{"id":8056,"date":"2023-12-02T07:00:26","date_gmt":"2023-12-02T06:00:26","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/?p=8056"},"modified":"2023-12-12T11:23:23","modified_gmt":"2023-12-12T10:23:23","slug":"02-dic-23","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/02-dic-23\/","title":{"rendered":"La semana en Calculemus (2 de diciembre de 2023)"},"content":{"rendered":"\n<p>Esta semana he publicado en <a href=\"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/\">Calculemus<\/a> las demostraciones con Lean4 de las siguientes propiedades:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#ej1\">1. Si \u00ac(\u2203x)P(x), entonces (\u2200x)\u00acP(x)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej2\">2. Si (\u2200x)\u00acP(x), entonces \u00ac(\u2203x)P(x)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej3\">3. Si \u00ac(\u2200x)P(x), entonces (\u2203x)\u00acP(x)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej4\">4. Si (\u2203x)\u00acP(x), entonces \u00ac(\u2200x)P(x)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej5\">5. \u00ac\u00acP \u2192 P<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>A continuaci\u00f3n se muestran las soluciones.<br \/>\n<!--more--><br \/>\n<a name=\"ej1\"><\/a><\/p>\n<h3>1. Si \u00ac(\u2203x)P(x), entonces (\u2200x)\u00acP(x)<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que si &#92;(\u00ac(\u2203x)P(x)&#92;), entonces &#92;((\u2200x)\u00acP(x)&#92;).<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (P : \u03b1 \u2192 Prop)\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2203 x, P x)\n  : \u2200 x, \u00ac P x :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Sea &#92;(y&#92;) un elemento cualquiera. Tenemos que demostrar &#92;(\u00acP(y)&#92;). Para ello, supongamos que &#92;(P(y)&#92;). Entonces, &#92;((\u2203x)P(x)&#92;) que es una contradicci\u00f3n con la hip\u00f3tesis,<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (P : \u03b1 \u2192 Prop)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2203 x, P x)\n  : \u2200 x, \u00ac P x :=\nby\n  intros y h1\n  -- y : \u03b1\n  -- h1 : P x\n  -- \u22a2 False\n  apply h\n  -- \u22a2 \u2203 x, P x\n  existsi y\n  -- \u22a2 P y\n  exact h1\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2203 x, P x)\n  : \u2200 x, \u00ac P x :=\nby\n  intros y h1\n  -- y : \u03b1\n  -- h1 : P x\n  -- \u22a2 False\n  apply h\n  -- \u22a2 \u2203 x, P x\n  use y\n  -- \u22a2 P y\n  exact h1\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2203 x, P x)\n  : \u2200 x, \u00ac P x :=\nby\n  intros y h1\n  -- y : \u03b1\n  -- h1 : P x\n  -- \u22a2 False\n  apply h\n  -- \u22a2 \u2203 x, P x\n  exact \u27e8y, h1\u27e9\n\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2203 x, P x)\n  : \u2200 x, \u00ac P x :=\nby\n  intros y h1\n  -- y : \u03b1\n  -- h1 : P x\n  -- \u22a2 False\n  exact h \u27e8y, h1\u27e9\n\n-- 5\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2203 x, P x)\n  : \u2200 x, \u00ac P x :=\nfun y h1 \u21a6 h \u27e8y, h1\u27e9\n\n-- 6\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2203 x, P x)\n  : \u2200 x, \u00ac P x :=\nby\n  push_neg at h\n  exact h\n\n-- 7\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2203 x, P x)\n  : \u2200 x, \u00ac P x :=\nnot_exists.mp h\n\n-- 8\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2203 x, P x)\n  : \u2200 x, \u00ac P x :=\nby aesop\n\n-- Lemas usados\n-- ============\n\n-- #check (not_exists : (\u00ac\u2203 x, P x) \u2194 \u2200 (x : \u03b1), \u00acP x)\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/Para_todo_no_de_no_existe.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 33.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej2\"><\/a><\/p>\n<h3>2. Si (\u2200x)\u00acP(x), entonces \u00ac(\u2203x)P(x)<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que si &#92;((\u2200x)\u00acP(x)&#92;), entonces &#92;(\u00ac(\u2203x)P(x)&#92;).<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (P : \u03b1 \u2192 Prop)\n\nexample\n  (h : \u2200 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2203 x, P x :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Supongamos que &#92;((\u2203x)P(x)&#92;). Sea &#92;(y&#92;) tal que &#92;(P(y)&#92;). Puesto que &#92;((\u2200x)\u00acP(x)&#92;), se tiene que &#92;(\u00acP(y)&#92;) que es una contradicci\u00f3n con &#92;(P(y)&#92;).<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (P : \u03b1 \u2192 Prop)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2200 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2203 x, P x :=\nby\n  intro h1\n  -- h1 : \u2203 x, P x\n  -- \u22a2 False\n  rcases h1 with \u27e8y, hy : P y\u27e9\n  have h2 : \u00acP y := h y\n  exact h2 hy\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2200 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2203 x, P x :=\nby\n  intro h1\n  -- h1 : \u2203 x, P x\n  -- \u22a2 False\n  rcases h1 with \u27e8y, hy : P y\u27e9\n  exact (h y) hy\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2200 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2203 x, P x :=\nby\n  rintro \u27e8y, hy : P y\u27e9\n  exact (h y) hy\n\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2200 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2203 x, P x :=\nfun \u27e8y, hy\u27e9 \u21a6 (h y) hy\n\n-- 5\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2200 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2203 x, P x :=\nnot_exists_of_forall_not h\n\n-- 6\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2200 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2203 x, P x :=\nby aesop\n\n-- Lemas usados\n-- ============\n\n-- variable (q : Prop)\n-- #check (not_exists_of_forall_not : (\u2200 x, P x \u2192 q) \u2192 (\u2203 x, P x) \u2192 q)\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/No_existe_de_para_todo_no.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 33.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej3\"><\/a><\/p>\n<h3>3. Si \u00ac(\u2200x)P(x), entonces (\u2203x)\u00acP(x)<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que si &#92;(\u00ac(\u2200x)P(x)&#92;), entonces &#92;((\u2203x)\u00acP(x)&#92;).<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (P : \u03b1 \u2192 Prop)\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2200 x, P x)\n  : \u2203 x, \u00ac P x :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Por reducci\u00f3n al absurdo, supongamos que &#92;(\u00ac(\u2203x)\u00acP(x)&#92;). Para obtener  contradicci\u00f3n, demostraremos la negaci\u00f3n de la hip\u00f3tesis; es  que &#92;((\u2200x)P(x)&#92;). Para ello, sea &#92;(y&#92;) un elemento cualquiera y tenemos que demostrar &#92;(P(y)&#92;). De nuevo, lo haremos por reducci\u00f3n al absurdo: Para ello, supongamos que &#92;(\u00acP(y)&#92;). Entonces, se tiene que &#92;((\u2203x)\u00acP(x)&#92;) en contradicci\u00f3n con nuestro primer supuesto de &#92;(\u00ac(\u2203x)\u00acP(x)&#92;).<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (P : \u03b1 \u2192 Prop)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2200 x, P x)\n  : \u2203 x, \u00ac P x :=\nby\n  by_contra h1\n  -- h1 : \u00ac\u2203 x, \u00acP x\n  -- \u22a2 False\n  apply h\n  -- \u22a2 \u2200 (x : \u03b1), P x\n  intro y\n  -- y : \u03b1\n  -- \u22a2 P y\n  show P y\n  by_contra h2\n  -- h2 : \u00acP y\n  -- \u22a2 False\n  exact h1 \u27e8y, h2\u27e9\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2200 x, P x)\n  : \u2203 x, \u00ac P x :=\nnot_forall.mp h\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac \u2200 x, P x)\n  : \u2203 x, \u00ac P x :=\nby aesop\n\n-- Lemas usados\n-- ============\n\n-- #check (not_forall : (\u00ac\u2200 x, P x) \u2194 \u2203 x, \u00acP x)\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/Existe_no_de_no_para_todo.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 33.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej4\"><\/a><\/p>\n<h3>4. Si (\u2203x)\u00acP(x), entonces \u00ac(\u2200x)P(x)<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que si &#92;((\u2203x)\u00acP(x)&#92;), entonces &#92;(\u00ac(\u2200x)P(x)&#92;).<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (P : \u03b1 \u2192 Prop)\n\nexample\n  (h : \u2203 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2200 x, P x :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Supongamos que &#92;((\u2200x)P(x)&#92;) y tenemos que demostrar  contradicci\u00f3n. Por hip\u00f3tesis, &#92;((\u2203x)\u00acP(x)&#92;). Sea &#92;(y&#92;) tal que &#92;(\u00acP(y)&#92;). Entonces, como &#92;((\u2200x)P(x)&#92;), se tiene &#92;(P(y)&#92;) que es una contradicci\u00f3n con &#92;(\u00acP(y)&#92;).<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (P : \u03b1 \u2192 Prop)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2203 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2200 x, P x :=\nby\n  intro h1\n  -- h1 : \u2200 (x : \u03b1), P x\n  -- \u22a2 False\n  cases' h with y hy\n  -- y : \u03b1\n  -- hy : \u00acP y\n  apply hy\n  -- \u22a2 P y\n  exact (h1 y)\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2203 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2200 x, P x :=\nby\n  intro h1\n  -- h1 : \u2200 (x : \u03b1), P x\n  -- \u22a2 False\n  rcases h with \u27e8y, hy : \u00acP y\u27e9\n  apply hy\n  -- \u22a2 P y\n  exact (h1 y)\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2203 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2200 x, P x :=\nby\n  intro h1\n  -- h1 : \u2200 (x : \u03b1), P x\n  -- \u22a2 False\n  rcases h with \u27e8y, hy : \u00acP y\u27e9\n  exact hy (h1 y)\n\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2203 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2200 x, P x :=\nnot_forall.mpr h\n\n-- 5\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2203 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2200 x, P x :=\nnot_forall_of_exists_not h\n\n-- 6\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2203 x, \u00ac P x)\n  : \u00ac \u2200 x, P x :=\nby aesop\n\n-- Lemas usados\n-- ============\n\n-- #check (not_forall : (\u00ac\u2200 x, P x) \u2194 \u2203 x, \u00acP x)\n-- #check (not_forall_of_exists_not : (\u2203 x, \u00acP x) \u2192 \u00ac\u2200 x, P x)\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/No_para_todo_de_existe_no.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 33.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej5\"><\/a><\/p>\n<h3>5. \u00ac\u00acP \u2192 P<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que &#92;(\u00ac\u00acP \u2192 P&#92;).<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\nvariable (P : Prop)\n\nexample\n  (h : \u00ac\u00acP)\n  : P :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Por reducci\u00f3n al absurdo. Supongamos &#92;(\u00acP&#92;). Entonces, tenemos una contradicci\u00f3n con la hip\u00f3tesis (&#92;(\u00ac\u00acP&#92;)).<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\nvariable (P : Prop)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac\u00acP)\n  : P :=\nby\n  by_contra h1\n  -- h1 : \u00acP\n  -- \u22a2 False\n  exact (h h1)\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac\u00acP)\n  : P :=\nby_contra (fun h1 \u21a6 h h1)\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac\u00acP)\n  : P :=\n-- not_not.mp h\nof_not_not h\n\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u00ac\u00acP)\n  : P :=\nby tauto\n\n-- Lemas usados\n-- ============\n\n-- #check (of_not_not : \u00ac\u00acP \u2192 P)\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/Eliminacion_doble_negacion.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 33.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean4 de las siguientes propiedades: 1. Si \u00ac(\u2203x)P(x), entonces (\u2200x)\u00acP(x) 2. Si (\u2200x)\u00acP(x), entonces \u00ac(\u2203x)P(x) 3. Si \u00ac(\u2200x)P(x), entonces (\u2203x)\u00acP(x) 4. Si (\u2203x)\u00acP(x), entonces \u00ac(\u2200x)P(x) 5. \u00ac\u00acP \u2192 P A continuaci\u00f3n se muestran las soluciones.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[335],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":false,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8056"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8056"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8056\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8057,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8056\/revisions\/8057"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8056"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8056"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8056"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}