R11
De Lógica matemática y fundamentos (2017-18)
Relación 11: Resolución en Lógica de primer orden
Ejercicio 1. Se consideran las siguientes fórmulas:
reflexiva: ∀x R(x,x)
simétrica: ∀x ∀y (R(x,y) → R(y,x))
transitiva: ∀x ∀y ∀z (R(x,y) ∧ R(y,z) → R(x,z))
notrivial: ∀x ∃ R(x,y)
- Demostrar que reflexiva no es consecuencia lógica de {transitiva, simétrica}.
- Demostrar por resolución que {transitiva, simétrica, notrivial}⊧ reflexiva.
Solución:
Ejercicio 2. Demostrar, por resolución, que si toda persona rica tiene un padre rico, entonces existe una persona rica que tiene un abuelo rico. Usar la relación R(x) para representar que x es rico, y la función p(x) para representar el padre de x.
Solución:
Ejercicio 3. Se considera la siguiente argumentación: “Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores”.
- Formalizar la argumentación usando los siguientes símbolos: P(x) para representar que x es un estudiante inteligente y Q(x) para representar que x es un estudiante trabajador.
- Decidir, mediante resolución, la validez de la argumentación mostrando una prueba o un contramodelo de Herbrand obtenido a partir de la resolución.
Solución:
Ejercicio 4. Se considera la siguiente argumentación:
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Las premisas pueden formalizarse por:
∀x(E(x) ∧ ¬P(x) → ∃y(A(y) ∧ I(y, x)))
∃x(M(x) ∧ E(x) ∧ ∀y(I(y, x) → M(y)))
∀x(M(x) → ¬P(x))
Decidir mediante resolución si el argumento es correcto.
Solución:
Ejercicio 5. Decidir por resolución si la la fórmula ∃x(P(x, a) ∧ P( f (x), b)) es consecuencia del conjunto de fórmulas
S = { ∀x(P(a, x) → P(b, f (x))), ∀x(P( f (x), x) → (∀zP(z, b))),P(a, f (a)) ∧ P( f (b), b)}.
En el caso de que no lo sea, construir a partir de la resolución un modelo de Herbrand de S que no sea modelo de la fórmula.
Solución: