header {* Isabelle como un lenguaje funcional *}
theory Tema_1
imports Main Efficient_Nat
begin
section {* Introducción *}
text {* Esta notas son una introducción a la demostración asistida
utilizando el sistema Isabelle/HOL/Isar. La versión de Isabelle
utilizada es la 2011.
En este capítulos se presenta el lenguaje funcional que está
incluido en Isabelle. El lenguaje funcional es muy parecido a
Haskell. *}
section {* Números naturales, enteros y booleanos *}
text {* En Isabelle están definidos los número naturales con la sintaxis
de Peano usando dos constructores: 0 (cero) y Suc (el sucesor).
Los números como el 1 son abreviaturas de los correspondientes en la
notación de Peano, en este caso "Suc 0".
El tipo de los números naturales es nat.
Por ejemplo, el siguiente del 0 es el 1. *}
value "Suc 0" -- "= 1"
text {* En Isabelle está definida la suma de los números naturales:
(x + y) es la suma de x e y.
Por ejemplo, la suma de los números naturales 1 y 2 es el número
natural 3. *}
value "(1::nat) + 2" -- "= 3"
text {* La notación del par de dos puntos se usa para asignar un tipo a
un término (por ejemplo, (1::nat) significa que se considera que 1 es
un número natural).
En Isabelle está definida el producto de los números naturales:
(x * y) es el producto de x e y.
Por ejemplo, el producto de los números naturales 2 y 3 es el número
natural 6. *}
value "(2::nat) * 3" -- "= 6"
text {* En Isabelle está definida la división de números naturales:
(n div m) es el cociente entero de x entre y.
Por ejemplo, la división natural de 7 entre 3 es 2.
*}
value "(7::nat) div 3" -- "= 2"
text {* En Isabelle está definida el resto de división de números
naturales: (n mod m) es el resto de dividir n entre m.
Por ejemplo, el resto de dividir 7 entre 3 es 1. *}
value "(7::nat) mod 3" -- "= 1"
text {* En Isabelle también están definidos los números enteros. El tipo
de los enteros se representa por int.
Por ejemplo, la suma de 1 y -2 es el número entero -1. *}
value "(1::int) + -2" -- "= -1"
text {* Los numerales están sobrecargados. Por ejemplo, el 1 puede ser
un natural o un entero, dependiendo del contexto. Isabelle resuelve
ambigüedades mediante inferencia de tipos. A veces, es necesario usar
declaraciones de tipo para resolver la ambigüedad.
En Isabelle están definidos los valores booleanos (True y False), las
conectivas (¬, ∧, ∨, ⟶ y ↔) y los cuantificadores (∀ y ∃).
El tipo de los booleanos es bool. *}
text {* La conjunción de dos fórmulas verdaderas es verdadera. *}
value "True ∧ True" -- "= True"
text {* La conjunción de un fórmula verdadera y una falsa es falsa. *}
value "True ∧ False" -- "= False"
text {* La disyunción de una fórmula verdadera y una falsa es
verdadera. *}
value "True ∨ False" -- "= True"
text {* La disyunción de dos fórmulas falsas es falsa. *}
value "False ∨ False" -- "= False"
text {* La negación de una fórmula verdadera es falsa. *}
value "¬ True" -- "= False"
text {* Una fórmula falsa implica una fórmula verdadera. *}
value "False ⟶ True" -- "= True"
text {* Un lema introduce una proposición seguida de una demostración.
Isabelle dispone de varios procedimientos automáticos para generar
demostraciones, uno de los cuales es el de simplificación (llamado
simp). El procedimiento simp aplica un conjunto de reglas de
reescritura que inicialmente contiene un gran número de reglas
relativas a los objetos definidos. *}
text {* Todo elemento es igual a sí mismo. *}
lemma "∀x. x = x"
by simp
text {* Existe un elemento igual a 1. *}
lemma "∃ x. x = 1"
by simp
section {* Definiciones no recursivas *}
text {* La disyunción exclusiva de A y B se verifica si una es verdadera
y la otra no lo es. *}
definition xor :: "bool ⇒ bool ⇒ bool" where
"xor A B ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)"
text {* Prop.: La disyunción exclusiva de dos fórmulas verdaderas es
falsa.
Dem.: Por simplificación, usando la definición de la disyunción
exclusiva.
*}
lemma "xor True True = False"
by (simp add: xor_def)
text {* Se añade la definición de la disyunción exlusiva al conjunto de
reglas de simplificación automáticas. *}
declare xor_def[simp]
section {* Definiciones locales *}
text {* Se puede asignar valores a variables locales mediante 'let' y
usarlo en las expresiones dentro de 'in'.
Por ejemplo, si x es el número natural 3, entonces "x*x=9". *}
value "let x = 3::nat in x * x" -- "= 9"
section {* Pares *}
text {* Un par se representa escribiendo los elementos entre paréntesis
y separados por coma.
El tipo de los pares es el producto de los tipos.
La función fst devuelve el primer elemento de un par y la snd el
segundo.
Por ejemplo, si p es el par de números naturales (2,3), entonces la
suma del primer elemento de p y 1 es igual al segundo elemento de
p. *}
value "let p = (2,3)::nat × nat in fst p + 1 = snd p"
section {* Listas *}
text {* Una lista se representa escribiendo los elementos entre
corchetes y separados por coma.
La lista vacía se representa por [].
Todos los elementos de una lista tienen que ser del mismo tipo.
El tipo de las listas de elementos del tipo a es (a list).
El término (x#xs) representa la lista obtenida añadiendo el elemento x
al principio de la lista xs.
Por ejemplo, la lista obtenida añadiendo sucesivamente a la lista
vacía los elementos 3, 2 y 1 es [1,2,3]. *}
value "1#(2#(3#[]))" -- "= [1,2,3]"
text {* Funciones de descomposión de listas:
· (hd xs) es el primer elemento de la lista xs.
· (tl xs) es el resto de la lista xs.
Por ejemplo, si xs es la lista de números naturales [1,2,3], entonces
el primero de xs es 1 y el resto de xs es [2,3]. *}
value "let l = [1,2,3]::(nat list) in hd l = 1 ∧ tl l = [2,3]" -- "= True"
text {* (length xs) es la longitud de la lista xs.
Por ejemplo, la longitud de la lista [1,2,3] es 3.
*}
value "length [1,2,3]" -- "= 3"
text {* En la sesión 38 de "HOL: The basis of Higher-Order Logic" se
encuentran más definiciones y propiedades de las listas. *}
section {* Registros *}
text {* Un registro es una colección de campos y valores.
Por ejemplo, los puntos del plano pueden representarse mediante
registros con dos campos, las coordenadas, con valores enteros. *}
record punto =
coordenada_x :: int
coordenada_y :: int
text {* Ejemplo, el punto pt tiene de coordenadas 3 y 7. *}
definition pt :: punto where
"pt ≡ (|coordenada_x = 3, coordenada_y = 7|)"
text {* Ejemplo, la coordenada x del punto pt es 3. *}
value "coordenada_x pt" -- "= 3"
text {* Ejemplo, sea pt2 el punto obtenido a partir del punto pt
cambiando el valor de su coordenada x por 4. Entonces la coordenada x
del punto pt2 es 4. *}
value "let pt2=pt(|coordenada_x:=4|) in coordenada_x (pt2)" -- "= 4"
section {* Funciones anónimas *}
text {* En Isabelle pueden definirse funciones anónimas.
Por ejemplo, el valor de la función que a un número le asigna su doble
aplicada a 1 es 2. *}
value "(λx. x + x) 1::nat" -- "= 2"
section {* Condicionales *}
text {* El valor absoluto del entero x es x, si "x ≥ 0" y es -x en caso
contrario. *}
definition absoluto :: "int ⇒ int" where
"absoluto x ≡ (if x ≥ 0 then x else -x)"
text {* Ejemplo, el valor absoluto de -3 es 3. *}
value "absoluto(-3)" -- "= 3"
text {* Def.: Un número natural n es un sucesor si es de la forma
(Suc m). *}
definition es_sucesor :: "nat ⇒ bool" where
"es_sucesor n ≡
(case n of
0 ⇒ False
| Suc m ⇒ True)"
text {* Ejemplo, el número 3 es sucesor. *}
value "es_sucesor 3" -- "= True"
section {* Tipos de datos y recursión primitiva *}
text {* Una lista de elementos de tipo a es la lista Vacia o se obtiene
añadiendo, con ConsLista, un elemento de tipo a a una lista de
elementos de tipo a. *}
datatype 'a Lista = Vacia | ConsLista 'a "'a Lista"
text {* (conc xs ys) es la concatenación de las lista xs e ys. *}
primrec conc :: "'a Lista ⇒ 'a Lista ⇒ 'a Lista" where
"conc Vacia ys = ys"
| "conc (ConsLista x xs) ys = ConsLista x (conc xs ys)"
text {* Ejemplo, la concatenación de la lista formada por 1 y 2 con la
lista formada por el 3 es la lista cuyos elementos son 1, 2 y 3. *}
value "conc (ConsLista 1 (ConsLista 2 Vacia)) (ConsLista 3 Vacia) =
(ConsLista 1 (ConsLista 2 (ConsLista 3 Vacia)))" -- "= True"
text {* (suma n) es la suma de los primeros n números naturales. Por
ejemplo,
suma 3 = 6
*}
primrec suma :: "nat ⇒ nat" where
"suma 0 = 0"
| "suma (Suc m) = (Suc m) + suma m"
value "suma 3" -- "= 6"
text {* (sumaImpares n)" es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 3 = 9
*}
primrec sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares 0 = 0"
| "sumaImpares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + sumaImpares n"
value "sumaImpares 3" -- "= 9"
text {* Prop.: La suma de los n primeros numeros impares es n\<^sup>2
Dem.: Por induccion en n. *}
lemma "sumaImpares n = n * n"
by (induct n) auto
end
