Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)

Funciones y variables a utilizar: float, is, expand, fpprec, bfloat, solve, factor, rectform, abs, carg, plot2D y find_root.

Ejercicio 1

Ejercicio 1.1

Definir la constante <math>a = (20+14\sqrt{2})^{1/3} + (20-14\sqrt{2})^{1/3}</math>.

---

Solución:

(%1) a : (20+14*sqrt(2))^(1/3) + (20-14*sqrt(2))^(1/3)$

Ejercicio 1.2

Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?

Solución:

(%i1) float(a);
(%o1) 3.999999999999996

Ejercicio 2

Ejercicio 2. Escribir el número <math>\left(sin\frac{\pi}{3}+cos\frac{\pi}{3}\right)^9</math> en la forma <math>a + b \ast c^d</math>, donde <math>a, b, c</math> y <math>d</math> son números racionales.

Nota: Cambiar el valor de la variable %piargs a true y usar radcan para la simplificación de radicales.

Solución:

Ejercicio 3

Calcular la cifra 149 del número <math>\pi</math>.

Solución:

(%i1) fpprec : 149;
(%o1) 149
(%i2) bfloat(1000*%pi);
(%02) 3.1415926535897932384626433832[92digits]0938446095505822317253594081b3

Cifra 149: 1

Ejercicio 4

Se considera el polinomio <math>p = x^4-x^3-7x^2-8x-6</math>.

(%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$

Ejercicio 4.1.

Calcular las raices reales de <math>p</math>.

Solución:

(%11) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$
(%i2) solve(p);
(%o2) [x=1-sqrt(7),x=sqrt(7)+1,x=-(sqrt(3)*%i+1)/2,x=(sqrt(3)*%i-1)/2]

<math>x=1-\sqrt(7),x=1+\sqrt(7),x=-(\sqrt(3)i+1)/2,x=(\sqrt(3)i-1)/2</math>

Ejercicio 4.2

Factorizar al máximo el polinomio <math>p</math>.

Solución:

(%o3) factor(p);
(x^2-2*x-6)*(x^2+x+1)

<math>(x^2-2x-6)(x^2+x+1)</math>

Ejercicio 5

Sea <math>z=\left(\frac{1-i\sqrt 3}{1+i}\right)^{20}</math>.

(%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$

Ejercicio 5.1

Calcular la parte real y la parte imaginaria de <math>z</math>.

Solución: La parte real sería: (%i1) realpart(z);

La parte imaginaria sería: (%i2) imagpart(z);

Ejercicio 5.2

Calcular el módulo y el argumento de <math>z</math>.

Solución: El módulo sería: (%i1) abs(Z);

El argumento sería: (%i2) carg(z);

Ejercicio 6

Ejercicio 6.1

Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación

<math>\sin x=1-x^4</math>.

Solución: La representación sería : (%i1) plot2d([sin(x)-1+x^4],[x,-100,100],[y,-10,10]);

Ejercicio 6.2

Dar una aproximación de cada solución.

Solución: (%i1) solve(sin(x)-1+x^4=0);

Las soluciones obtenidas son: [x=%i*(1-sin(x))^(1/4),x=-(1-sin(x))^(1/4),x=-%i*(1-sin(x))^(1/4),x=(1-sin(x))^(1/4)]

Ejercicio 7

Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros <math>a, b</math> y <math>c</math>:

<math>

\left\{ \begin{array}{l} x+ay+a^2 z=0 \\ x+by+b^2 z=0 \\ x+cy+c^2z=1 \end{array} \right. </math>

Solución: Esto se resuelve de la siguiente manera: (%i1) a1:x+a*y+a^2*z=0; (%i2) a2:x+b*y+b^2*z=0; (%i3) a3:x+c*y+c^2*z=1; (%i4) linsolve([a1,a2,a3], [x,y,z]);

Y obtenemos las soluciones siguientes: (%i5) a^2*z+a*y+x=0 (%i6) b^2*z+b*y+x=0 (%i7) c^2*z+c*y+x=1 (%i8) [x=(a*b)/(c^2-b*c+a*(b-c)),y=-(b+a)/(c^2-b*c+a*(b-c)),z=1/(c^2-b*c+a*(b-c))]