Demostración asistida por ordenador (2011-12) Demostración asistida por ordenador (2011-12)

header {* Razonamiento sobre programas en Isabelle *}

theory Tema_2
imports Main Efficient_Nat
begin

text {* 
  En este tema se demuestra con Isabelle las propiedades de los
  programas funcionales como se expone en el tema 8 del curso
  "Informática" que puede leerse en
  http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m/temas/tema-8t.pdf
*}

text {* ----------------------------------------------------------------
  Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función
     longitud :: "'a list ⇒ nat" where
  tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,
     longitud [4,2,5] = 3
  ------------------------------------------------------------------- *}

fun longitud :: "'a list ⇒ nat" where
  "longitud []     = 0"
| "longitud (x#xs) = 1 + longitud xs"
   
value "longitud [4,2,5]" -- "= 3"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Demostrar que 
     longitud [4,2,5] = 3
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "longitud [4,2,5] = 3"
by simp

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Definir la función
     fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a"
  tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las
  componentes del par p. Por ejemplo,
     "intercambia (2,3) = (3,2)
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a" where
  "intercambia (x,y) = (y,x)"

value "intercambia (2,3)" -- "= (3,2)"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Demostrar que 
     intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)"
by simp

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Definir, por recursión, la función
     inversa :: "'a list ⇒ 'a list"
  tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los
  elementos de xs. Por ejemplo,
     inversa [3,2,5] = [5,2,3]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversa [] = []"
| "inversa (x#xs) = inversa xs @ [x]"

value "inversa [3,2,5]" -- "= [5,2,3]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Demostrar que 
     inversa [x] = [x]
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "inversa [x] = [x]"
by simp

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Definir la función
     repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  tal que . Por ejemplo,
     repite 3 5 = [5,5,5]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "repite 0 x = []"
| "repite (Suc n) x = x # (repite n x)"

value "repite 3 5" -- "= [5,5,5]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Demostrar que 
     longitud (repite n x) = n
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "longitud (repite n x) = n"
by (induct n) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Definir la función
     fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
  tal que . Por ejemplo,
     conc [2,3] [4,3,5] = [2,3,4,3,5]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "conc []     ys = ys"
| "conc (x#xs) ys = x # (conc xs ys)"

value "conc [2,3] [4,3,5]" -- "= [2,3,4,3,5]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar que 
     conc xs (conc ys zs) = (conc xs ys) zs
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs"
by (induct xs) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Refutar que 
     conc xs ys = conc ys xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "conc xs ys = conc ys xs"
quickcheck
oops

text {* Encuentra el contraejemplo, 
  xs = [a\<^isub>2]
  ys = [a\<^isub>1] *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 12. Demostrar que 
     conc xs [] = xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "conc xs [] = xs"
by (induct xs) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 13. Demostrar que 
     longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys"
by (induct xs) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 14. Definir la función
     coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
  tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por
  ejemplo, 
     coge 2 [3,7,5,4] = [3,7]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "coge n [] = []"
| "coge 0 xs = []"
| "coge (Suc n) (x#xs) = x # (coge n xs)"

value "coge 2 [3,7,5,4]" -- "= [3,7]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 15. Definir la función
     elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
  tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por
  ejemplo, 
     elimina 2 [3,7,5,4] = [5,4]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "elimina n [] = []"
| "elimina 0 xs = xs"
| "elimina (Suc n) (x#xs) = elimina n xs"

value "elimina 2 [3,7,5,4]" -- "= [5,4]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 16. Demostrar que 
     conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs"
by (induct rule: coge.induct) auto

text {* coge.induct es el esquema de inducción asociado a la definición
  de la función coge. Puede verse como sigue: *}

thm coge.induct

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 17. Definir la función
     esVacia :: "'a list ⇒ bool"
  tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo, 
     esVacia []  = True
     esVacia [1] = False
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun esVacia :: "'a list ⇒ bool" where
  "esVacia []     = True"
| "esVacia (x#xs) = False"

value "esVacia []"  -- "= True"
value "esVacia [1]" -- "= False"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 18. Demostrar que 
     esVacia xs = esVacia (conc xs xs)
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "esVacia xs = esVacia (conc xs xs)"
by (induct xs) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 19. Definir la función
     inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list"
  tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando
  acumuladores. Por ejemplo, 
     inversaAc [3,2,5] = [5,2,3]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun inversaAcAux :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAcAux [] ys = ys"
| "inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)"

fun inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAc xs = inversaAcAux xs []"

value "inversaAc [3,2,5]" -- "= [5,2,3]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 20. Demostrar que 
     inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma inversaAcAux_es_inversa:
  "inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys"
by (induct xs arbitrary: ys) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 21. Demostrar que 
     inversaAc xs = inversa xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

corollary "inversaAc xs = inversa xs"
by (simp add: inversaAcAux_es_inversa)

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 22. Definir la función
     sum :: "int list ⇒ int" 
  tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo,
     sum [3,2,5] = 10
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun sum :: "int list ⇒ int" where
  "sum []     = 0"
| "sum (x#xs) = x + sum xs"

value "sum [3,2,5]" -- "= 10"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 23. Definir la función
     map :: ('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list
  tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los
  elementos de xs. Por ejemplo,
     map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun map :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where
  "map f []     = []"
| "map f (x#xs) = (f x) # map f xs"

value "map (λx. 2*x) [3::int,2,5]" -- "= [6,4,10]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 24. Demostrar que 
     sum (map (λx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs)
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "sum (map (λx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs)"
by (induct xs) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 25. Demostrar que 
     longitud (map f xs) = longitud xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma "longitud (map f xs) = longitud xs"
by (induct xs) auto

end