R5
De Lógica matemática y fundamentos (2017-18)
Relación 5: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 5 de LPO de APLI2, verificando la corrección de la solución:
- Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por un aduanero.
- Hay un contrabandista que entra en el país y que solo podrá ser cacheado por contrabandistas.
- Ningún contrabandista es un VIP.
- Por lo tanto, algún aduanero es contrabandista.
Solución:
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 15 de LPO de APLI2, verificando la corrección de la solución:
- Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
- Alvaro es amigo del programador jefe.
- Benito no obedece a Alvaro.
- Benito no es un robot.
Solución:
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 16 de LPO de APPLI2), verificando la corrección de la solución:
- Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien z protege al pez y.
- No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
- Ningún pez protege a ningún otro.
- Por lo tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Solución:
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento (ejercicio 21 de LPO de APPLI2), verificando la corrección de la solución:
- Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se afeitan a sí mismo y sólo a ellos.
- Carlos es un habitante de las Chinas.
- Por lo tanto, Carlos no afeita a nadie.
Solución:
Ejercicio 5. Sea F la fórmula P(x) → P (a), donde a es un símbolo de constante. Dar un ejemplo de una interpretación en la que F sea verdadera. Y un ejemplo de una interpretación en la que F sea falsa.
Solución:
Ejercicio 6. Sea L un lenguaje de primer orden con dos símbolos de predicado, P (de aridad 1), Q (de aridad 2) y un símbolo de función, f (de aridad 1). Sea I = (U, I) la estructura dada por:
- U = {a, b, c, d} ;
- I(P) = {a, b},
- I(Q) = {(a, b), (b, b), (c, b)},
- I(f) = {(a, b), (b, b), (c, a), (d, c)}.
¿Cuál es el valor de cada una de las siguientes fórmulas en dicha estructura?
- P(x) → ∃yQ(y,x).
- ∀xQ(f(x),x).
- Q(f(x),x) → Q(x,x).
- Q(x,y) → P(x).
Solución:
Ejercicio 7. En el lenguaje con igualdad L = {a,f}, siendo f un símbolo de función de aridad 1 y a una constante, se consideran las siguientes fórmulas:
- F₁ : = ∀x[f(x) ≠ a],
- F₂ : = ∀x∀y[f(x) = f(y) → x = y],
- F₃ : = ∀x[x ≠ a → ∃y[f(y) = x]] .
Probar que ninguna de estas fórmulas es consecuencia lógica de las dos restantes.
Solución:
Ejercicio 8. Dar una fórmula F, tal que todo modelo de F tenga al menos 3 elementos. Generalizarlo a n cualquiera.
Solución: