Ejercicios 6: Matrices con Maxima
De Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11)
Ejercicio 1
Ejercicio 1.1.
Definir la matriz
<math> M_k = \left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right) </math>
para <math>k \in \mathbb{R}</math>.
Solución:
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);
Ejercicio 1.2.
Calcular el determinante de M(k).
Solución:
determinant(Mk);
Ejercicio 1.3.
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.
Solución: Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.
Ejercicio 1.4.
Calcular la inversa de M(k).
Solución:
invert(Mk);
Ejercicio 1.5.
Calcular los autovalores de M(k).
Solución: En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.
Ejercicio 1.6.
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples. M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).
Ejercicio 2
Ejercicio 2.1.
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden k+1 cuyo término general es
<math> a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>
Solución:
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)
Ejercicio 2.2.
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).
Solución:
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]
(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]
(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]
Ejercicio 2.3.
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).
Solución:
invert(A(1)); invert(A(2)); invert(A(5));
Comprobamos:
A(1).invert(A(1)); A(2).invert(A(2)); A(5).invert(A(5));
Ejercicio 2.4.
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).
Solución:
b[i,j] := if i <= j then (-1)^(i+j)*binomial(j-1,i-1) else 0; B(n) := genmatrix (b,n+1,n+1);
Ejercicio 2.5.
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.
Solución:
for n from 0 thru 9 do print(A(n).B(n));
Comprobamos que la conjetura es correcta.
Ejercicio 3
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
<math> \left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right) </math>
Ejercicio 3.1.
Escribir la matriz A definida por
<math> \left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right) </math>
Solución:
(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$
Ejercicio 3.2.
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.
Solución:
(%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$
Ejercicio 3.3.
Calcular M = AX − XA
Solución:
(%i3) M:A.X-X.A; (%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])
Ejercicio 3.4.
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.
Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.
Solución:
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$ (%i5) globalsolve:true$ (%i6) solve(S,[a,b,c,d]); solve: dependent equations eliminated: (4 3) (%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]
Ejercicio 3.5.
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0
Solución:
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);
Ejercicio 3.6.
Comprobar que A y B conmutan.
Solución:
(%i10) is(A.B=B.A); (%o10) true