{"id":8053,"date":"2023-11-25T12:32:26","date_gmt":"2023-11-25T11:32:26","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/?p=8053"},"modified":"2023-11-25T12:32:37","modified_gmt":"2023-11-25T11:32:37","slug":"25-nov-23","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/25-nov-23\/","title":{"rendered":"La semana en Calculemus (25 de noviembre de 2023)"},"content":{"rendered":"<p><br \/>\nEsta semana he publicado en <a href=\"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/\">Calculemus<\/a> las demostraciones con Lean4 de las siguientes propiedades:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#ej1\">1. La funci\u00f3n identidad no est\u00e1 acotada superiormente<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej2\">2. Si f es mon\u00f3tona y f(a) &lt; f(b), entonces a &lt; b<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej3\">3. Si a, b \u2208 \u211d tales que a \u2264 b y f(b) &lt; f(a), entonces f no es mon\u00f3tona<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej4\">4. No para toda f : \u211d \u2192 \u211d mon\u00f3tona, (\u2200a,b)(f(a) \u2264 f(b) \u2192 a \u2264 b)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej5\">5. Si (\u2200\u03b5 > 0)(x \u2264 \u03b5), entonces x \u2264 0<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>A continuaci\u00f3n se muestran las soluciones.<br \/>\n<!--more--><br \/>\n<a name=\"ej1\"><\/a><\/p>\n<h3>1. La funci\u00f3n identidad no est\u00e1 acotada superiormente<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que la funci\u00f3n identidad no est\u00e1 acotada superiormente.<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport src.Funcion_no_acotada_superiormente\n\nexample : \u00ac acotadaSup (fun x \u21a6 x) :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Usando el lema de ejercicio anterior (que afirma que si para cada &#92;(a&#92;), existe un &#92;(x&#92;) tal que &#92;(f(x) > a&#92;), entonces &#92;(f&#92;) no tiene cota superior) basta demostrar que<br \/>\n&#92;[ (\u2200a \u2208 \u211d)(\u2203x \u2208 \u211d) [x > a] &#92;]<br \/>\nSea &#92;(a \u2208 \u211d&#92;). Entonces &#92;(a + 1 > a&#92;) y, por tanto, &#92;((\u2203x \u2208 \u211d) [x > a]&#92;).<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport src.Funcion_no_acotada_superiormente\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\nexample : \u00ac acotadaSup (fun x \u21a6 x) :=\nby\n  apply sinCotaSup\n  -- \u22a2 \u2200 (a : \u211d), \u2203 x, x > a\n  intro a\n  -- a : \u211d\n  -- \u22a2 \u2203 x, x > a\n  use a + 1\n  -- \u22a2 a + 1 > a\n  linarith\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\nexample : \u00ac acotadaSup (fun x \u21a6 x) :=\nby\n  apply sinCotaSup\n  -- \u22a2 \u2200 (a : \u211d), \u2203 x, x > a\n  intro a\n  -- a : \u211d\n  -- \u22a2 \u2203 x, x > a\n  exact \u27e8a + 1, by linarith\u27e9\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\nexample : \u00ac acotadaSup (fun x \u21a6 x) :=\nby\n  apply sinCotaSup\n  -- \u22a2 \u2200 (a : \u211d), \u2203 x, x > a\n  exact fun a \u21a6 \u27e8a + 1, by linarith\u27e9\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/La_identidad_no_esta_acotada_superiormente.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 32.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej2\"><\/a><\/p>\n<h3>2. Si f es mon\u00f3tona y f(a) &lt; f(b), entonces a &lt; b<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que si &#92;(f&#92;) es mon\u00f3tona y &#92;(f(a) &lt; f(b)&#92;), entonces &#92;(a &lt; b&#92;).<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\nvariable (f : \u211d \u2192 \u211d)\nvariable (a b : \u211d)\n\nexample\n  (h1 : Monotone f)\n  (h2 : f a < f b)\n  : a < b :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Usaremos los lemas<br \/>\n&#92;begin{align}<br \/>\n   &amp;a \u2271 b \u2192 a &lt; b &#92;tag{L1} &#92;&#92;<br \/>\n   &amp;a \u2265 b \u2192 a \u226e b &#92;tag{L2}<br \/>\n&#92;end{align}<\/p>\n<p>Por el lema L1, basta demostrar que &#92;(a \u2271 b&#92;). Lo haremos  reducci\u00f3n al absurdo. Para ello, supongamos que &#92;(a \u2265 b&#92;). Como &#92;(f&#92;) es mon\u00f3tona, se tiene &#92;(f(a) \u2265 f(b)&#92;) y, aplicando el lema L2, &#92;(f(a) \u226e f(b)&#92;), que contradice a la hip\u00f3tesis.<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\nvariable (f : \u211d \u2192 \u211d)\nvariable (a b : \u211d)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h1 : Monotone f)\n  (h2 : f a < f b)\n  : a < b :=\nby\n  apply lt_of_not_ge\n  -- \u22a2 \u00aca \u2265 b\n  intro h3\n  -- h3 : a \u2265 b\n  -- \u22a2 False\n  have h4 : f a \u2265 f b := h1 h3\n  have h5 : \u00ac f a < f b := not_lt_of_ge h4\n  exact h5 h2\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h1 : Monotone f)\n  (h2 : f a < f b)\n  : a < b :=\nby\n  apply lt_of_not_ge\n  -- \u22a2 \u00aca \u2265 b\n  intro h3\n  -- h3 : a \u2265 b\n  -- \u22a2 False\n  have h5 : \u00ac f a < f b := not_lt_of_ge (h1 h3)\n  exact h5 h2\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h1 : Monotone f)\n  (h2 : f a < f b)\n  : a < b :=\nby\n  apply lt_of_not_ge\n  -- \u22a2 \u00aca \u2265 b\n  intro h3\n  -- h3 : a \u2265 b\n  -- \u22a2 False\n  exact (not_lt_of_ge (h1 h3)) h2\n\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h1 : Monotone f)\n  (h2 : f a < f b)\n  : a < b :=\nby\n  apply lt_of_not_ge\n  -- \u22a2 \u00aca \u2265 b\n  exact fun h3 \u21a6 (not_lt_of_ge (h1 h3)) h2\n\n-- 5\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h1 : Monotone f)\n  (h2 : f a < f b)\n  : a < b :=\nlt_of_not_ge (fun h3 \u21a6 (not_lt_of_ge (h1 h3)) h2)\n\n-- Lemas usados\n-- ============\n\n-- #check (lt_of_not_ge : \u00ac a \u2265 b \u2192 a < b)\n-- #check (not_lt_of_ge : a \u2265 b \u2192 \u00ac a < b)\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/CN_de_monotona.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 32.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej3\"><\/a><\/p>\n<h3>3. Si a, b \u2208 \u211d tales que a \u2264 b y f(b) &lt; f(a), entonces f no es mon\u00f3tona<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que si &#92;(a, b \u2208 \u211d&#92;) tales que &#92;(a \u2264 b&#92;) y &#92;(f(b) &lt; f(a)&#92;), entonces &#92;(f&#92;) no es mon\u00f3tona<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\nvariable (f : \u211d \u2192 \u211d)\nvariable (a b : \u211d)\n\nexample\n  (h1 : a \u2264 b)\n  (h2 : f b < f a)\n  : \u00ac Monotone f :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Usaremos el lema<br \/>\n&#92;[ a \u2265 b \u2192 a \u226e b &#92;tag{L1} &#92;]<\/p>\n<p>Lo demostraremos por reducci\u00f3n al absurdo. Para ello, supongamos que &#92;(f&#92;) es mon\u00f3tona. Entonces, como &#92;(a \u2264 b&#92;), se tiene &#92;(f(a) \u2264 f(b)&#92;) y, por el lema L1, &#92;(f(b) \u226e f(a)&#92;), en contradicci\u00f3n con la hip\u00f3tesis.<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\nvariable (f : \u211d \u2192 \u211d)\nvariable (a b : \u211d)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h1 : a \u2264 b)\n  (h2 : f b < f a)\n  : \u00ac Monotone f :=\nby\n  intro h3\n  -- h3 : Monotone f\n  -- \u22a2 False\n  have h4 : f a \u2264 f b := h3 h1\n  have h5 : \u00ac(f b < f a) := not_lt_of_ge h4\n  exact h5 h2\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h1 : a \u2264 b)\n  (h2 : f b < f a)\n  : \u00ac Monotone f :=\nby\n  intro h3\n  -- h3 : Monotone f\n  -- \u22a2 False\n  have h5 : \u00ac(f b < f a) := not_lt_of_ge (h3 h1)\n  exact h5 h2\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h1 : a \u2264 b)\n  (h2 : f b < f a)\n  : \u00ac Monotone f :=\nby\n  intro h3\n  -- h3 : Monotone f\n  -- \u22a2 False\n  exact (not_lt_of_ge (h3 h1)) h2\n\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h1 : a \u2264 b)\n  (h2 : f b < f a)\n  : \u00ac Monotone f :=\nfun h3 \u21a6 (not_lt_of_ge (h3 h1)) h2\n\n-- Lemas usados\n-- ============\n\n-- #check (not_lt_of_ge : a \u2265 b \u2192 \u00aca < b)\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/CS_de_no_monotona.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 32.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej4\"><\/a><\/p>\n<h3>4. No para toda f : \u211d \u2192 \u211d mon\u00f3tona, (\u2200a,b)[f(a) \u2264 f(b) \u2192 a \u2264 b]<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que no para toda &#92;(f : \u211d \u2192 \u211d&#92;) mon\u00f3tona, &#92;((\u2200a,b)[f(a) \u2264 f(b) \u2192 a \u2264 b]&#92;).<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\n\nexample :\n  \u00ac\u2200 {f : \u211d \u2192 \u211d}, Monotone f \u2192 \u2200 {a b}, f a \u2264 f b \u2192 a \u2264 b :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Supongamos que<br \/>\n&#92;[ (\u2200f)[f &#92;text{ es mon\u00f3tona } \u2192 (\u2200a, b)[f(a) \u2264 f(b) \u2192 a \u2264 b]] &#92;tag{1} &#92;]<br \/>\nSea &#92;(f : \u211d \u2192 \u211d&#92;) la funci\u00f3n constante igual a cero; es decir,<br \/>\n&#92;[ (\u2200x \u2208 \u211d)[f(x) = 0] &#92;]<br \/>\nEntonces, &#92;(f&#92;) es mon\u00f3tona y &#92;(f(1) \u2264 f(0)&#92;) (ya que &#92;(f(1) = 0 \u2264 0 = f(0)&#92;)). Luego, por (1), &#92;(1 \u2264 0&#92;) que es una contradicci\u00f3n.<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample :\n  \u00ac\u2200 {f : \u211d \u2192 \u211d}, Monotone f \u2192 \u2200 {a b}, f a \u2264 f b \u2192 a \u2264 b :=\nby\n  intro h1\n  -- h1 : \u2200 {f : \u211d \u2192 \u211d}, Monotone f \u2192 \u2200 {a b : \u211d}, f a \u2264 f b \u2192 a \u2264 b\n  -- \u22a2 False\n  let f := fun _ : \u211d \u21a6 (0 : \u211d)\n  have h2 : Monotone f := monotone_const\n  have h3 : f 1 \u2264 f 0 := le_refl 0\n  have h4 : 1 \u2264 0 := h1 h2 h3\n  linarith\n\n-- Lemas usados\n-- ============\n\n-- variable (a c : \u211d)\n-- #check (le_refl a : a \u2264 a)\n-- #check (monotone_const : Monotone fun _ : \u211d \u21a6 c)\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/Propiedad_de_monotona.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 32.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej5\"><\/a><\/p>\n<h3>5. Si (\u2200\u03b5 > 0)[x \u2264 \u03b5], entonces x \u2264 0<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que si &#92;((\u2200\u03b5 > 0)[x \u2264 \u03b5]&#92;), entonces &#92;(x \u2264 0&#92;).<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\nvariable (x : \u211d)\n\nexample\n  (h : \u2200 \u03b5 > 0, x \u2264 \u03b5)\n  : x \u2264 0 :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Basta demostrar que &#92;(x \u226f 0&#92;). Para ello, supongamos que &#92;(x > 0&#92;) y vamos a demostrar que<br \/>\n&#92;[ \u00ac(\u2200\u03b5)[\u03b5 > 0 \u2192 x \u2264 \u03b5] &#92;tag{1} &#92;]<br \/>\nque es una contradicci\u00f3n con la hip\u00f3tesis. Interiorizando la negaci\u00f3n, (1) es equivalente a<br \/>\n&#92;[ (\u2203\u03b5)[\u03b5 > 0 \u2227 \u03b5 &lt; x] &#92;tag{2} &#92;]<br \/>\nPara demostrar (2), elegimos &#92;(\u03b5 = &#92;dfrac{x}{2}&#92;) ya que, como &#92;(x > 0&#92;), se tiene<br \/>\n&#92;[ 0 &lt; &#92;dfrac{x}{2} &lt; x&#92;]<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\n\nvariable (x : \u211d)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (h : \u2200 \u03b5 > 0, x \u2264 \u03b5)\n  : x \u2264 0 :=\nby\n  apply le_of_not_gt\n  -- \u22a2 \u00acx > 0\n  intro hx0\n  -- hx0 : x > 0\n  -- \u22a2 False\n  apply absurd h\n  -- \u22a2 \u00ac\u2200 (\u03b5 : \u211d), \u03b5 > 0 \u2192 x \u2264 \u03b5\n  push_neg\n  -- \u22a2 \u2203 \u03b5, \u03b5 > 0 \u2227 \u03b5 < x\n  use x \/2\n  -- \u22a2 x \/ 2 > 0 \u2227 x \/ 2 < x\n  constructor\n  { show x \/ 2 > 0\n    exact half_pos hx0 }\n  { show x \/ 2 < x\n    exact half_lt_self hx0 }\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\n-- ===============\n\nexample\n  (x : \u211d)\n  (h : \u2200 \u03b5 > 0, x \u2264 \u03b5)\n  : x \u2264 0 :=\nby\n  contrapose! h\n  -- \u22a2 \u2203 \u03b5, \u03b5 > 0 \u2227 \u03b5 < x\n  use x \/ 2\n  -- \u22a2 x \/ 2 > 0 \u2227 x \/ 2 < x\n  constructor\n  { show x \/ 2 > 0\n    exact half_pos h }\n  { show x \/ 2 < x\n    exact half_lt_self h }\n\n-- Lemas usados\n-- ============\n\n-- variable (a b : \u211d)\n-- variable (p q : Prop)\n-- #check (le_of_not_gt : \u00aca > b \u2192 a \u2264 b)\n-- #check (half_lt_self : 0 < a \u2192 a \/ 2 < a)\n-- #check (half_pos : 0 < a \u2192 0 < a \/ 2)\n-- #check (absurd : p \u2192 \u00acp \u2192 q)\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/Condicion_para_no_positivo.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 32.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean4 de las siguientes propiedades: 1. La funci\u00f3n identidad no est\u00e1 acotada superiormente 2. Si f es mon\u00f3tona y f(a) &lt; f(b), entonces a &lt; b 3. Si a, b \u2208 \u211d tales que a \u2264 b y f(b) &lt; f(a), entonces f no es mon\u00f3tona&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[335],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":false,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8053"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8053"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8053\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8054,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8053\/revisions\/8054"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8053"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8053"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8053"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}