header {* Tema 3: Razonamiento sobre programas *}
theory T3_Razonamiento_sobre_programas
imports Main
begin
text {*
En este tema se demuestra con Isabelle las propiedades de los
programas funcionales como se expone en el tema 8 del curso
"Informática" que puede leerse en
http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m/temas/tema-8t.pdf
Todas las demostraciones se hacen automáticamente por simplificación e
inducción.
*}
text {* ----------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función
longitud :: 'a list ⇒ nat
tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,
longitud [4,2,5] = 3
------------------------------------------------------------------- *}
fun longitud :: "'a list ⇒ nat" where
"longitud [] = 0"
| "longitud (x#xs) = 1 + longitud xs"
value "longitud [4,2,5]" -- "= 3"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar que
longitud [4,2,5] = 3
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "longitud [4,2,5] = 3"
by simp
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir la función
fun intercambia :: 'a × 'b ⇒ 'b × 'a
tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las
componentes del par p. Por ejemplo,
intercambia (u,v) = (v,u)
------------------------------------------------------------------ *}
fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a" where
"intercambia (x,y) = (y,x)"
value "intercambia (u,v)" -- "= (v,u)"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar que
intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)"
by simp
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Definir, por recursión, la función
inversa :: 'a list ⇒ 'a list
tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los
elementos de xs. Por ejemplo,
inversa [a,d,c] = [c,d,a]
------------------------------------------------------------------ *}
fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where
"inversa [] = []"
| "inversa (x#xs) = inversa xs @ [x]"
value "inversa [a,d,c]" -- "= [c,d,a]"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar que
inversa [x] = [x]
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "inversa [x] = [x]"
by simp
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Definir la función
repite :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (repite n x) es la lista formada por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
repite 3 a = [a,a,a]
------------------------------------------------------------------ *}
fun repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"repite 0 x = []"
| "repite (Suc n) x = x # (repite n x)"
value "repite 3 a" -- "= [a,a,a]"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar que
longitud (repite n x) = n
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "longitud (repite n x) = n"
by (induct n) auto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Definir la función
conc :: 'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list
tal que (conc xs ys) es la concatención de las listas xs e ys. Por
ejemplo,
conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c]
------------------------------------------------------------------ *}
fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
"conc [] ys = ys"
| "conc (x#xs) ys = x # (conc xs ys)"
value "conc [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar que
conc xs (conc ys zs) = (conc xs ys) zs
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs"
by (induct xs) auto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Refutar que
conc xs ys = conc ys xs
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "conc xs ys = conc ys xs"
quickcheck
oops
text {* Encuentra el contraejemplo,
xs = [a\<^isub>2]
ys = [a\<^isub>1] *}
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar que
conc xs [] = xs
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "conc xs [] = xs"
by (induct xs) auto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar que
longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys"
by (induct xs) auto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Definir la función
coge :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list
tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por
ejemplo,
coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c]
------------------------------------------------------------------ *}
fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
"coge n [] = []"
| "coge 0 xs = []"
| "coge (Suc n) (x#xs) = x # (coge n xs)"
value "coge 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c]"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Definir la función
elimina :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list
tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando los n primeros
elementos de xs. Por ejemplo,
elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e]
------------------------------------------------------------------ *}
fun elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
"elimina n [] = []"
| "elimina 0 xs = xs"
| "elimina (Suc n) (x#xs) = elimina n xs"
value "elimina 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [d,b,e]"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar que
conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs"
by (induct rule: coge.induct) auto
text {* coge.induct es el esquema de inducción asociado a la definición
de la función coge.
⟦⋀n. P n [];
⋀x xs. P 0 (x#xs);
⋀n x xs. P n xs ⟹ P (Suc n) (x#xs)⟧
⟹ P n x
Puede verse usando "thm coge.induct". *}
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Definir la función
esVacia :: 'a list ⇒ bool
tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo,
esVacia [] = True
esVacia [1] = False
------------------------------------------------------------------ *}
fun esVacia :: "'a list ⇒ bool" where
"esVacia [] = True"
| "esVacia (x#xs) = False"
value "esVacia []" -- "= True"
value "esVacia [1]" -- "= False"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar que
esVacia xs = esVacia (conc xs xs)
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "esVacia xs = esVacia (conc xs xs)"
by (induct xs) auto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Definir la función
inversaAc :: 'a list ⇒ 'a list
tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando
acumuladores. Por ejemplo,
inversaAc [a,c,b,e] = [e,b,c,a]
------------------------------------------------------------------ *}
fun inversaAcAux :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
"inversaAcAux [] ys = ys"
| "inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)"
fun inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list" where
"inversaAc xs = inversaAcAux xs []"
value "inversaAc [a,c,b,e]" -- "= [e,b,c,a]"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar que
inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys
------------------------------------------------------------------- *}
lemma inversaAcAux_es_inversa:
"inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys"
by (induct xs arbitrary: ys) auto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar que
inversaAc xs = inversa xs
------------------------------------------------------------------- *}
corollary "inversaAc xs = inversa xs"
by (simp add: inversaAcAux_es_inversa)
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Definir la función
sum :: nat list ⇒ nat
tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo,
sum [3,2,5] = 10
------------------------------------------------------------------ *}
fun sum :: "nat list ⇒ nat" where
"sum [] = 0"
| "sum (x#xs) = x + sum xs"
value "sum [3,2,5]" -- "= 10"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Definir la función
map :: ('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list
tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los
elementos de xs. Por ejemplo,
map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10]
------------------------------------------------------------------ *}
fun map :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where
"map f [] = []"
| "map f (x#xs) = (f x) # map f xs"
value "map (λx. 2*x) [3::nat,2,5]" -- "= [6,4,10]"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar que
sum (map (λx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs)
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "sum (map (λx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs)"
by (induct xs) auto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar que
longitud (map f xs) = longitud xs
------------------------------------------------------------------- *}
lemma "longitud (map f xs) = longitud xs"
by (induct xs) auto
section {* Referencias *}
text {*
· J.A. Alonso. "Razonamiento sobre programas" http://goo.gl/R06O3
· G. Hutton. "Programming in Haskell". Cap. 13 "Reasoning about
programms".
· S. Thompson. "Haskell: the Craft of Functional Programming, 3rd
Edition. Cap. 8 "Reasoning about programms".
· L. Paulson. "ML for the Working Programmer, 2nd Edition". Cap. 6.
"Reasoning about functional programs".
*}
end
