Diferencia entre revisiones de «R5»
De Lógica matemática y fundamentos (2017-18)
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=== Relación 5: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden === | === Relación 5: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden === | ||
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| − | '''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 5 de LPO de | + | '''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 5 de LPO de [http://www.glc.us.es/apli2/login/ APLI2], verificando la corrección de la solución: |
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* Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por un aduanero. | * Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por un aduanero. | ||
* Hay un contrabandista que entra en el país y que solo podrá ser cacheado por contrabandistas. | * Hay un contrabandista que entra en el país y que solo podrá ser cacheado por contrabandistas. | ||
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* Por lo tanto, algún aduanero es contrabandista. | * Por lo tanto, algún aduanero es contrabandista. | ||
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'''Solución:''' | '''Solución:''' | ||
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| − | '''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 15 de LPO de | + | '''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 15 de LPO de [http://www.glc.us.es/apli2/login/ APLI2], verificando la corrección de la solución: |
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* Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe. | * Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe. | ||
* Alvaro es amigo del programador jefe. | * Alvaro es amigo del programador jefe. | ||
* Benito no obedece a Alvaro. | * Benito no obedece a Alvaro. | ||
* Benito no es un robot. | * Benito no es un robot. | ||
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'''Solución:''' | '''Solución:''' | ||
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| − | '''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 16 de LPO de | + | '''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 16 de LPO de [http://www.glc.us.es/apli2/login/ APPLI2]), verificando la corrección de la solución: |
| − | APPLI2), verificando la corrección de la solución: | ||
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* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien z protege al pez y. | * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien z protege al pez y. | ||
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás. | * No hay ningún pez que se coma a todos los demás. | ||
* Ningún pez protege a ningún otro. | * Ningún pez protege a ningún otro. | ||
* Por lo tanto, existe algún tiburón en la pecera. | * Por lo tanto, existe algún tiburón en la pecera. | ||
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'''Solución:''' | '''Solución:''' | ||
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| − | '''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 21 de LPO de | + | '''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 21 de LPO de [http://www.glc.us.es/apli2/login/ APPLI2]), verificando la corrección de la solución: |
| − | APPLI2), verificando la corrección de la solución: | ||
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* Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se afeitan a sí mismo y sólo a ellos. | * Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se afeitan a sí mismo y sólo a ellos. | ||
* Carlos es un habitante de las Chinas. | * Carlos es un habitante de las Chinas. | ||
* Por lo tanto, Carlos no afeita a nadie. | * Por lo tanto, Carlos no afeita a nadie. | ||
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'''Solución:''' | '''Solución:''' | ||
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'''Ejercicio 5.''' | '''Ejercicio 5.''' | ||
| − | Sea F la fórmula P(x) → P (a) , donde a es un símbolo de constante. Dar un | + | Sea F la fórmula P(x) → P (a), donde a es un símbolo de constante. Dar un ejemplo de una interpretación en la que F sea verdadera. Y un ejemplo de una interpretación en la que F sea falsa. |
| − | ejemplo de una interpretación en la que F sea verdadera. Y un ejemplo de una | ||
| − | interpretación en la que F sea falsa. | ||
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'''Ejercicio 6.''' | '''Ejercicio 6.''' | ||
| − | Sea L un lenguaje de primer orden con dos símbolos de predicado, P (de aridad | + | Sea L un lenguaje de primer orden con dos símbolos de predicado, P (de aridad 1), Q (de aridad 2) y un símbolo de función, f (de aridad 1). Sea I = (U, I) la estructura dada por: |
| − | 1), Q (de aridad 2) y un símbolo de función, f | + | * U = {a, b, c, d} ; |
| − | la estructura dada por: | + | * I P) = {a, b}, |
| − | U = { a, b, c, d } ; | + | * I Q) = {(a, b), (b, b), (c, b)}, |
| − | I | + | * I f) = {(a, b), (b, b), (c, a), (d, c)}. |
| − | I | ||
| − | I | ||
¿Cuál es el valor de cada una de las siguientes fórmulas en dicha estructura? | ¿Cuál es el valor de cada una de las siguientes fórmulas en dicha estructura? | ||
| − | * P ( x ) → | + | * P (x) → ∃yQ(y,x). |
| − | * | + | * ∀xQ(f(x),x). |
| − | * Q ( f ( x ) , x ) → Q ( x, x ) . | + | * Q(f(x),x) → Q(x,x). |
| − | * Q ( x, y ) → P ( x ) . | + | * Q(x,y) → P(x). |
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Revisión del 10:23 25 mar 2018
Relación 5: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 5 de LPO de APLI2, verificando la corrección de la solución:
- Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por un aduanero.
- Hay un contrabandista que entra en el país y que solo podrá ser cacheado por contrabandistas.
- Ningún contrabandista es un VIP.
- Por lo tanto, algún aduanero es contrabandista.
Solución:
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 15 de LPO de APLI2, verificando la corrección de la solución:
- Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
- Alvaro es amigo del programador jefe.
- Benito no obedece a Alvaro.
- Benito no es un robot.
Solución:
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 16 de LPO de APPLI2), verificando la corrección de la solución:
- Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien z protege al pez y.
- No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
- Ningún pez protege a ningún otro.
- Por lo tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Solución:
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 21 de LPO de APPLI2), verificando la corrección de la solución:
- Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se afeitan a sí mismo y sólo a ellos.
- Carlos es un habitante de las Chinas.
- Por lo tanto, Carlos no afeita a nadie.
Solución:
Ejercicio 5. Sea F la fórmula P(x) → P (a), donde a es un símbolo de constante. Dar un ejemplo de una interpretación en la que F sea verdadera. Y un ejemplo de una interpretación en la que F sea falsa.
Solución:
Ejercicio 6. Sea L un lenguaje de primer orden con dos símbolos de predicado, P (de aridad 1), Q (de aridad 2) y un símbolo de función, f (de aridad 1). Sea I = (U, I) la estructura dada por:
- U = {a, b, c, d} ;
- I P) = {a, b},
- I Q) = {(a, b), (b, b), (c, b)},
- I f) = {(a, b), (b, b), (c, a), (d, c)}.
¿Cuál es el valor de cada una de las siguientes fórmulas en dicha estructura?
- P (x) → ∃yQ(y,x).
- ∀xQ(f(x),x).
- Q(f(x),x) → Q(x,x).
- Q(x,y) → P(x).
Solución:
Ejercicio 7.
En el lenguaje con igualdad L = { a, f } , siendo f un símbolo de función de aridad 1 y a una constante, se consideran las siguientes fórmulas:
- F₁ : = ∀ x [ f ( x ) ≠ a ] ,
- F₂ : = ∀ x ∀ y [ f ( x ) = f ( y ) → x = y ] ,
- F₃ : = ∀ x [ x ≠ a → ∃ y [ f ( y ) = x ]] .
Probar que ninguna de estas fórmulas es consecuencia lógica de las dos restantes.
Solución:
Ejercicio 8. Dar una fórmula F, tal que todo modelo de F tenga al menos 3 elementos. Generalizarlo a n cualquiera.
Solución: