{"id":922,"date":"2010-12-07T13:45:27","date_gmt":"2010-12-07T13:45:27","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/?p=922"},"modified":"2013-03-08T05:50:06","modified_gmt":"2013-03-08T05:50:06","slug":"problema-sobre-numeros-naturales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/problema-sobre-numeros-naturales\/","title":{"rendered":"Problema sobre n\u00fameros naturales"},"content":{"rendered":"

El enunciado del problema de Gaussianos de hoy<\/a> es el siguiente:<\/p>\n

\nSea \"n>1\" un n\u00famero natural. Si denotamos como \"\lfloor a la parte entera del n\u00famero real \"k\" (es decir, el mayor n\u00famero entero menor o igual que \"k\"), demostrar que existe un \u00fanico natural \"\"x < n^2[\/latex] tal que [latex] \\lfloor n^2\/x+1 \\rfloor[\/latex] es divisible por [latex]n[\/latex]. Indicar tambi\u00e9n el valor de [latex]x[\/latex].\n<\/p><\/blockquote>\n

El problema ha servido de base para la siguiente relaci\u00f3n de ejercicios, para el curso de Inform\u00e1tica de 1\u00ba del Grado en Matem\u00e1ticas<\/a>, en la que se conjetura la respuesta con Haskell y se comprueba con QuickCheck.
\n<\/p>\n

\r\nimport Test.QuickCheck\r\n\r\n-- --------------------------------------------------------------------\r\n-- Ejercicio 1. Definir la funci\u00f3n\r\n--    soluciones :: Integer -> [Integer]\r\n-- tal que (soluciones n) es la lista de los n\u00fameros naturales x < n^2 \r\n-- tales que la parte entera de n^2\/x+1 es divisible por n. Por ejemplo,\r\n--    soluciones 3  ==  [4]\r\n-- --------------------------------------------------------------------\r\n\r\nsoluciones :: Integer -> [Integer]\r\nsoluciones n = \r\n    [x | x <- [1..n^2-1], \r\n         mod (floor ((fromIntegral n)^2\/(fromIntegral x)+1)) n == 0]\r\n\r\n-- --------------------------------------------------------------------\r\n-- Ejercicio 2. Definir la funci\u00f3n\r\n--    solucionesEntre :: Integer -> Integer -> [(Integer,[Integer])]\r\n-- tal que (soluciones n m) es la lista de los pares de los n\u00fameros x \r\n-- entre n y m y la lista de las soluciones de x. Por ejemplo,\r\n--    solucionesEntre 2 5  ==  [(2,[3]),(3,[4]),(4,[5]),(5,[6])]\r\n-- --------------------------------------------------------------------\r\n\r\nsolucionesEntre :: Integer -> Integer -> [(Integer,[Integer])]\r\nsolucionesEntre n m = [(x,soluciones x) | x <- [n..m]]\r\n\r\n-- --------------------------------------------------------------------\r\n-- Ejercicio 3. Calcular (solucionesEntre 10 20) y conjeturar el valor \r\n-- de (soluciones n).\r\n-- --------------------------------------------------------------------\r\n\r\n-- El c\u00e1lculo es\r\n--    Main> solucionesEntre 10 20\r\n--    [(10,[11]),(11,[12]),(12,[13]),(13,[14]),(14,[15]),(15,[16]),\r\n--     (16,[17]),(17,[18]),(18,[19]),(19,[20]),(20,[21])]\r\n\r\n-- A la vista del c\u00e1lculo anterior, (soluciones n) es [n+1].\r\n\r\n-- --------------------------------------------------------------------\r\n-- Ejercicio 4. Comprobar con QuickCheck la conjetura anterior.\r\n-- --------------------------------------------------------------------\r\n \r\n-- La propiedad es\r\nprop_soluciones :: Integer -> Property\r\nprop_soluciones n =\r\n    n > 1 ==> soluciones n == [n+1]\r\n          \r\n-- La comprobaci\u00f3n es\r\n--    Main> quickCheck prop_soluciones\r\n--    OK, passed 100 tests.\r\n<\/pre>\n
El problema tambi\u00e9n sirve como ejercicio de demostraci\u00f3n con Isabelle en la asignatura de Razonamiento autom\u00e1tico<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
El enunciado del problema de Gaussianos de hoy es el siguiente: Sea un n\u00famero natural. Si denotamos como a la parte entera del n\u00famero real (es decir, el mayor n\u00famero entero menor o igual que ), demostrar que existe un \u00fanico natural x < n^2[\/latex] tal que [latex] \\lfloor n^2\/x+1 \\rfloor[\/latex] es divisible por [latex]n[\/latex]....\n<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[5],"tags":[154,270,79,126],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":false,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/922"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=922"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/922\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2969,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/922\/revisions\/2969"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=922"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=922"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=922"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}