Razonamiento automático (2014-15) Razonamiento automático (2014-15)

header {* R9: Deducción natural en Isabelle/HOL *}

theory R9
imports Main 
begin

text {*
  Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas
  básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los
  cuantificadores y de la igualdad: 
  · conjI:      ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
  · conjunct1:  P ∧ Q ⟹ P
  · conjunct2:  P ∧ Q ⟹ Q  
  · notnotD:    ¬¬ P ⟹ P
  · mp:         ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q 
  · impI:       (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
  · disjI1:     P ⟹ P ∨ Q
  · disjI2:     Q ⟹ P ∨ Q
  · disjE:      ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R 
  · FalseE:     False ⟹ P
  · notE:       ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
  · notI:       (P ⟹ False) ⟹ ¬P
  · iffI:       ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
  · iffD1:      ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P 
  · iffD2:      ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
  · ccontr:     (¬P ⟹ False) ⟹ P

  · allI:       ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R
  · allE:       (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x
  · exI:        P x ⟹ ∃x. P x
  · exE:        ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q

  · refl:       t = t
  · subst:      ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t
  · trans:      ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t
  · sym:        s = t ⟹ t = s
  · not_sym:    t ≠ s ⟹ s ≠ t
  · ssubst:     ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t
  · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d
  · arg_cong:   x = y ⟹ f x = f y
  · fun_cong:   f = g ⟹ f x = g x
  · cong:       ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y
*}

text {*
  Se usarán las reglas notnotI, mt y not_ex que demostramos a continuación.
  *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

lemma no_ex: "¬(∃x. P(x)) ⟹ ∀x. ¬P(x)"
by auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1. Demostrar
     p ∨ q, ¬q ⊢ p
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Demostrar
     p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Demostrar
     ¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Demostrar
     ¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Demostrar
     ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Demostrar
     ⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Demostrar
     ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Demostrar
     ¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Demostrar
     ¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar
     ¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Demostrar
     ⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 12. Demostrar
       P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x 
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 13. Demostrar
       {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, 
        ∀x. ¬(R x x)}
       ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 14. Demostrar o refutar
       (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 15. Demostrar o refutar
       (∃y. ∀x. P x y) ⟶ (∀x. ∃y. P x y)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 16. Demostrar o refutar
     {∀x. P a x x, 
      ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧
     ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 17. Demostrar o refutar
     {∀y. Q a y, 
      ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} 
     ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))
  ------------------------------------------------------------------ *}

end