header {* 3ª relación de ejercicios *}
theory Relacion_3
imports Main
begin
section {* Cons inverso *}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir recursivamente la función
snoc :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list"
tal que (snoc xs a) es la lista obtenida al añadir el elemento a al
final de la lista xs. Por ejemplo,
value "snoc [2,5] (3::int)" == [2,5,3]
Nota: No usar @.
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*}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar el siguiente teorema
snoc xs a = xs @ [a]
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática del lema es"
lemma "snoc xs a = xs @ [a]"
oops
-- "La demostración estructurada del lema es"
lemma snoc_append: "snoc xs a = xs @ [a]"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar el siguiente teorema
rev (x # xs) = snoc (rev xs) x"
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática del teorema es"
theorem rev_cons_auto: "rev (x # xs) = snoc (rev xs) x"
oops
-- "La demostración estructurada del teorema es"
theorem rev_cons: "rev (x # xs) = snoc (rev xs) x"
oops
section {* Cuantificadores sobre listas *}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Definir la función
todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de la lista
xs cumplen la propiedad p. Por ejemplo, se verifica
todos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[1,3]]
¬ todos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[3]]
Nota: La función todos es equivalente a la predefinida list_all.
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*}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Definir la función
algunos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (algunos p xs) se verifica si algunos elementos de la lista
xs cumplen la propiedad p. Por ejemplo, se verifica
algunos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[3]]
¬ algunos (λx. 1<length x) [[],[3]]"
Nota: La función algunos es equivalente a la predefinida list_ex.
---------------------------------------------------------------------
*}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar o refutar:
todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
lemma "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar o refutar:
todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
lemma "todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma todos_append [simp]:
"todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar o refutar:
todos P (rev xs) = todos P xs
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
lemma "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar o refutar:
algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "Se busca un contraejemplo con nitpick"
lemma "algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)"
oops
text {*
El contraejemplo encontrado es
*}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar o refutar:
algunos P (map f xs) = algunos (P ∘ f) xs
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
lemma "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma "algunos P (map f xs) = algunos (P ∘ f) xs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar o refutar:
algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
lemma "algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma algunos_append:
"algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar o refutar:
algunos P (rev xs) = algunos P xs
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
lemma "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Encontrar un término no trivial Z tal que sea cierta la
siguiente ecuación:
algunos (λx. P x ∨ Q x) xs = Z
---------------------------------------------------------------------
*}
text {*
Solución: La ecuación se verifica eligiendo como Z el término
algunos P xs ∨ algunos Q xs
En efecto,
*}
lemma "algunos (λx. P x ∨ Q x) xs = (algunos P xs ∨ algunos Q xs)"
oops
-- "De forma estructurada"
lemma "algunos (λx. P x ∨ Q x) xs = (algunos P xs ∨ algunos Q xs)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar o refutar:
algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
lemma "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Definir la funcion primitiva recursiva
estaEn :: 'a ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (estaEn x xs) se verifica si el elemento x está en la lista
xs. Por ejemplo,
estaEn (2::nat) [3,2,4] = True
estaEn (1::nat) [3,2,4] = False
---------------------------------------------------------------------
*}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Expresar la relación existente entre estaEn y algunos.
---------------------------------------------------------------------
*}
text {*
Solución: La relación es
En efecto,
*}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Definir la función primitiva recursiva
sinDuplicados :: 'a list ⇒ bool
tal que (sinDuplicados xs) se verifica si la lista xs no contiene
duplicados. Por ejemplo,
sinDuplicados [1::nat,4,2] = True
sinDuplicados [1::nat,4,2,4] = False
---------------------------------------------------------------------
*}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Definir la función primitiva recursiva
borraDuplicados :: 'a list ⇒ bool
tal que (borraDuplicados xs) es la lista obtenida eliminando los
elementos duplicados de la lista xs. Por ejemplo,
borraDuplicados [1::nat,2,4,2,3] = [1,4,2,3]
Nota: La función borraDuplicados es equivalente a la predefinida remdups.
---------------------------------------------------------------------
*}
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar o refutar:
length (borraDuplicados xs) ≤ length xs
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
lemma "length (borraDuplicados xs) ≤ length xs"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma length_borraDuplicados:
"length (borraDuplicados xs) ≤ length xs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar o refutar:
estaEn a (borraDuplicados xs) = estaEn a xs
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática es"
lemma estaEn_borraDuplicados_auto:
"estaEn a (borraDuplicados xs) = estaEn a xs"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma estaEn_borraDuplicados:
"estaEn a (borraDuplicados xs) = estaEn a xs"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar o refutar:
sinDuplicados (borraDuplicados xs)
---------------------------------------------------------------------
*}
-- "La demostración automática"
lemma "sinDuplicados (borraDuplicados xs)"
oops
-- "La demostración estructurada es"
lemma sinDuplicados_borraDuplicados:
"sinDuplicados (borraDuplicados xs)"
oops
text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar o refutar:
borraDuplicados (rev xs) = rev (borraDuplicados xs)
---------------------------------------------------------------------
*}
lemma "borraDuplicados (rev xs) = rev (borraDuplicados xs)"
oops
end