R2b
De Lógica Matemática y fundamentos (2015-16)
Relación 2b: Sintaxis y semántica de la Lógica proposicional
Ejercicio 1. Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:
- puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
- puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones
hay un tigre.
Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.
Solución:
Ejercicio 2.
Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes afirmaciones:
- Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.
- Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.
- Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.
- Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.
Solución:
Ejercicio 3.
Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.
Solución:
Ejercicio 4.
- Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología
- Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?
Solución: