header {* 4ª relación de ejercicios *}
theory Relacion_4
imports Main
begin
section {* Sustitución, inversión y eliminación *}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir la función
sust :: "'a ⇒ 'a ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
tal que (sust x y zs) es la lista obtenida sustituyendo cada
occurrencia de x por y en la lista zs. Por ejemplo,
sust (1::nat) 2 [1,2,3,4,1,2,3,4] = [2,2,3,4,2,2,3,4]
---------------------------------------------------------------------
*}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar o refutar:
sust x y (xs@ys) = (sust x y xs)@(sust x y ys)"
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
lemma sust_append_auto:
"sust x y (xs@ys) = (sust x y xs)@(sust x y ys)"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma sust_append:
"sust x y (xs @ ys) = (sust x y xs)@(sust x y ys)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar o refutar:
rev (sust x y zs) = sust x y (rev zs)
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
theorem "rev(sust x y zs) = sust x y (rev zs)"
oops
-- "La demostración estructurada es"
theorem rev_sust:
"rev (sust x y zs) = sust x y (rev zs)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar o refutar:
sust x y (sust u v zs) = sust u v (sust x y zs)
---------------------------------------------------------------------
*}
theorem "sust x y (sust u v zs) = sust u v (sust x y zs)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar o refutar:
sust y z (sust x y zs) = sust x z zs
---------------------------------------------------------------------
*}
theorem "sust y z (sust x y zs) = sust x z zs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Definir la función
borra :: "'a ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
tal que (borra x ys) es la lista obtenida borrando la primera
ocurrencia del elemento x en la lista ys. Por ejemplo,
borra (2::nat) [1,2,3,2] = [1,3,2]
Nota: La función borra es equivalente a la predefinida remove1.
---------------------------------------------------------------------
*}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Definir la función
borraTodas :: "'a ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
tal que (borraTodas x ys) es la lista obtenida borrando todas las
ocurrencias del elemento x en la lista ys. Por ejemplo,
borraTodas (2::nat) [1,2,3,2] = [1,3]
---------------------------------------------------------------------
*}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar o refutar:
borra x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
theorem "borra x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs"
oops
-- "La demostración estructurada es"
theorem "borra x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar o refutar:
borraTodas x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
theorem "borraTodas x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs"
oops
-- "La demostración estructurada es"
theorem "borraTodas x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar o refutar:
borraTodas x (borra x xs) = borraTodas x xs
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
theorem "borraTodas x (borra x xs) = borraTodas x xs"
oops
-- "La demostración estructurada es"
theorem borraTodas_borra:
"borraTodas x (borra x xs) = borraTodas x xs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar o refutar:
borra x (borra y xs) = borra y (borra x xs)
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
theorem "borra x (borra y xs) = borra y (borra x xs)"
oops
-- "La demostración estructurada es"
theorem "borra x (borra y xs) = borra y (borra x xs)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar o refutar el teorema:
borraTodas x (borra y xs) = borra y (borraTodas x xs)
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
theorem "borraTodas x (borra y xs) = borra y (borraTodas x xs)"
oops
-- "La demostración estructurada es"
theorem "borraTodas x (borra y xs) = borra y (borraTodas x xs)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar o refutar:
borra y (sust x y xs) = borra x xs
---------------------------------------------------------------------
*}
theorem "borra y (sust x y xs) = borra x xs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar o refutar:
borraTodas y (sust x y xs) = borraTodas x xs"
---------------------------------------------------------------------
*}
theorem "borraTodas y (sust x y xs) = borraTodas x xs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar o refutar:
sust x y (borraTodas x zs) = borraTodas x zs
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
theorem "sust x y (borraTodas x zs) = borraTodas x zs"
oops
-- "La demostración estructurada es"
theorem sust_borraTodas:
"sust x y (borraTodas x zs) = borraTodas x zs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar o refutar:
sust x y (borraTodas z zs) = borraTodas z (sust x y zs)
---------------------------------------------------------------------
*}
theorem "sust x y (borraTodas z zs) = borraTodas z (sust x y zs)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar o refutar:
rev (borra x xs) = borra x (rev xs)
---------------------------------------------------------------------
*}
theorem "rev (borra x xs) = borra x (rev xs)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar o refutar el teorema:
borraTodas x (xs@ys) = (borraTodas x xs)@(borraTodas x ys)
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
lemma "borraTodas x (xs@ys) = (borraTodas x xs)@(borraTodas x ys)"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma borraTodas_append:
"borraTodas x (xs@ys) = (borraTodas x xs)@(borraTodas x ys)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar o refutar el teorema:
rev (borraTodas x xs) = borraTodas x (rev xs)
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
theorem "rev (borraTodas x xs) = borraTodas x (rev xs)"
oops
-- "La demostración estructurada es"
theorem "rev (borraTodas x xs) = borraTodas x (rev xs)"
oops
end