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(2,1) ..
have "q ⟶ r" using assms(3,1) ..
then show "r" using ‹q› ..
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_4_3:
"⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r"
by simp
section ‹Regla derivada del modus tollens›
text ‹Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la regla del
modus tollens
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
aunque, de momento, sin detallar su demostración.›
lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by simp
subsection ‹Ejemplo 5›
text ‹Ejemplo 5 (p. 7). Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p, ¬r ⊢ ¬q ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_5:
"⟦p ⟶ (q ⟶ r); p; ¬r ⟧ ⟹ ¬q"
apply (drule mp)
apply assumption
apply (erule mt)
apply assumption
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_5_1:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p" and
3: "¬r"
shows "¬q"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 2 by (rule mp)
show "¬q" using 4 3 by (rule mt)
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_5_2:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p"
"¬r"
shows "¬q"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,2) ..
then show "¬q" using assms(3) by (rule mt)
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_5_3:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p"
"¬r"
shows "¬q"
using assms
by simp
lemma ejemplo_5_4:
"⟦p ⟶ (q ⟶ r); p; ¬r ⟧ ⟹ ¬q"
by simp
subsection ‹Ejemplo 6›
text ‹Ejemplo 6. (p. 7) Demostrar
¬p ⟶ q, ¬q ⊢ p ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_6:
"⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p"
apply (drule mt)
apply assumption
apply (erule notnotD)
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_6_1:
assumes 1: "¬p ⟶ q" and
2: "¬q"
shows "p"
proof -
have 3: "¬¬p" using 1 2 by (rule mt)
show "p" using 3 by (rule notnotD)
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_6_2:
assumes "¬p ⟶ q"
"¬q"
shows "p"
proof -
have "¬¬p" using assms(1,2) by (rule mt)
then show "p" by (rule notnotD)
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_6_3:
"⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p"
by simp
subsection ‹Ejemplo 7›
text ‹Ejemplo 7. (p. 7) Demostrar
p ⟶ ¬q, q ⊢ ¬p ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_7:
"⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p"
apply (erule mt)
apply (erule notnotI)
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_7_1:
assumes 1: "p ⟶ ¬q" and
2: "q"
shows "¬p"
proof -
have 3: "¬¬q" using 2 by (rule notnotI)
show "¬p" using 1 3 by (rule mt)
qed
lemma ejemplo_7_2:
assumes "p ⟶ ¬q"
"q"
shows "¬p"
proof -
have "¬¬q" using assms(2) by (rule notnotI)
with assms(1) show "¬p" by (rule mt)
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_7_3:
"⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p"
by simp
section ‹Regla de introducción del condicional›
text ‹La regla de introducción del condicional es
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q ›
subsection ‹Ejemplo 8›
text ‹Ejemplo 8. (p. 8) Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_8:
"p ⟶ q ⟹ ¬q ⟶ ¬p"
apply (rule impI)
apply (erule mt)
apply assumption
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_8_1:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof -
{ assume 2: "¬q"
have "¬p" using 1 2 by (rule mt) }
then show "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI)
qed
text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
· "{ ... }" para representar una caja.›
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_8_2:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof
assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt)
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_8_3:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
using assms
by auto
subsection ‹Ejemplo 9›
text ‹Ejemplo 9. (p. 9) Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ ¬¬q ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_9:
"¬q ⟶ ¬p ⟹ p ⟶ ¬¬q"
apply (rule impI)
apply (erule mt)
apply (erule notnotI)
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_9_1:
assumes 1: "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ ¬¬q"
proof -
{ assume 2: "p"
have 3: "¬¬p" using 2 by (rule notnotI)
have "¬¬q" using 1 3 by (rule mt) }
then show "p ⟶ ¬¬q" by (rule impI)
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_9_2:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ ¬¬q"
proof
assume "p"
then have "¬¬p" by (rule notnotI)
with assms show "¬¬q" by (rule mt)
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_9_3:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ ¬¬q"
using assms
by auto
subsection ‹Ejemplo 10›
text ‹Ejemplo 10 (p. 9). Demostrar
⊢ p ⟶ p ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_10:
"p ⟶ p"
apply (rule impI)
apply assumption
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_10_1:
"p ⟶ p"
proof -
{ assume 1: "p"
have "p" using 1 by this }
then show "p ⟶ p" by (rule impI)
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_10_2:
"p ⟶ p"
proof (rule impI)
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_10_3:
"p ⟶ p"
by simp
subsection ‹Ejemplo 11›
text ‹Ejemplo 11 (p. 10) Demostrar
⊢ (q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_11:
"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
apply (rule impI)+
apply (erule mp)
apply (drule mt)
apply (erule notnotI)
apply (erule notnotD)
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_11_1:
"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof -
{ assume 1: "q ⟶ r"
{ assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
{ assume 3: "p"
have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)
have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
have "r" using 1 6 by (rule mp) }
then have "p ⟶ r" by (rule impI) }
then have "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r" by (rule impI) }
then show "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r)" by (rule impI)
qed
― ‹La demostración hacia atrás es›
lemma ejemplo_11_2:
"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume 1: "q ⟶ r"
show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 3: "p"
have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)
have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
show "r" using 1 6 by (rule mp)
qed
qed
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_11_3:
"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "q ⟶ r"
show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
show "p ⟶ r"
proof
assume 3: "p"
have 4: "¬¬p" using 3 ..
have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
show "r" using 1 6 ..
qed
qed
qed
― ‹La demostración sin etiquetas es›
lemma ejemplo_11_4:
"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume "q ⟶ r"
show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume "¬q ⟶ ¬p"
show "p ⟶ r"
proof
assume "p"
then have "¬¬p" ..
with ‹¬q ⟶ ¬p› have "¬¬q" by (rule mt)
then have "q" by (rule notnotD)
with ‹q ⟶ r› show "r" ..
qed
qed
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_11_5:
"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
by auto
section ‹Reglas de la disyunción›
text ‹Las reglas de la introducción de la disyunción son
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
La regla de elimación de la disyunción es
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R ›
subsection ‹Ejemplo 12›
text ‹Ejemplo 12 (p. 11). Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_12:
"p ∨ q ⟹ q ∨ p"
apply (erule disjE)
apply (erule disjI2)
apply (erule disjI1)
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
― ‹La demostración detallada es›
lemma ejemplo_12_1:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed
text ‹
Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
· "moreover" para separar los bloques y
· "ultimately" para unir los resultados de los bloques.›
subsubsection ‹Demostración estructurada›
― ‹La demostración detallada con reglas implícitas es›
lemma ejemplo_12_2:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
note ‹p ∨ q›
moreover
{ assume "p"
then have "q ∨ p" .. }
moreover
{ assume "q"
then have "q ∨ p" .. }
ultimately show "q ∨ p" ..
qed
text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
· "note" para copiar un hecho.›
subsubsection ‹Demostración detallada hacia atrás›
lemma ejemplo_12_3:
assumes 1: "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
using 1
proof (rule disjE)
{ assume 2: "p"
show "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
next
{ assume 3: "q"
show "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada hacia atrás›
lemma ejemplo_12_4:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
using assms
proof
{ assume "p"
then show "q ∨ p" .. }
next
{ assume "q"
then show "q ∨ p" .. }
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_12_5:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
using assms
by auto
subsection ‹Ejemplo 13›
text ‹Ejemplo 13. (p. 12) Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_13:
"q ⟶ r ⟹ p ∨ q ⟶ p ∨ r"
apply (rule impI)
apply (erule disjE)
apply (erule disjI1)
apply (drule mp)
apply assumption
apply (erule disjI2)
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_13_1:
assumes 1: "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof (rule impI)
assume 2: "p ∨ q"
then show "p ∨ r"
proof (rule disjE)
{ assume 3: "p"
show "p ∨ r" using 3 by (rule disjI1) }
next
{ assume 4: "q"
have 5: "r" using 1 4 by (rule mp)
show "p ∨ r" using 5 by (rule disjI2) }
qed
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_13_2:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume "p ∨ q"
then show "p ∨ r"
proof
{ assume "p"
then show "p ∨ r" .. }
next
{ assume "q"
have "r" using assms ‹q› ..
then show "p ∨ r" .. }
qed
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_13_3:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
using assms
by auto
section ‹Regla de copia›
subsection ‹Ejemplo 14›
text ‹Ejemplo 14 (p. 13). Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p) ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_14:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
apply (rule impI)+
apply assumption
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_14_1:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof (rule impI)
assume 1: "p"
show "q ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "q"
show "p" using 1 by this
qed
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_14_2:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof
assume "p"
then show "q ⟶ p" ..
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_14_3:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
by simp
section ‹Reglas de la negación›
text ‹La regla de eliminación de lo falso es
· FalseE: False ⟹ P
La regla de eliminación de la negación es
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
La regla de introducción de la negación es
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P ›
subsection ‹Ejemplo 15›
text ‹Ejemplo 15 (p. 15). Demostrar
¬p ∨ q ⊢ p ⟶ q ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_15:
"¬p ∨ q ⟹ p ⟶ q"
apply (rule impI)
apply (erule disjE)
apply (erule notE)
apply assumption+
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_15_1:
assumes 1: "¬p ∨ q"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
note 1
then show "q"
proof (rule disjE)
{ assume 3: "¬p"
show "q" using 3 2 by (rule notE) }
next
{ assume 4: "q"
show "q" using 4 by this}
qed
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_15_2:
assumes "¬p ∨ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
note ‹¬p ∨ q›
then show "q"
proof
assume "¬p"
then show "q" using ‹p› ..
next
assume "q"
then show "q" .
qed
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_15_3:
assumes "¬p ∨ q"
shows "p ⟶ q"
using assms
by auto
subsection ‹Ejemplo 16›
text ‹Ejemplo 16 (p. 16). Demostrar
p ⟶ q, p ⟶ ¬q ⊢ ¬p ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_16:
"⟦p ⟶ q; p ⟶ ¬q⟧ ⟹ ¬p"
apply (rule notI)
apply (drule mp)+
apply assumption+
apply (drule mp)
apply assumption
apply (erule notE)
apply assumption
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_16_1:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p ⟶ ¬q"
shows "¬p"
proof (rule notI)
assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "¬q" using 2 3 by (rule mp)
show False using 5 4 by (rule notE)
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_16_2:
assumes "p ⟶ q"
"p ⟶ ¬q"
shows "¬p"
proof
assume "p"
have "q" using assms(1) ‹p› ..
have "¬q" using assms(2) ‹p› ..
then show False using ‹q› ..
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_16_3:
assumes "p ⟶ q"
"p ⟶ ¬q"
shows "¬p"
using assms
by simp
section ‹Reglas del bicondicional›
text ‹La regla de introducción del bicondicional es
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P ⟷ Q
Las reglas de eliminación del bicondicional son
· iffD1: ⟦Q ⟷ P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P ⟷ Q; Q⟧ ⟹ P ›
subsection ‹Ejemplo 17›
text ‹Ejemplo 17 (p. 17) Demostrar
(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p) ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_17_4:
"(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)"
apply (rule iffI)
apply (rule conjI)
apply (erule conjunct2)
apply (erule conjunct1)
apply (rule conjI)
apply (erule conjunct2)
apply (erule conjunct1)
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_17_1:
"(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)"
proof (rule iffI)
{ assume 1: "p ∧ q"
have 2: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2)
show "q ∧ p" using 3 2 by (rule conjI) }
next
{ assume 4: "q ∧ p"
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1)
have 6: "p" using 4 by (rule conjunct2)
show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) }
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_17_2:
"(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)"
proof
{ assume 1: "p ∧ q"
have "p" using 1 ..
have "q" using 1 ..
show "q ∧ p" using ‹q› ‹p› .. }
next
{ assume 2: "q ∧ p"
have "q" using 2 ..
have "p" using 2 ..
show "p ∧ q" using ‹p› ‹q› .. }
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_17_3:
"(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)"
by auto
subsection ‹Ejemplo 18›
text ‹Ejemplo 18 (p. 18). Demostrar
p ⟷ q, p ∨ q ⊢ p ∧ q ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_18_4:
"⟦p ⟷ q; p ∨ q⟧ ⟹ p ∧ q"
apply (erule disjE)
apply (rule conjI)
apply assumption
apply (erule iffD1)
apply assumption
apply (rule conjI)
apply (erule iffD2)
apply assumption+
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_18_1:
assumes 1: "p ⟷ q" and
2: "p ∨ q"
shows "p ∧ q"
using 2
proof (rule disjE)
{ assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule iffD1)
show "p ∧ q" using 3 4 by (rule conjI) }
next
{ assume 5: "q"
have 6: "p" using 1 5 by (rule iffD2)
show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) }
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_18_2:
assumes "p ⟷ q"
"p ∨ q"
shows "p ∧ q"
using assms(2)
proof
{ assume "p"
with assms(1) have "q" ..
with ‹p› show "p ∧ q" .. }
next
{ assume "q"
with assms(1) have "p" ..
then show "p ∧ q" using ‹q› .. }
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_18_3:
assumes "p ⟷ q"
"p ∨ q"
shows "p ∧ q"
using assms
by simp
section ‹Reglas derivadas›
subsection ‹Regla del modus tollens›
text ‹Ejemplo 19 (p. 20) Demostrar la regla del modus tollens a partir
de las reglas básicas.›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_20:
"⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
apply (rule notI)
apply (drule mp)
apply assumption
apply (erule notE)
apply assumption
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_20_1:
assumes 1: "F ⟶ G" and
2: "¬G"
shows "¬F"
proof (rule notI)
assume 3: "F"
have 4: "G" using 1 3 by (rule mp)
show False using 2 4 by (rule notE)
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_20_2:
assumes "F ⟶ G"
"¬G"
shows "¬F"
proof
assume "F"
with assms(1) have "G" ..
with assms(2) show False ..
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_20_3:
assumes "F ⟶ G"
"¬G"
shows "¬F"
using assms
by simp
subsection ‹Regla de la introducción de la doble negación›
text ‹Ejemplo 21 (p. 21) Demostrar la regla de introducción de la doble
negación a partir de las reglas básicas.›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_21:
"F ⟹ ¬¬F"
apply (rule notI)
apply (erule notE)
apply assumption
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_21_1:
assumes 1: "F"
shows "¬¬F"
proof (rule notI)
assume 2: "¬F"
show False using 2 1 by (rule notE)
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_21_2:
assumes "F"
shows "¬¬F"
proof
assume "¬F"
then show False using assms ..
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_21_3:
assumes "F"
shows "¬¬F"
using assms
by simp
subsection ‹Regla de reducción al absurdo›
text ‹La regla de reducción al absurdo en Isabelle se correponde con la
regla clásica de contradicción
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P ›
subsection ‹Ley del tercio excluso›
text ‹La ley del tercio excluso es
· excluded_middle: ¬P ∨ P ›
text ‹Ejemplo 22 (p. 23). Demostrar la ley del tercio excluso a partir de
las reglas básicas.›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_22:
"F ∨ ¬F"
apply (rule ccontr)
apply (rule_tac P="F" in notE)
apply (rule notI)
apply (erule notE)
apply (erule disjI1)
apply (rule notnotD)
apply (rule notI)
apply (erule notE)
apply (erule disjI2)
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_22_1:
"F ∨ ¬F"
proof (rule ccontr)
assume 1: "¬(F ∨ ¬F)"
then show False
proof (rule notE)
show "F ∨ ¬F"
proof (rule disjI2)
show "¬F"
proof (rule notI)
assume 2: "F"
then have 3: "F ∨ ¬F" by (rule disjI1)
show False using 1 3 by (rule notE)
qed
qed
qed
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_22_2:
"F ∨ ¬F"
proof (rule ccontr)
assume "¬(F ∨ ¬F)"
then show False
proof (rule notE)
show "F ∨ ¬F"
proof (rule disjI2)
show "¬F"
proof (rule notI)
assume "F"
then have "F ∨ ¬F" ..
with ‹¬(F ∨ ¬F)› show False ..
qed
qed
qed
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_22_3:
"F ∨ ¬F"
by simp
subsection ‹Ejemplo 23›
text ‹Ejemplo 23 (p. 24). Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬p ∨ q ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_23:
"p ⟶ q ⟹ ¬p ∨ q"
apply (cut_tac P="p" in excluded_middle)
apply (erule disjE)
apply (erule disjI1)
apply (drule mp)
apply assumption
apply (erule disjI2)
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_23_1:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "¬p ∨ q"
proof -
have "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle)
then show "¬p ∨ q"
proof (rule disjE)
{ assume "¬p"
then show "¬p ∨ q" by (rule disjI1) }
next
{ assume 2: "p"
have "q" using 1 2 by (rule mp)
then show "¬p ∨ q" by (rule disjI2) }
qed
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_23_2:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬p ∨ q"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
then show "¬p ∨ q"
proof
{ assume "¬p"
then show "¬p ∨ q" .. }
next
{ assume "p"
with assms have "q" ..
then show "¬p ∨ q" .. }
qed
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_23_3:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬p ∨ q"
using assms
by simp
section ‹Demostraciones por contradicción›
subsection ‹Ejemplo 24›
text ‹Ejemplo 24. Demostrar que
¬p, p ∨ q ⊢ q ›
subsubsection ‹Demostración aplicativa›
lemma ejemplo_24_4:
"⟦¬p ; p ∨ q⟧ ⟹ q"
apply (erule disjE)
apply (erule notE)
apply assumption+
done
subsubsection ‹Demostración detallada›
lemma ejemplo_24_1:
assumes "¬p"
"p ∨ q"
shows "q"
using ‹p ∨ q›
proof (rule disjE)
assume "p"
with assms(1) show "q" by contradiction
next
assume "q"
then show "q" by assumption
qed
subsubsection ‹Demostración estructurada›
lemma ejemplo_24_2:
assumes "¬p"
"p ∨ q"
shows "q"
using ‹p ∨ q›
proof
assume "p"
with assms(1) show "q" ..
next
assume "q"
then show "q" .
qed
subsubsection ‹Demostración automática›
lemma ejemplo_24_3:
assumes "¬p"
"p ∨ q"
shows "q"
using assms
by simp
end
