-- I1M 2021-22:
-- Propiedades del número 2021.
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
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-- Introducción --
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-- En esta relación se presentan ejercicios sobre propiedades del número
-- 2021.
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-- § Librerías auxiliares --
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import Data.List
import Test.QuickCheck
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-- Ejercicio 1.1. Consideramos todos los primos menores que 100:
-- 2, 3, 5, 7, 11, ..., 89, 97
-- y formamos los correspondientes pares de dominó:
-- (2,3), (3,5), (5,7), ..., (83,89), (89,97).
-- La suma de los números en todos los pares es 2021.
--
-- Definir la función
-- sumaDominoPrimos :: Integer -> Integer
-- tal que (sumaDominoPrimos n) es la suma de los números de los pares
-- de dominó formada a partir de los primos menores que n. Por ejemplo,
-- sumaDominoPrimos 100 == 2021
-- sumaDominoPrimos 200 == 8253
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sumaDominoPrimos :: Integer -> Integer
sumaDominoPrimos n = sum (map (\ (x,y) -> x+y) [(x,y) | (x,y) <- zip ps (tail ps)])
where ps = [x | x <- [1..n], esPrimo x]
esPrimo :: Integer -> Bool
esPrimo n = factores n == [1,n]
factores :: Integer -> [Integer]
factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]
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-- Ejercicio 1.2. Definir la constante
-- sucSumaDominoPrimos :: [Integer]
-- tal que sucSumaDominoPrimos es la sucesión de los números que son
-- suma de pares de dominó formado con números primos. Por ejemplo,
-- λ> take 25 sucSumaDominoPrimos
-- [5,13,25,43,67,97,133,175,227,287,355,433,517,607,707,819,939,1067,
-- 1205,1349,1501,1663,1835,2021,2219]
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primos :: [Integer]
primos = [x | x <- [1..], esPrimo x]
sucSumaDominoPrimos :: [Integer]
sucSumaDominoPrimos = tail (map sumaDominoPrimos primos)
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-- Ejercicio 1.3. Definir la sucesión
-- esSumaDominoPrimos :: Integer -> Bool
-- tal que (esSumaDominoPrimos n) se verifica si n es un número de la
-- sucesión anterior. Por ejemplo,
-- esSumaDominoPrimos 2021 == True
-- esSumaDominoPrimos 1234509 == False
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esSumaDominoPrimos :: Integer -> Bool
esSumaDominoPrimos n = n == head (dropWhile (<n) sucSumaDominoPrimos)
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-- Ejercicio 2.1. El número 2021 es la suma de 33 más la suma de los 33
-- primeros números primos.
--
-- Definir la función
-- sumSumaPrimos :: Int -> Integer
-- tal que (sumSumaPrimos n) es la suma de n más los n primeros números
-- primos. Por ejemplo,
-- sumSumaPrimos 33 == 2021
-- sumSumaPrimos 52 == 5641
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sumSumaPrimos :: Int -> Integer
sumSumaPrimos n = fromIntegral n + sum (take n primos)
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-- Ejercicio 2.2. Definir la función
-- esSumSumaPrimos :: Integer -> Bool
-- tal que (esSumSumaPrimos n) se verifica si n es de la suma de m más
-- los m primeros primos, para algún entero m. Por ejemplo,
-- esSumSumaPrimos 2021 == True
-- esSumSumaPrimos 120 == False
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esSumSumaPrimos :: Integer -> Bool
esSumSumaPrimos n = n == head (dropWhile (<n) sucSumSumaPrimos)
sucSumSumaPrimos :: [Integer]
sucSumSumaPrimos = zipWith (+) [1..] (scanl1 (+) primos)
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-- Ejercicio 3. Un número semiprimo es un número natural que es producto
-- de dos números primos no necesariamente distintos. Por ejemplo, 26 es
-- semiprimo (porque 26 = 2×13) y 49 también lo es (porque 49 = 7×7).
--
-- Definir las funciones
-- esSemiprimo :: Integer -> Bool
-- semiprimos :: [Integer]
-- tales que
-- + (esSemiprimo n) se verifica si n es semiprimo. Por ejemplo,
-- esSemiprimo 26 == True
-- esSemiprimo 49 == True
-- esSemiprimo 8 == False
-- esSemiprimo 2021 == True
-- + semiprimos es la sucesión de números semiprimos. Por ejemplo,
-- take 10 semiprimos == [4,6,9,10,14,15,21,22,25,26]
-- semiprimos !! 580 == 2021
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factoresPrimos :: Integer -> [Integer]
factoresPrimos 1 = []
factoresPrimos n = i : factoresPrimos (div n i)
where i = head (dropWhile ((/=0) . (rem n)) primos)
esSemiprimo :: Integer -> Bool
esSemiprimo n = length (factoresPrimos n) == 2
semiprimos :: [Integer]
semiprimos = [n | n <- [1..], esSemiprimo n]
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-- Ejercicio 4. Un número natural n es un número entero Blum si
-- n = p × q es un semiprimo para el que p y q son distintos primos
-- congruentes con 3 módulo 4. Es decir, p y q tienen que ser de la
-- forma 4 t + 3, para algún número entero t. Los números enteros de
-- esta forma se denominan números primos de Blum. Los primeros enteros
-- de Blum son
-- 21, 33, 57, 69, 77, 93, 129, 133, 141, 161, 177, ...
--
-- Definir las funciones
-- esBlum :: Integer -> Bool
-- sucBlum :: [Integer]
-- tales que
-- + (esBlum n) se verifica si n es un número de Blum. Por ejemplo,
-- esBlum 26 == False
-- esBlum 49 == False
-- esBlum 77 == True
-- esBlum 2021 == True
-- + sucBlum es la sucesión de números de Blum. Por ejemplo,
-- take 10 sucBlum == [21,33,57,69,77,93,129,133,141,161]
-- sucBlum !! 132 == 2021
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esBlum :: Integer -> Bool
esBlum n = length ps == 2 && p /= q && rem p 4 == 3 && rem q 4 == 3
where ps = factoresPrimos n
p = ps !! 0
q = ps !! 1
sucBlum :: [Integer]
sucBlum = [n | n <- [1..], esBlum n]
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-- Ejercicio 5. Un número semiprimo n = p x q es brillante si p y q
-- tienen el mismo número de dígitos.
--
-- Definir las funciones
-- esBrillante :: Integer -> Bool
-- sucBrillantes :: [Integer]
-- tales que
-- + (esBrillante n) se verifica si n es brillante. Por ejemplo,
-- esBrillante 26 == False
-- esBrillante 49 == True
-- esBrillante 77 == False
-- esBrillante 2021 == True
-- + sucBrillantes es la sucesión de números brillantes. Por ejemplo,
-- take 10 sucBrillante == [4,6,9,10,14,15,21,25,35,49]
-- sucBrillante !! 130 == 2021
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numDigitos :: Integer -> Integer
numDigitos n | n < 10 = 1
| otherwise = 1 + numDigitos (n `div` 10)
esBrillante :: Integer -> Bool
esBrillante n = length ps == 2 && numDigitos p == numDigitos q
where ps = factoresPrimos n
p = ps !! 0
q = ps !! 1
sucBrillante :: [Integer]
sucBrillante = [n | n <- [1..], esBrillante n]
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-- Ejercicio 6.1. Un número natural es amable si se puede expresar como
-- suma de, al menos, dos números naturales consecutivos. Por ejemplo,
-- 2021 es amable pues
-- 2021 = 20 + 21 + ... + 65 + 66.
-- La mayoría de los números naturales son amables, por lo que vamos a
-- calcular la lista de los números no amables.
--
-- Los primeros números no amables son
-- 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192,
-- 16384, 32768, 65536, 131072, 262144
--
-- Definir la función
-- sucesionesConSuma :: Int -> [(Int,Int)]
-- tal que (sucesionesConSuma n) es la lista de los pares formados por
-- el primero y por el último elemento de las sucesiones de números
-- naturales consecutivos con suma n. Por ejemplo,
-- sucesionesConSuma 15 == [(1,5),(4,6),(7,8)]
-- sucesionesConSuma 2021 == [(20,66),(26,68),(1010,1011)]
-- length (sucesionesConSuma 2021) == 3
-- length (sucesionesConSuma 3000) == 7
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sucesionesConSuma :: Integer -> [(Integer,Integer)]
sucesionesConSuma n = [(x,y) | x <- [1..n], y <- [x+1..n], (y-x+1)*(y+x) == 2*n]
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-- Ejercicio 6.2. Definir las funciones
-- noAmable :: Integer -> Bool
-- sucNoAmables :: [Integer]
-- tales que
-- + (noAmable n) se verifica si n es un número no amable. Por ejemplo,
-- noAmable 2021 == False
-- noAmable 1024 == True
-- + sucNoAmables es la lista de números naturales no amables. Por
-- ejemplo,
-- take 10 sucNoAmables == [1,2,4,8,16,32,64,128,256,512]
-- ---------------------------------------------------------------------
noAmable :: Integer -> Bool
noAmable n = null (sucesionesConSuma n)
sucNoAmables :: [Integer]
sucNoAmables = filter noAmable [1..]
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-- Ejercicio 6.3. Comprobar con QuickCheck que un número natural es no
-- amable si y sólo si es potencia de 2.
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propNoAmable :: Integer -> Property
propNoAmable n = n > 0 ==> noAmable n == esPotenciaDe2 n
esPotenciaDe2 :: Integer -> Bool
esPotenciaDe2 0 = False
esPotenciaDe2 1 = True
esPotenciaDe2 n = even n && esPotenciaDe2 (n `div` 2)
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-- Ejercicio 7.1. Un número natural se denomina aritmético si la media
-- aritmética de sus divisores es un número entero.
--
-- Definir la función
-- esAritmetico :: Integer -> Bool
-- tal que (esAritmetico n) se verifica si n es un número aritmético.
-- Por ejemplo,
-- esAritmetico 2021 == True
-- esAritmetico 24 == False
-- ---------------------------------------------------------------------
esAritmetico :: Integer -> Bool
esAritmetico n = rem (sum fs) (fromIntegral (length fs)) == 0
where fs = factores n
-- --------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.2. Comprobar con QuickCheck que todos los primos excepto
-- el 2 son aritméticos.
-- ---------------------------------------------------------------------
primosAritmeticos :: Integer -> Property
primosAritmeticos n = esPrimo n ==> (n == 2 || esAritmetico n)
-- --------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.3. Definir la función
-- sucAritmeticosConsecutivos :: Int -> [Integer]
-- tal que (sucAritmeticosConsecutivos n) es una sucesión de n números
-- aritméticos consecutivos. Por ejemplo,
-- λ> sucAritmeticosConsecutivos 5
-- [19,20,21,22,23]
-- λ> sucAritmeticosConsecutivos 20
-- [4955,4956,4957,4958,4959,4960,4961,4962,4963,4964,4965,4966,4967,
-- 4968,4969,4970,4971,4972,4973,4974]
-- ---------------------------------------------------------------------
sucAritmeticos :: [Integer]
sucAritmeticos = filter esAritmetico [1..]
segmentos :: Int -> [a] -> [[a]]
segmentos n xs = map (take n) (tails xs)
consecutivos :: [Integer] -> Bool
consecutivos ns = ns == [head ns..last ns]
sucAritmeticosConsecutivos :: Int -> [Integer]
sucAritmeticosConsecutivos n = head (filter consecutivos (segmentos n sucAritmeticos))
-- --------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. El número 2021 tiene las propiedades siguientes:
-- + sumándole su inverso es un número palíndromo: 2021 + 1202 = 3223
-- + multiplicándolo por su inverso también lo es: 2021 * 1202 = 2429242
--
-- Definir las funciones
-- masInvPalindromo :: Integer -> Bool
-- prodInvPalindromo :: Integer -> Bool
-- tales que
-- + (masInvPalindromo n) se verifica si n más su inverso es
-- palíndromo. Por ejemplo,
-- masInvPalindromo 2021 == True
-- masInvPalindromo 109 == False
-- + (prodInvPalindromo n) se verifica si n por su inverso es
-- palíndromo. Por ejemplo,
-- prodInvPalindromo 2021 == True
-- prodInvPalindromo 1097 == False
-- ---------------------------------------------------------------------
esPalindromo :: Integer -> Bool
esPalindromo n = n == inverso n
inverso :: Integer -> Integer
inverso n = read (reverse (show n))
masInvPalindromo :: Integer -> Bool
masInvPalindromo n = esPalindromo (n + inverso n)
prodInvPalindromo :: Integer -> Bool
prodInvPalindromo n = esPalindromo (n * inverso n)
-- --------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Comprobar con QuickCheck que todo número
-- prodInvPalindromo es masInvPalindromo.
-- ---------------------------------------------------------------------
propInvPalindromo :: Integer -> Property
propInvPalindromo n = n > 0 && prodInvPalindromo n ==> masInvPalindromo n
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-- Ejercicio 9. Comprobar que el número 2021 es el menor número
-- natural que verifica las siguientes propiedades:
-- (+) es la concatenación de dos enteros consecutivos (20 y 21)
-- (+) es el producto de dos primos consecutivos (43 y 47)
--
-- Para ello, definir las funciones
-- esConcatConsecutivos :: Integer -> Bool
-- esProdprimosConsecutivos :: Integer -> Bool
-- especiales :: [Integer]
-- tales que
-- + (esConcatConsecutivos n) se verifica si n es la concatenación de
-- dos enteros consecutivos. Por ejemplo,
-- esConcatConsecutivos 2021 == True
-- + (esProdprimosConsecutivos n) se verifica si n es el producto de dos
-- primos consecutivos
-- esProdprimosConsecutivos 2021 == True
-- + espaciales es la lista de números naturales que verifican las dos
-- propiedaes anteriores
-- head especiales == 2021
-- ---------------------------------------------------------------------
-- esConcatConsecutivos
-- ====================
esConcatConsecutivos :: Integer -> Bool
esConcatConsecutivos n = any (==n) [read(show n1 ++ show n2) | (n1,n2) <- zip [1..n] (tail [1..n])]
-- esProdprimosConsecutivos
-- =========================
esProdprimosConsecutivos :: Integer -> Bool
esProdprimosConsecutivos n = any (==n) [n1 * n2 | (n1,n2) <- zip primos (tail primos)]
-- especiales
-- ==========
especiales :: [Integer]
especiales = [n | n <- map (\ (x,y) -> x*y) (zip primos (tail primos)), esConcatConsecutivos n]
-- Primer número especial:
-- λ> head especiales
-- 2021
![Informática de 1º de Matemáticas [Curso 2021-22, Grupo 3]](/WIKIS/I1M2021G3/resources/assets/logoUS.png)