Razonamiento automático (2010-11) Razonamiento automático (2010-11)

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theory Relacion_11
imports Main Efficient_Nat
begin

text {* ----------------------------------------------------------------
  Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función
     longitud :: "'a list ⇒ nat" where
  tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,
     longitud [4,2,5] = 3
  ------------------------------------------------------------------- *}


text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Demostrar que 
     longitud [4,2,5] = 3
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Definir la función
     fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a"
  tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las
  componentes del par p. Por ejemplo,
     "intercambia (2,3) = (3,2)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Demostrar que 
     intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Definir, por recursión, la función
     inversa :: "'a list ⇒ 'a list"
  tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los
  elementos de xs. Por ejemplo,
     inversa [3,2,5] = [5,2,3]
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Demostrar que 
     inversa [x] = [x]
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Definir la función
     repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  tal que . Por ejemplo,
     repite 3 5 = [5,5,5]
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Demostrar que 
     longitud (repite n x) = n
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Definir la función
     fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
  tal que . Por ejemplo,
     conc [2,3] [4,3,5] = [2,3,4,3,5]
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar que 
     conc xs (conc ys zs) = (conc xs ys) zs
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Refutar que 
     conc xs ys = conc ys xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 12. Demostrar que 
     conc xs [] = xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 13. Demostrar que 
     longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 14. Definir la función
     coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
  tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por
  ejemplo, 
     coge 2 [3,7,5,4] = [3,7]
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 15. Definir la función
     elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
  tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por
  ejemplo, 
     elimina 2 [3,7,5,4] = [5,4]
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 16. Demostrar que 
     conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 17. Definir la función
     esVacia :: "'a list ⇒ bool"
  tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo, 
     esVacia []  = True
     esVacia [1] = False
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 18. Demostrar que 
     esVacia xs = esVacia (conc xs xs)
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 19. Definir la función
     inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list"
  tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando
  acumuladores. Por ejemplo, 
     inversaAc [3,2,5] = [5,2,3]
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 20. Demostrar que 
     inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 21. Demostrar que 
     inversaAc xs = inversa xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 22. Definir la función
     sum :: "int list ⇒ int" 
  tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo,
     sum [3,2,5] = 10
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 23. Definir la función
     map :: ('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list
  tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los
  elementos de xs. Por ejemplo,
     map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10]
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 24. Demostrar que 
     sum (map (λx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs)
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 25. Demostrar que 
     longitud (map f xs) = longitud xs
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 26. Definir la función
     sumaImpares :: "nat ⇒ nat"
  tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
  impares. Por ejemplo,
     sumaImpares 5  =  25
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 27. Demostrar que 
     sumaImpares n = n*n
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 28. Definir la función
     sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat"
  tal que 
     (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
  Por ejemplo, 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 29. Demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 30. Definir la función
     copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list"
  tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     copia 3 2 = [2,2,2]
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 31. Definir la función
     todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool"
  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
  la propiedad p. Por ejemplo,
     todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
     todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
  Nota; La conjunción se representa por ∧
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 32. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
  iguales a x. 
  ------------------------------------------------------------------- *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 33. Definir la función
    factR :: "nat ⇒ nat"
  tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
    factR 4  =  24
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 34. Se considera la siguiente definición iterativa de la
  función factorial 
     factI :: Integer -> Integer
     factI n = factI' n 1
     
     factI' :: Integer -> Integer -> Integer
     factI' 0     x = x                  -- factI'.1
     factI' (n+1) x = factI' n (n+1)*x   -- factI'.2
  Comprobar con QuickCheck que factI y factR son equivalentes sobre los
  números naturales.
  ------------------------------------------------------------------- *}
     
text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 35. Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene 
     factI' n x = x * factR n
  y, como corolario, que
     factI n = factR n
  ------------------------------------------------------------------- *}


text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 36. Definir, recursivamente y sin usar (@). la función
     amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list"
  tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
  final de la lista xs. Por ejemplo,
     amplia [2,5] 3 = [2,5,3]
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 37. Demostrar que 
     amplia xs y = xs @ [y]
  ------------------------------------------------------------------- *}

end