header {* Tema 12: Conjuntos, funciones y relaciones *}
theory Tema_12
imports Main
begin
section {* Conjuntos *}
subsection {* Operaciones con conjuntos *}
text {*
Nota. La teoría elemental de conjuntos es HOL/Set.thy.
Nota. En un conjunto todos los elemento son del mismo tipo (por
ejemplo, del tipo τ) y el conjunto tiene tipo (en el ejemplo, "τ set").
Reglas de la intersección:
· IntI: ⟦c ∈ A; c ∈ B⟧ ⟹ c ∈ A ∩ B
· IntD1: c ∈ A ∩ B ⟹ c ∈ A
· IntD2: c ∈ A ∩ B ⟹ c ∈ B
Nota. Propiedades del complementario:
· Compl_iff: (c ∈ - A) = (c ∉ A)
· Compl_Un: - (A ∪ B) = - A ∩ - B
Nota. El conjunto vacío se representa por {} y el universal por UNIV.
Nota. Propiedades de la \textbf{diferencia} y del complementario:
· Diff_disjoint: A ∩ (B - A) = {}
· Compl_partition: A ∪ - A = UNIV
Nota. Reglas de la relación de \textbf{subconjunto}:
· subsetI: (⋀x. x ∈ A ⟹ x ∈ B) ⟹ A ⊆ B
· subsetD: ⟦A ⊆ B; c ∈ A⟧ ⟹ c ∈ B
Nota. Ejemplo trivial.
*}
lemma "(A ∪ B ⊆ C) = (A ⊆ C ∧ B ⊆ C)"
by blast
text {*
Nota. Otro ejemplo trivial.
*}
lemma "(A ⊆ -B) = (B ⊆ -A)"
by blast
text {*
Principio de extensionalidad de conjuntos:
· set_ext: (⋀x. (x ∈ A) = (x ∈ B)) ⟹ A = B
Reglas de la igualdad de conjuntos:
· equalityI: ⟦A ⊆ B; B ⊆ A⟧ ⟹ A = B
· equalityE: ⟦A = B; ⟦A ⊆ B; B ⊆ A⟧ ⟹ P⟧ ⟹ P
Lema. [Analogía entre intersección y conjunción]
"x ∈ A ∩ B" syss "x ∈ A" y "x ∈ B".
*}
lemma "(x ∈ A ∩ B) = (x ∈ A ∧ x ∈ B)"
by simp
text {*
Lema. [Analogía entre unión y disyunción]
"x ∈ A ∪ B" syss "x ∈ A" ó "x ∈ B".
*}
lemma "(x ∈ A ∪ B) = (x ∈ A ∨ x ∈ B)"
by simp
text {*
Lema. [Analogía entre subconjunto e implicación]
"(A ⊆ B)" syss para todo "x", si "x ∈ A" entonces "x ∈ B".
*}
lemma "(A ⊆ B) = (∀ x. x ∈ A ⟶ x ∈ B)"
by auto
text {*
Lema. [Analogía entre complementario y negación]
x pertenece al complementario de A syss x no pertenece a A.
*}
lemma "(x ∈ -A) = (x ∉ A)"
by simp
subsection {* Notación de conjuntos finitos *}
text {*
Nota. La teoría de conjuntos finitos es HOL/Finite_Set.thy.
Nota. Los conjuntos finitos se definen por inducción a partir de las
siguientes reglas inductivas:
· El conjunto vacío es un conjunto finito.
· emptyI: "finite {}"
· Si se le añade un elemento a un conjunto finito se obtiene otro
conjunto finito.
· insertI: "finite A ⟹ finite (insert a A)"
A continuación se muestran ejemplos de conjuntos finitos.
*}
lemma
"insert 2 {} = {2} ∧
insert 3 {2} = {2,3} ∧
insert 2 {2,3} = {2,3} ∧
{2,3} = {3,2,3,2,2}"
by auto
text {*
Nota. Los conjuntos finitos se representan con la notación conjuntista
habitual: los elementos entre llaves y separados por comas.
Nota. Lema trivial.
*}
lemma "{a,b} ∪ {c,d} = {a,b,c,d}"
by blast
text {*
Nota. Conjetura falsa.
*}
lemma "{a,b} ∩ {b,c} = {b}"
refute
oops
text {*
Nota. Conjetura corregida.
*}
lemma "{a,b} ∩ {b,c} = (if a=c then {a,b} else {b})"
by auto
text {*
Sumas y productos de conjuntos finitos:
· (setsum f A) es la suma de la aplicación de f a los elementos del
conjunto finito A,
· (setprod f A) es producto de la aplicación de f a los elementos del
conjunto finito A,
· ∑A es la suma de los elementos del conjunto finito A,
· ∏A es el producto de los elementos del conjunto finito A.
Ejemplos de definiciones recursivas sobre conjuntos finitos:
Sea A un conjunto finito de números naturales.
· sumaConj A es la suma de los elementos A.
· productoConj A es el producto de los elementos de A.
· sumaCuadradosconj A es la suma de los cuadrados de los elementos A.
*}
definition sumaConj :: "nat set ⇒ nat" where
"sumaConj S ≡ ∑S"
definition productoConj :: "nat set ⇒ nat" where
"productoConj S ≡ ∏S"
definition sumaCuadradosConj :: "nat set ⇒ nat" where
"sumaCuadradosConj S ≡ setsum (λx. x*x) S"
text {*
Nota. Para simplificar lo que sigue, declaramos las anteriores
definiciones como reglas de simplificación.
*}
declare sumaConj_def[simp]
declare productoConj_def[simp]
declare sumaCuadradosConj_def[simp]
text {*
Ejemplos de evaluación de las anteriores definiciones recursivas.
*}
lemma
"sumaConj {1,2,3,4} = 10 ∧
productoConj {1,2,3} = productoConj {3,2} ∧
sumaCuadradosConj {1,2,3,4} = 30"
by simp
text {*
Inducción sobre conjuntos finitos: Para demostrar que todos los
conjuntos finitos tienen una propiedad P basta probar que
· El conjunto vacío tiene la propiedad P.
· Si a un conjunto finito que tiene la propiedad P se le añade un nuevo
elemento, el conjunto obtenido sigue teniendo la propiedad P.
En forma de regla
· finite_induct: ⟦finite F;
P {};
⋀x F. ⟦finite F; x ∉ F; P F⟧ ⟹ P ({x} ∪ F)⟧
⟹ P F
Lema. [Ejemplo de inducción sobre conjuntos finitos]
Sea S un conjunto finito de números naturales. Entonces todos los
elementos de S son menores o iguales que la suma de los elementos de S.
Demostración automática:
*}
lemma "finite S ⟹ ∀x∈S. x ≤ sumaConj S"
by (induct rule: finite_induct) auto
text {*
Demostración estructurada:
*}
lemma sumaConj_acota: "finite S ⟹ ∀x∈S. x ≤ sumaConj S"
proof (induct rule: finite_induct)
show "∀x∈{}. x ≤ sumaConj {}" by simp
next
fix x and F
assume fF: "finite F"
and xF: "x ∉ F"
and HI: "∀ x∈F. x ≤ sumaConj F"
show "∀y∈insert x F. y ≤ sumaConj (insert x F)"
proof
fix y
assume "y ∈ insert x F"
show "y ≤ sumaConj (insert x F)"
proof (cases "y = x")
assume "y = x"
hence "y ≤ x + (sumaConj F)" by simp
also have "… = sumaConj (insert x F)" using fF xF by simp
finally show ?thesis .
next
assume "y ≠ x"
hence "y ∈ F" using `y ∈ insert x F` by simp
hence "y ≤ sumaConj F" using HI by blast
also have "… ≤ x + (sumaConj F)" by simp
also have "… = sumaConj (insert x F)" using fF xF by simp
finally show ?thesis .
qed
qed
qed
subsection {* Definiciones por comprensión *}
text {*
El conjunto de los elementos que cumple la propiedad P se representa
por {x. P}.
Reglas de comprensión (relación entre colección y pertenencia):
· mem_Collect_eq: (a ∈ {x. P x}) = P a
· Collect_mem_eq: {x. x ∈ A} = A
Dos lemas triviales.
*}
lemma "{x. P x ∨ x ∈ A} = {x. P x} ∪ A"
by blast
lemma "{x. P x ⟶ Q x} = -{x. P x} ∪ {x. Q x}"
by blast
text {*
Nota. Ejemplo con la sintaxis general de comprensión.
*}
lemma
"{p*q | p q. p ∈ prime ∧ q ∈ prime} =
{z. ∃p q. z = p*q ∧ p ∈ prime ∧ q ∈ prime}"
by blast
text {*
En HOL, la notación conjuntista es azúcar sintáctica:
· x ∈ A es equivalente a A(x).
· {x. P} es equivalente a λx. P.
*}
text {*
Definición. [Ejemplo de definición por comprensión]
El conjunto de los pares es el de los números n para los que existe un
m tal que n = 2*m.
*}
definition Pares :: "nat set" where
"Pares ≡ {n. ∃ m. n = 2*m }"
text {*
Ejemplo. Los números 2 y 34 son pares.
*}
lemma
"2 ∈ Pares ∧
34 ∈ Pares"
by (simp add: Pares_def)
text {*
Definición. El conjunto de los impares es el de los números n para los
que existe un m tal que n = 2*m + 1.
*}
definition Impares :: "nat set" where
"Impares ≡ {n. ∃ m. n = 2*m + 1 }"
text {*
Lema. [Ejemplo con las reglas de intersección y comprensión]
El conjunto de los pares es disjunto con el de los impares.
*}
lemma "x ∉ (Pares ∩ Impares)"
proof
fix x assume S: "x ∈ (Pares ∩ Impares)"
hence "x ∈ Pares" by (rule IntD1)
hence "∃ m. x = 2 * m" by (simp only: Pares_def mem_Collect_eq)
then obtain p where p: "x = 2 * p" ..
from S have "x ∈ Impares" by (rule IntD2)
hence "∃ m. x = 2 * m + 1" by (simp only: Impares_def mem_Collect_eq)
then obtain q where q: "x = 2 * q + 1" ..
from p and q show "False" by arith
qed
subsection {* Cuantificadores acotados *}
text {*
Reglas de cuantificador universal acotado ("bounded"):
· ballI: (⋀x. x ∈ A ⟹ P x) ⟹ ∀x∈A. P x
· bspec: ⟦∀x∈A. P x; x ∈ A⟧ ⟹ P x
Reglas de cuantificador existencial acotado ("bounded"):
· bexI: ⟦P x; x ∈ A⟧ ⟹ ∃x∈A. P x
· bexE: ⟦∃x∈A. P x; ⋀x. ⟦x ∈ A; P x⟧ ⟹ Q⟧ ⟹ Q
Reglas de la unión indexada:
· UN_iff: (b ∈ (⋃x∈A. B x)) = (∃x∈A. b ∈ B x)
· UN_I: ⟦a ∈ A; b ∈ B a⟧ ⟹ b ∈ (⋃x∈A. B x)
· UN_E: ⟦b ∈ (⋃x∈A. B x); ⋀x. ⟦x ∈ A; b ∈ B x⟧ ⟹ R⟧ ⟹ R
Reglas de la unión de una familia:
· Union_def: ⋃S = (⋃x∈S. x)
· Union_iff: (A ∈ ⋃C) = (∃X∈C. A ∈ X)
Reglas de la intersección indexada:
· INT_iff: (b ∈ (⋂x∈A. B x)) = (∀x∈A. b ∈ B x)
· INT_I: (⋀x. x ∈ A ⟹ b ∈ B x) ⟹ b ∈ (⋂x∈A. B x)
· INT_E: ⟦b ∈ (⋂x∈A. B x); b ∈ B a ⟹ R; a ∉ A ⟹ R⟧ ⟹ R
Reglas de la intersección de una familia:
· Inter_def: ⋂S = (⋂x∈S. x)
· Inter_iff: (A ∈ ⋂C) = (∀X∈C. A ∈ X)
Abreviaturas:
· "Collect P" es lo mismo que "{x. P}".
· "All P" es lo mismo que "∀x. P x".
· "Ex P" es lo mismo que "∃x. P x".
· "Ball P" es lo mismo que "∀x∈A. P x".
· "Bex P" es lo mismo que "∃x∈A. P x".
*}
subsection {* Conjuntos finitos y cardinalidad *}
text {*
El número de elementos de un conjunto finito A es el cardinal de A y se
representa por "card A".
Ejemplos de cardinales de conjuntos finitos.
*}
lemma
"card {} = 0 ∧
card {4} = 1 ∧
card {4,1} = 2 ∧
x ≠ y ⟹ card {x,y} = 2"
by simp
text {*
Propiedades de cardinales:
· Cardinal de la unión de conjuntos finitos:
card_Un_Int: ⟦finite A; finite B⟧
⟹ card A + card B = card (A ∪ B) + card (A ∩ B)"
· Cardinal del conjunto potencia:
card_Pow: finite A ⟹ card (Pow A) = 2 ^ card A
*}
section {* Funciones *}
text {*
La teoría de funciones es HOL/Fun.thy.
*}
subsection {* Nociones básicas de funciones *}
text {*
Principio de extensionalidad para funciones:
· ext: (⋀x. f x = g x) ⟹ f = g
Actualización de funciones
· fun_upd_apply: (f(x := y)) z = (if z = x then y else f z)
· fun_upd_upd: f(x := y, x := z) = f(x := z)
Función identidad
· id_def: id ≡ λx. x
Composición de funciones:
· o_def: f ∘ g = (λx. f (g x))
Asociatividad de la composición:
· o_assoc: f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h
*}
subsection {* Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas *}
text {*
Función inyectiva sobre A:
· inj_on_def: inj_on f A ≡ ∀x∈A. ∀y∈A. f x = f y ⟶ x = y
Nota. "inj f" es una abreviatura de "inj_on f UNIV".
Función suprayectiva:
· surj_def: surj f ≡ ∀y. ∃x. y = f x
Función biyectiva:
· bij_def: bij f ≡ inj f ∧ surj f
Propiedades de las funciones inversas:
· inv_f_f: inj f ⟹ inv f (f x) = x
· surj_f_inv_f: surj f ⟹ f (inv f y) = y
· inv_inv_eq: bij f ⟹ inv (inv f) = f
Igualdad de funciones (por extensionalidad):
· fun_eq_iff: (f = g) = (∀x. f x = g x)
Lema. Una función inyectiva puede cancelarse en el lado izquierdo de
la composición de funciones.
*}
lemma
assumes "inj f"
shows "(f ∘ g = f ∘ h) = (g = h)"
proof
assume "f ∘ g = f ∘ h"
thus "g = h" using `inj f` by (simp add:fun_eq_iff inj_on_def)
next
assume "g = h"
thus "f ∘ g = f ∘ h" by auto
qed
text {*
Una demostración más detallada es la siguiente
*}
lemma
assumes "inj f"
shows "(f ∘ g = f ∘ h) = (g = h)"
proof
assume "f ∘ g = f ∘ h"
show "g = h"
proof
fix x
have "(f ∘ g)(x) = (f ∘ h)(x)" using `f ∘ g = f ∘ h` by simp
hence "f(g(x)) = f(h(x))" by simp
thus "g(x) = h(x)" using `inj f` by (simp add:inj_on_def)
qed
next
assume "g = h"
show "f ∘ g = f ∘ h"
proof
fix x
have "(f ∘ g) x = f(g(x))" by simp
also have "… = f(h(x))" using `g = h` by simp
also have "… = (f ∘ h) x" by simp
finally show "(f ∘ g) x = (f ∘ h) x" by simp
qed
qed
subsubsection {* Función imagen *}
text {*
Imagen de un conjunto mediante una función:
· image_def: f ` A = {y. (∃x∈A. y = f x)
Propiedades de la imagen:
· image_compose: (f ∘ g)`r = f`g`r
· image_Un: f`(A ∪ B) = f`A ∪ f`B
· image_Int: inj f ⟹ f`(A ∩ B) = f`A ∩ f`B"
Ejemplos de demostraciones triviales de propiedades de la imagen.
*}
lemma "f`A ∪ g`A = (⋃x∈A. {f x, g x})"
by auto
lemma "f`{(x,y). P x y} = {f(x,y) | x y. P x y}"
by auto
text {*
El rango de una función ("range f") es la imagen del universo ("f`UNIV").
Imagen inversa de un conjunto:
· vimage_def: f -` B ≡ {x. f x : B}
Propiedad de la imagen inversa de un conjunto:
· vimage_Compl: f -` (-A) = -(f -` A)
*}
section {* Relaciones *}
subsection {* Relaciones básicas *}
text {*
La teoría de relaciones es HOL/Relation.thy.
Las relaciones son conjuntos de pares.
Relación identidad:
· Id_def: Id ≡ {p. ∃x. p = (x,x)}
Composición de relaciones:
· rel_comp_def: r O s ≡ {(x,z). EX y. (x, y) ∈ r & (y, z) ∈ s}
Propiedades:
· R_O_Id: R O Id = R
· rel_comp_mono: ⟦r' ⊆ r; s' ⊆ s⟧ ⟹ (r' O s') ⊆ (r O s)
Imagen inversa de una relación:
· converse_iff: ((a,b) ∈ r\<^bsup>\<^sup>-1\<^esup>) = ((b,a) ∈ r)
Propiedad de la imagen inversa de una relación:
· converse_rel_comp: (r O s)\<^bsup>-1\<^esup> = s\<^bsup>-1\<^esup> O r\<^bsup>-1\<^esup>
Imagen de un conjunto mediante una relación:
· Image_iff: (b ∈ r``A) = (∃x:A. (x, b) ∈ r)
Dominio de una relación:
· Domain_iff: (a ∈ Domain r) = (∃y. (a, y) ∈ r)
Rango de una relación:
· Range_iff: (a ∈ Range r) = (∃y. (y,a) ∈ r)
*}
subsection {* Clausura reflexiva y transitiva *}
text {*
La teoría de la clausura reflexiva y transitiva de una relación es
HOL/Transitive_Closure.thy.
Potencias de relaciones:
· R ^^ 0 = Id
· R ^^ (Suc n) = (R ^^ n) O R
La clausura reflexiva y transitiva de la relación r es la menor
solución de la ecuación:
· rtrancl_unfold: r\<^sup>* = Id ∪ (r\<^sup>* O r)
Propiedades básicas de la clausura reflexiva y transitiva:
· rtrancl_refl: (a, a) ∈ r\<^sup>*
· r_into_rtrancl: p ∈ r ⟹ p ∈ r\<^sup>*
· rtrancl_trans: ⟦(a, b) ∈ r\<^sup>*; (b, c) ∈ r\<^sup>*⟧ ⟹ (a, c) ∈ r\<^sup>*
Inducción sobre la clausura reflexiva y transitiva
· rtrancl_induct: ⟦(a,b) ∈ r\<^sup>*;
P b;
⋀y z. ⟦(y, z) ∈ r; (z, b) ∈ r\<^sup>*; P z⟧ ⟹ P y⟧
⟹ P a"}
Idempotencia de la clausura reflexiva y transitiva:
· rtrancl_idemp: (r\<^sup>* )\<^sup>* = r\<^sup>*
Reglas de introducción de la clausura transitiva:
· r_into_trancl': p ∈ r ⟹ p ∈ r\<^sup>+
· trancl_trans: ⟦(a, b) ∈ r\<^sup>+; (b, c) ∈ r\<^sup>+⟧ ⟹ (a, c) ∈ r\<^sup>+
Ejemplo de propiedad:
· trancl\_converse: (r¯¹)\<^sup>+ = (r\<^sup>+)¯¹
*}
subsection {* Una demostración elemental *}
text {*
El teorema que se desea demostrar es que la clausura reflexiva y
transitiva conmuta con la inversa (rtrancl_converse). Para
demostrarlo introducimos dos lemas auxiliares: rtrancl_converseD y
rtrancl_converseI.
*}
lemma rtrancl_converseD: "(x,y) ∈ (r¯¹)\<^sup>* ⟹ (y,x) ∈ r\<^sup>*"
proof (induct rule:rtrancl_induct)
show "(x,x) ∈ r\<^sup>*" by (rule rtrancl_refl)
next
fix y z
assume "(x,y) ∈ (r¯¹)\<^sup>*" and "(y,z) ∈ r¯¹" and "(y,x) ∈ r\<^sup>*"
show "(z,x) ∈ r\<^sup>*"
proof (rule rtrancl_trans)
show "(z,y) ∈ r\<^sup>*" using `(y,z) ∈ r¯¹` by simp
next
show "(y,x) ∈ r\<^sup>*" using `(y,x) ∈ r\<^sup>*` by simp
qed
qed
lemma rtrancl_converseI: "(y,x) ∈ r\<^sup>* ⟹ (x,y) ∈ (r¯¹)\<^sup>*"
proof (induct rule:rtrancl_induct)
show "(y,y) ∈ (r¯¹)\<^sup>*" by (rule rtrancl_refl)
next
fix u z
assume "(y,u) ∈ r\<^sup>*" and "(u,z) ∈ r" and "(u,y) ∈ (r¯¹)\<^sup>*"
show "(z,y) ∈ (r¯¹)\<^sup>*"
proof (rule rtrancl_trans)
show "(z,u) ∈ (r¯¹)\<^sup>*" using `(u,z) ∈ r` by auto
next
show "(u,y) ∈ (r¯¹)\<^sup>*" using `(u,y) ∈ (r¯¹)\<^sup>*` by simp
qed
qed
theorem rtrancl_converse: "(r¯¹)\<^sup>* = (r\<^sup>*)¯¹"
proof
show "(r¯¹)\<^sup>* ⊆ (r\<^sup>*)¯¹" by (auto simp add:rtrancl_converseD)
next
show "(r\<^sup>*)¯¹ ⊆ (r¯¹)\<^sup>*" by (auto simp add:rtrancl_converseI)
qed
text {*
Puede demostrarse de manera más corta como sigue:
*}
theorem "(r¯¹)\<^sup>* = (r\<^sup>*)¯¹"
by (auto intro: rtrancl_converseI dest: rtrancl_converseD)
section {* Relaciones bien fundamentadas e inducción *}
text {*
La teoría de las relaciones bien fundamentadas es
HOL/Wellfounded_Relations.thy.
La relación-objeto "less_than" es el orden de los naturales que es
bien fundamentada:
· less_than_iff: ((x,y) ∈ less_than) = (x < y)
· wf_less_than: wf less_than
Notas sobre medidas:
· Imagen inversa de una relación mediante una función:
· inv_image_def: inv_image r f ≡ {(x,y). (f x,f y) ∈ r
· Conservación de la buena fundamentación:\\
· wf_inv_image: wf r ⟹ wf (inv_image r f)
· Definición de la \textbf{medida}:\\
· measure_def: measure ≡ inv_image less_than
· Buena fundamentación de la medida:\\
· wf_measure: wf (measure f)
*}
text {*
Notas sobre el producto lexicográfico:
· Definición del producto lexicográfico (lex_prod_def)":
ra <*lex*> rb ≡ {((a,b),(a',b')). (a,a') ∈ ra ∨
(a = a' ∧ (b,b') ∈ rb)}
· Conservación de la buena fundamentación:
· wf_lex_prod: ⟦wf ra; wf rb⟧ ⟹ wf (ra <*lex*> rb)
El orden de multiconjuntos está en la teoría HOL/Library/Multiset.thy.
Inducción sobre relaciones bien fundamentadas:
· wf_induct: ⟦wf r; ⋀x. (⋀y. (y,x) ∈ r ⟹ P y) ⟹ P x⟧ ⟹ P a
*}
end