{"id":8037,"date":"2023-10-21T11:10:14","date_gmt":"2023-10-21T09:10:14","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/?p=8037"},"modified":"2023-10-21T11:10:14","modified_gmt":"2023-10-21T09:10:14","slug":"21-oct-23","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/21-oct-23\/","title":{"rendered":"La semana en Calculemus (21 de octubre de 2023)"},"content":{"rendered":"\n<p>Esta semana he publicado en <a href=\"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/calculemus\/\">Calculemus<\/a> las demostraciones con Lean4 de las siguientes propiedades:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#ej1\">1. El producto de dos funciones impares es par<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej2\">2. El producto de una funci\u00f3n par por una impar es impar<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej3\">3. Si f es par y g es impar, entonces (f \u2218 g) es par<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej4\">4. Para cualquier conjunto s, s \u2286 s<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej5\">5. Si r \u2286 s y s \u2286 t, entonces r \u2286 t<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>A continuaci\u00f3n se muestran las soluciones.<br \/>\n<a name=\"ej1\"><\/a><\/p>\n<h3>1. El producto de dos funciones impares es par<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que el producto de dos funciones impares es par.<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\n\nvariable (f g : \u211d \u2192 \u211d)\n\n-- (esPar f) expresa que f es par.\ndef esPar (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = f (-x)\n\n-- (esImpar f) expresa que f es impar.\ndef esImpar  (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = - f (-x)\n\nexample\n  (h1 : esImpar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esPar (f * g) :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Supongamos que &#92;(f&#92;) y &#92;(g&#92;) son funciones impares. Tenemos que demostrar que &#92;(f\u00b7g&#92;) es par; es decir, que<br \/>\n&#92;[ (\u2200 x \u2208 \u211d) (f\u00b7g)(x) = (f\u00b7g)(-x) &#92;]<br \/>\nSea &#92;(x \u2208 \u211d&#92;). Entonces,<br \/>\n&#92;begin{align}<br \/>\n   (f\u00b7g)(x) &amp;= f(x)g(x)          &#92;&#92;<br \/>\n            &amp;= (-f(-x))g(x)      &amp;&amp;&#92;text{[porque &#92;(f&#92;) es impar]} &#92;&#92;<br \/>\n            &amp;= (-f(-x)(-g(-x))   &amp;&amp;&#92;text{[porque &#92;(g&#92;) es impar]} &#92;&#92;<br \/>\n            &amp;= f(-x)g(-x))       &#92;&#92;<br \/>\n            &amp;= (f\u00b7g)(-x)<br \/>\n&#92;end{align}<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\n\nvariable (f g : \u211d \u2192 \u211d)\n\n-- (esPar f) expresa que f es par.\ndef esPar (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = f (-x)\n\n-- (esImpar f) expresa que f es impar.\ndef esImpar  (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = - f (-x)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (h1 : esImpar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esPar (f * g) :=\nby\n  intro x\n  have h1 : f x = -f (-x) := h1 x\n  have h2 : g x = -g (-x) := h2 x\n  calc (f * g) x\n       = f x * g x             := rfl\n     _ = (-f (-x)) * g x       := congrArg (. * g x) h1\n     _ = (-f (-x)) * (-g (-x)) := congrArg ((-f (-x)) * .) h2\n     _ = f (-x) * g (-x)       := neg_mul_neg (f (-x)) (g (-x))\n     _ = (f * g) (-x)          := rfl\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (h1 : esImpar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esPar (f * g) :=\nby\n  intro x\n  calc (f * g) x\n       = f x * g x             := rfl\n     _ = (-f (-x)) * g x       := congrArg (. * g x) (h1 x)\n     _ = (-f (-x)) * (-g (-x)) := congrArg ((-f (-x)) * .) (h2 x)\n     _ = f (-x) * g (-x)       := neg_mul_neg (f (-x)) (g (-x))\n     _ = (f * g) (-x)          := rfl\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (h1 : esImpar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esPar (f * g) :=\nby\n  intro x\n  calc (f * g) x\n       = f x * g x         := rfl\n     _ = -f (-x) * -g (-x) := by rw [h1, h2]\n     _ = f (-x) * g (-x)   := by rw [neg_mul_neg]\n     _ = (f * g) (-x)      := rfl\n\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (h1 : esImpar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esPar (f * g) :=\nby\n  intro x\n  calc (f * g) x\n       = f x * g x       := rfl\n     _ = f (-x) * g (-x) := by rw [h1, h2, neg_mul_neg]\n     _ = (f * g) (-x)    := rfl\n\n-- Lemas usados\n-- ============\n\n-- variable (a b : \u211d)\n-- #check (neg_mul_neg a b : -a * -b = a * b)\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/Producto_de_funciones_impares.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 26.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej2\"><\/a><\/p>\n<h3>2. El producto de una funci\u00f3n par por una impar es impar<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que el producto de una funci\u00f3n par por una impar es impar.<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\n\nvariable (f g : \u211d \u2192 \u211d)\n\n-- (esPar f) expresa que f es par.\ndef esPar (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = f (-x)\n\n-- (esImpar f) expresa que f es impar.\ndef esImpar  (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = - f (-x)\n\nexample\n  (h1 : esPar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esImpar (f * g) :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Supongamos que &#92;(f&#92;) es una funci\u00f3n par y &#92;(g&#92;) lo es impar. Tenemos que demostrar que &#92;(f\u00b7g&#92;) es imppar; es decir, que<br \/>\n&#92;[ (\u2200 x \u2208 \u211d) (f\u00b7g)(x) = -(f\u00b7g)(-x) &#92;]<br \/>\nSea &#92;(x \u2208 \u211d&#92;). Entonces,<br \/>\n&#92;begin{align}<br \/>\n   (f\u00b7g) x &amp;= f(x)g(x)        &#92;&#92;<br \/>\n           &amp;= f(-x)g(x)       &amp;&amp;&#92;text{[porque &#92;(f&#92;) es par]} &#92;&#92;<br \/>\n           &amp;= f(-x)(-g(-x))   &amp;&amp;&#92;text{[porque &#92;(g&#92;) es impar]} &#92;&#92;<br \/>\n           &amp;= -f(-x)g(-x))    &#92;&#92;<br \/>\n           &amp;= -(f\u00b7g)(-x)<br \/>\n&#92;end{align}<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\n\nvariable (f g : \u211d \u2192 \u211d)\n\n-- (esPar f) expresa que f es par.\ndef esPar (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = f (-x)\n\n-- (esImpar f) expresa que f es impar.\ndef esImpar  (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = - f (-x)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (h1 : esPar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esImpar (f * g) :=\nby\n  intro x\n  have h1 : f x = f (-x) := h1 x\n  have h2 : g x = -g (-x) := h2 x\n  calc (f * g) x\n       = f x * g x            := rfl\n     _ = (f (-x)) * g x       := congrArg (. * g x) h1\n     _ = (f (-x)) * (-g (-x)) := congrArg (f (-x) * .) h2\n     _ = -(f (-x) * g (-x))   := mul_neg (f (-x)) (g (-x))\n     _ = -(f * g) (-x)        := rfl\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (h1 : esPar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esImpar (f * g) :=\nby\n  intro x\n  calc (f * g) x\n       = f x * g x          := rfl\n    _  = f (-x) * -g (-x)   := by rw [h1, h2]\n    _  = -(f (-x) * g (-x)) := by rw [mul_neg]\n    _  = -(f * g) (-x)      := rfl\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (h1 : esPar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esImpar (f * g) :=\nby\n  intro x\n  calc (f * g) x\n       = f x * g x          := rfl\n     _ = -(f (-x) * g (-x)) := by rw [h1, h2, mul_neg]\n     _ = -((f * g) (-x))    := rfl\n\n-- Lemas usados\n-- ===========\n\n-- variable (a b : \u211d)\n-- #check (mul_neg a b : a * -b = -(a * b))\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/Producto_funcion_par_e_impar.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 26.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej3\"><\/a><\/p>\n<h3>3. Si f es par y g es impar, entonces (f \u2218 g) es par<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que si &#92;(f&#92;) es par y &#92;(g&#92;) es impar, entonces &#92;(f \u2218 g&#92;) es par.<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\n\nvariable (f g : \u211d \u2192 \u211d)\n\n-- (esPar f) expresa que f es par.\ndef esPar (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = f (-x)\n\n-- (esImpar f) expresa que f es impar.\ndef esImpar  (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = - f (-x)\n\nexample\n  (h1 : esPar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esPar (f \u2218 g) :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Supongamos que &#92;(f&#92;) es una funci\u00f3n par y &#92;(g&#92;) lo es impar. Tenemos que demostrar que &#92;(f \u2218 g&#92;) es par; es decir, que<br \/>\n&#92;[ (\u2200 x \u2208 \u211d) (f \u2218 g)(x) = (f \u2218 g)(-x) &#92;]<br \/>\nSea &#92;(x \u2208 \u211d&#92;). Entonces,<br \/>\n&#92;begin{align}<br \/>\n   (f \u2218 g)(x) &amp;= f(g(x))      &#92;&#92;<br \/>\n              &amp;= f(-g(-x))    &amp;&amp;&#92;text{[porque &#92;(g&#92;) es impar]} &#92;&#92;<br \/>\n              &amp;= f(g(-x))     &amp;&amp;&#92;text{[porque &#92;(f&#92;) es par]} &#92;&#92;<br \/>\n              &amp;= (f \u2218 g)(-x)<br \/>\n&#92;end{align}<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Data.Real.Basic\n\nvariable (f g : \u211d \u2192 \u211d)\n\n-- (esPar f) expresa que f es par.\ndef esPar (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = f (-x)\n\n-- (esImpar f) expresa que f es impar.\ndef esImpar  (f : \u211d \u2192 \u211d) : Prop :=\n  \u2200 x, f x = - f (-x)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (h1 : esPar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esPar (f \u2218 g) :=\nby\n  intro x\n  calc (f \u2218 g) x\n       = f (g x)      := rfl\n    _  = f (-g (-x))  := congr_arg f (h2 x)\n    _  = f (g (-x))   := (h1 (g (-x))).symm\n    _  = (f \u2218 g) (-x) := rfl\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (h1 : esPar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esPar (f \u2218 g) :=\nby\n  intro x\n  calc (f \u2218 g) x\n       = f (g x)      := rfl\n     _ = f (-g (-x))  := by rw [h2]\n     _ = f (g (-x))   := by rw [\u2190 h1]\n     _ = (f \u2218 g) (-x) := rfl\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (h1 : esPar f)\n  (h2 : esImpar g)\n  : esPar (f \u2218 g) :=\nby\n  intro x\n  calc (f \u2218 g) x\n       = f (g x)      := rfl\n     _ = f (g (-x))   := by rw [h2, \u2190 h1]\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/Composicion_de_par_e_impar.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 26.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej4\"><\/a><\/p>\n<h3>4. Para cualquier conjunto s, s \u2286 s<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que para cualquier conjunto &#92;(s&#92;), &#92;(s \u2286 s&#92;).<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\n\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (s : Set \u03b1)\n\nexample : s \u2286 s :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p>Tenemos que demostrar que<br \/>\n&#92;[ (\u2200 x) [x \u2208 s \u2192 \u00d7 \u2208 s] &#92;]<br \/>\nSea &#92;(x&#92;) tal que<br \/>\n&#92;[ x \u2208 s &#92;tag{1} &#92;]<br \/>\nEntonces, por (1), se tiene que<br \/>\n&#92;[ x \u2208 s &#92;]<br \/>\nque es lo que ten\u00edamos que demostrar.<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\n\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (s : Set \u03b1)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\nexample : s \u2286 s :=\nby\n  intro x xs\n  exact xs\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\nexample : s \u2286 s :=\n  fun (x : \u03b1) (xs : x \u2208 s) \u21a6 xs\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\nexample : s \u2286 s :=\n  fun _ xs \u21a6 xs\n\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\nexample : s \u2286 s :=\n  -- by exact?\n  rfl.subset\n\n-- 5\u00aa demostraci\u00f3n\nexample : s \u2286 s :=\nby rfl\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/Propiedad_reflexiva_del_subconjunto.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 27.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"ej5\"><\/a><\/p>\n<h3>5. Si r \u2286 s y s \u2286 t, entonces r \u2286 t<\/h3>\n<p>Demostrar con Lean4 que si &#92;(r \u2286 s&#92;) y &#92;(s \u2286 t&#92;), entonces &#92;(r \u2286 t&#92;).<\/p>\n<p>Para ello, completar la siguiente teor\u00eda de Lean4:<\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\n\nopen Set\n\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (r s t : Set \u03b1)\n\nexample\n  (rs : r \u2286 s)\n  (st : s \u2286 t)\n  : r \u2286 t :=\nby sorry\n<\/pre>\n<p><b>Demostraci\u00f3n en lenguaje natural<\/b><\/p>\n<p><b>1\u00aa demostraci\u00f3n en LN<\/b><\/p>\n<p>Tenemos que demostrar que<br \/>\n&#92;[ (\u2200 x) [x \u2208 r \u2192 x \u2208 t] &#92;]<br \/>\nSea &#92;(x&#92;) tal que<br \/>\n&#92;[ x \u2208 r &#92;]<br \/>\nPuesto que &#92;(r \u2286 s&#92;), se tiene que<br \/>\n&#92;[ x \u2208 s &#92;]<br \/>\ny, puesto que &#92;(s \u2286 t), se tiene que<br \/>\n&#92;[ x \u2208 t &#92;]<br \/>\nque es lo que ten\u00edamos que demostrar.<\/p>\n<p><b>2\u00aa demostraci\u00f3n en LN<\/b><\/p>\n<p>Tenemos que demostrar que<br \/>\n&#92;[ (\u2200 x) [x \u2208 r \u2192 x \u2208 t] &#92;]<br \/>\nSea &#92;(x&#92;) tal que<br \/>\n&#92;[ x \u2208 r &#92;]<br \/>\nTenemos que demostrar que<br \/>\n&#92;[ x \u2208 t &#92;]<br \/>\nque, puesto que &#92;(s \u2286 t&#92;), se reduce a<br \/>\n&#92;[ x \u2208 s &#92;]<br \/>\nque, puesto que &#92;(r \u2286 s&#92;), se redece a<br \/>\n&#92;[ x \u2208 r &#92;]<br \/>\nque es lo que hemos supuesto.<\/p>\n<p><b>Demostraciones con Lean4<\/b><\/p>\n<pre lang=\"lean\">\nimport Mathlib.Tactic\n\nopen Set\n\nvariable {\u03b1 : Type _}\nvariable (r s t : Set \u03b1)\n\n-- 1\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (rs : r \u2286 s)\n  (st : s \u2286 t)\n  : r \u2286 t :=\nby\n  intros x xr\n  -- xr : x \u2208 r\n  have xs : x \u2208 s := rs xr\n  show x \u2208 t\n  exact st xs\n\n-- 2\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (rs : r \u2286 s)\n  (st : s \u2286 t)\n  : r \u2286 t :=\nby\n  intros x xr\n  -- x : \u03b1\n  -- xr : x \u2208 r\n  apply st\n  -- \u22a2 x \u2208 s\n  apply rs\n  -- \u22a2 x \u2208 r\n  exact xr\n\n-- 3\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (rs : r \u2286 s)\n  (st : s \u2286 t)\n  : r \u2286 t :=\nfun _ xr \u21a6 st (rs xr)\n\n-- 4\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (rs : r \u2286 s)\n  (st : s \u2286 t)\n  : r \u2286 t :=\n-- by exact?\nSubset.trans rs st\n\n-- 5\u00aa demostraci\u00f3n\nexample\n  (rs : r \u2286 s)\n  (st : s \u2286 t)\n  : r \u2286 t :=\nby tauto\n\n-- Lemas usados\n-- ============\n\n-- #check (Subset.trans : r \u2286 s \u2192 s \u2286 t \u2192 r \u2286 t)\n<\/pre>\n<p><b>Demostraciones interactivas<\/b><\/p>\n<p>Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en <a href=\"https:\/\/live.lean-lang.org\/#url=https:\/\/raw.githubusercontent.com\/jaalonso\/Calculemus2\/main\/src\/Propiedad_transitiva_del_subconjunto.lean\" rel=\"noopener noreferrer\" target=\"_blank\">Lean 4 Web<\/a>.<\/p>\n<p><b>Referencias<\/b><\/p>\n<ul>\n<li> J. Avigad y P. Massot. <a href=\"https:\/\/bit.ly\/3U4UjBk\">Mathematics in Lean<\/a>, p. 27.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Esta semana he publicado en Calculemus las demostraciones con Lean4 de las siguientes propiedades: 1. El producto de dos funciones impares es par 2. El producto de una funci\u00f3n par por una impar es impar 3. Si f es par y g es impar, entonces (f \u2218 g) es par 4. Para cualquier conjunto s,&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[335],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":false,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8037"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=8037"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8037\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8038,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/8037\/revisions\/8038"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=8037"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=8037"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=8037"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}