{"id":7852,"date":"2022-12-03T08:41:11","date_gmt":"2022-12-03T07:41:11","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/?p=7852"},"modified":"2022-12-03T08:41:11","modified_gmt":"2022-12-03T07:41:11","slug":"03-dic-22","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/03-dic-22\/","title":{"rendered":"PFH: La semana en Exercitium (3 de diciembre de 2022)"},"content":{"rendered":"<p>Esta semana he publicado en <a href=\"http:\/\/bit.ly\/2sqPtGs\">Exercitium<\/a> las soluciones de los siguientes problemas:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#ej1\">1. El tipo de las listas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej2\">2. El tipo de los \u00e1rboles binarios<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej3\">3. El tipo de las f\u00f3rmulas proposicionales: Variables de una f\u00f3rmula<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej4\">4. El tipo de las f\u00f3rmulas proposicionales: Valor de una f\u00f3rmula<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ej5\">5. El tipo de las f\u00f3rmulas proposicionales: Interpretaciones de una f\u00f3rmula<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>A continuaci\u00f3n se muestran las soluciones.<br \/>\n<!--more--><br \/>\n<a name=\"ej1\"><\/a><\/p>\n<h3>1. El tipo de las listas<\/h3>\n<p>El tipo de las listas, con elementos de tipo a, se puede definir por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   data Lista a = Nil | Cons a (Lista a)\n<\/pre>\n<p>Por ejemplo, la lista <code>[4,2,5]<\/code> se representa por <code>Cons 4 (Cons 2 (Cons 5 Nil))<\/code>.<\/p>\n<p>Definir la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   longitud :: Lista a -> Int\n<\/pre>\n<p>tal que <code>longitud xs<\/code> es la longitud de la lista <code>xs<\/code>. Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   longitud (Cons 4 (Cons 2 (Cons 5 Nil)))  ==  3\n<\/pre>\n<p><b>1.1. Soluciones en Haskell<\/b><\/p>\n<pre lang=\"haskell\">\ndata Lista a = Nil | Cons a (Lista a)\n\nlongitud :: Lista a -> Int\nlongitud Nil         = 0\nlongitud (Cons _ xs) = 1 + longitud xs\n<\/pre>\n<p><b>1.2. Soluciones en Python<\/b><\/p>\n<pre lang=\"python\">\nfrom dataclasses import dataclass\nfrom typing import Generic, TypeVar\n\nA = TypeVar(\"A\")\n\n@dataclass\nclass Lista(Generic[A]):\n    pass\n\n@dataclass\nclass Nil(Lista[A]):\n    pass\n\n@dataclass\nclass Cons(Lista[A]):\n    x: A\n    xs: Lista[A]\n\ndef longitud(xs: Lista[A]) -> int:\n    match xs:\n        case Nil():\n            return 0\n        case Cons(_, xs):\n            return 1 + longitud(xs)\n    assert False\n<\/pre>\n<p><a name=\"ej2\"><\/a><\/p>\n<h3>2. El tipo de los \u00e1rboles binarios<\/h3>\n<p>El \u00e1rbol binario<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n        5\n       \/ \\\n      \/   \\\n     3     7\n    \/ \\   \/ \\\n   1   4 6   9\n<\/pre>\n<p>se puede representar por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   ejArbol = Nodo (Nodo (Hoja 1) 3 (Hoja 4))\n                  5\n                  (Nodo (Hoja 6) 7 (Hoja 9))\n<\/pre>\n<p>El tipo de los \u00e1rboles binarios se puede definir por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   data Arbol = Hoja Int\n              | Nodo Arbol Int Arbol\n<\/pre>\n<p>Definir las funciones<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   ocurre :: Int -> Arbol -> Bool\n   aplana :: Arbol -> [Int]\n<\/pre>\n<p>tales que<\/p>\n<ul>\n<li><code>ocurre m a<\/code> se verifica si <code>m<\/code> ocurre en el \u00e1rbol <code>a<\/code>. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     ocurre 4  ejArbol  ==  True\n     ocurre 10 ejArbol  ==  False\n<\/pre>\n<ul>\n<li><code>aplana a<\/code> es la lista obtenida aplanando el \u00e1rbol <code>a<\/code>. Por ejemplo,<\/li>\n<\/ul>\n<pre lang=\"text\">\n     aplana ejArbol  ==  [1,3,4,5,6,7,9]\n<\/pre>\n<p><b>2.1. Soluciones en Haskell<\/b><\/p>\n<pre lang=\"haskell\">\ndata Arbol = Hoja Int\n           | Nodo Arbol Int Arbol\n\nejArbol :: Arbol\nejArbol = Nodo (Nodo (Hoja 1) 3 (Hoja 4))\n               5\n               (Nodo (Hoja 6) 7 (Hoja 9))\n\nocurre :: Int -> Arbol -> Bool\nocurre m (Hoja n)     = m == n\nocurre m (Nodo i n d) = m == n || ocurre m i || ocurre m d\n\naplana :: Arbol -> [Int]\naplana (Hoja n)     = [n]\naplana (Nodo i n d) = aplana i ++ [n] ++ aplana d\n<\/pre>\n<p><b>2.2. Soluciones en Python<\/b><\/p>\n<pre lang=\"python\">\nfrom dataclasses import dataclass\n\n@dataclass\nclass Arbol:\n    pass\n\n@dataclass\nclass Hoja(Arbol):\n    x: int\n\n@dataclass\nclass Nodo(Arbol):\n    i: Arbol\n    x: int\n    d: Arbol\n\nejArbol = Nodo(Nodo(Hoja(1), 3, Hoja(4)),\n               5,\n               Nodo(Hoja(6), 7, Hoja(9)))\n\ndef ocurre(m: int, a: Arbol) -> bool:\n    match a:\n        case Hoja(n):\n            return m == n\n        case Nodo(i, n, d):\n            return m == n or ocurre(m, i) or ocurre(m, d)\n    assert False\n\ndef aplana(a: Arbol) -> list[int]:\n    match a:\n        case Hoja(n):\n            return [n]\n        case Nodo(i, n, d):\n            return aplana(i) + [n] + aplana(d)\n    assert False\n<\/pre>\n<p><a name=\"ej3\"><\/a><\/p>\n<h3>3. El tipo de las f\u00f3rmulas proposicionales: Variables de una f\u00f3rmula<\/h3>\n<p>El tipo de las f\u00f3rmulas proposicionales se puede definir por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   data FProp = Const Bool\n              | Var Char\n              | Neg FProp\n              | Conj FProp FProp\n              | Impl FProp FProp\n     deriving Show\n<\/pre>\n<p>de modo que la f\u00f3rmula <code>A \u2192 \u22a5 \u2227 \u00acB<\/code> se representa por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   Impl (Var 'A') (Conj (Const False) (Neg (Var 'B')))\n<\/pre>\n<p>Definir la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   variables :: FProp -> [Char]\n<\/pre>\n<p>tal que <code>variables p<\/code> es la lista de las variables de la f\u00f3rmula <code>p<\/code>. Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   \u03bb> variables (Impl (Var 'A') (Conj (Const False) (Neg (Var 'B'))))\n   \"AB\"\n   \u03bb> variables (Impl (Var 'A') (Conj (Var 'A') (Neg (Var 'B'))))\n   \"AAB\"\n<\/pre>\n<p><b>3.1. Soluciones en Haskell<\/b><\/p>\n<pre lang=\"haskell\">\ndata FProp = Const Bool\n           | Var Char\n           | Neg FProp\n           | Conj FProp FProp\n           | Impl FProp FProp\n  deriving Show\n\nvariables :: FProp -> [Char]\nvariables (Const _)  = []\nvariables (Var x)    = [x]\nvariables (Neg p)    = variables p\nvariables (Conj p q) = variables p ++ variables q\nvariables (Impl p q) = variables p ++ variables q\n<\/pre>\n<p><b>3.2. Soluciones en Python<\/b><\/p>\n<pre lang=\"python\">\nfrom dataclasses import dataclass\n\n\n@dataclass\nclass FProp:\n    pass\n\n@dataclass\nclass Const(FProp):\n    x: bool\n\n@dataclass\nclass Var(FProp):\n    x: str\n\n@dataclass\nclass Neg(FProp):\n    x: FProp\n\n@dataclass\nclass Conj(FProp):\n    x: FProp\n    y: FProp\n\n@dataclass\nclass Impl(FProp):\n    x: FProp\n    y: FProp\n\ndef variables(f: FProp) -> list[str]:\n    match f:\n        case Const(_):\n            return []\n        case Var(x):\n            return [x]\n        case Neg(p):\n            return variables(p)\n        case Conj(p, q):\n            return variables(p) + variables(q)\n        case Impl(p, q):\n            return variables(p) + variables(q)\n    assert False\n<\/pre>\n<p><a name=\"ej4\"><\/a><\/p>\n<h3>4. El tipo de las f\u00f3rmulas proposicionales: Valor de una f\u00f3rmula<\/h3>\n<p>El tipo de las f\u00f3rmulas proposicionales se puede definir por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   data FProp = Const Bool\n              | Var Char\n              | Neg FProp\n              | Conj FProp FProp\n              | Impl FProp FProp\n     deriving Show\n<\/pre>\n<p>de modo que la f\u00f3rmula <code>A \u2192 \u22a5 \u2227 \u00acB<\/code> se representa por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   Impl (Var 'A') (Conj (Const False) (Neg (Var 'B')))\n<\/pre>\n<p>Una interpretaci\u00f3n de una f\u00f3rmula es una funci\u00f3n de sus variables en los booleanos. Por ejemplo, la interpretaci\u00f3n que a la variable A le asigna verdadero y a la B falso se puede representar por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   [('A', True), ('B', False)]\n<\/pre>\n<p>El tipo de las intepretaciones de puede definir por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   type Interpretacion = [(Char, Bool)]\n<\/pre>\n<p>El valor de una f\u00f3rmula en una interpretaci\u00f3n se calcula usando las funciones de verdad de las conectivas que se muestran a continuaci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   |---+----|   |---+---+-------+-------|\n   | p | \u00acp |   | p | q | p \u2227 q | p \u2192 q |\n   |---+----|   |---+---+-------+-------|\n   | T | F  |   | T | T | T     | T     |\n   | F | T  |   | T | F | F     | F     |\n   |---+----|   | F | T | F     | T     |\n                | F | F | F     | T     |\n                |---+---+-------+-------|\n<\/pre>\n<p>Definir la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   valor :: Interpretacion -> FProp -> Bool\n<\/pre>\n<p>tal que <code>valor i p<\/code> es el valor de la f\u00f3rmula <code>p<\/code> en la interpretaci\u00f3n <code>i<\/code>. Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   \u03bb> p = Impl (Var 'A') (Conj (Var 'A') (Var 'B'))\n   \u03bb> valor [('A',False),('B',False)] p\n   True\n   \u03bb> valor [('A',True),('B',False)] p\n   False\n<\/pre>\n<p><b>4.1. Soluciones en Haskell<\/b><\/p>\n<pre lang=\"haskell\">\ndata FProp = Const Bool\n           | Var Char\n           | Neg FProp\n           | Conj FProp FProp\n           | Impl FProp FProp\n  deriving Show\n\ntype Interpretacion = [(Char, Bool)]\n\nvalor :: Interpretacion -> FProp -> Bool\nvalor _ (Const b)  = b\nvalor i (Var x)    = busca x i\nvalor i (Neg p)    = not (valor i p)\nvalor i (Conj p q) = valor i p && valor i q\nvalor i (Impl p q) = valor i p <= valor i q\n\n-- (busca c t) es el valor del primer elemento de la lista de asociaci\u00f3n\n-- t cuya clave es c. Por ejemplo,\n--    busca 2 [(1,'a'),(3,'d'),(2,'c')]  ==  'c'\nbusca :: Eq c => c -> [(c,v)] -> v\nbusca c t = head [v | (c',v) <- t, c == c']\n<\/pre>\n<p><b>4.2. Soluciones en Python<\/b><\/p>\n<pre lang=\"python\">\nfrom dataclasses import dataclass\n\n\n@dataclass\nclass FProp:\n    pass\n\n@dataclass\nclass Const(FProp):\n    x: bool\n\n@dataclass\nclass Var(FProp):\n    x: str\n\n@dataclass\nclass Neg(FProp):\n    x: FProp\n\n@dataclass\nclass Conj(FProp):\n    x: FProp\n    y: FProp\n\n@dataclass\nclass Impl(FProp):\n    x: FProp\n    y: FProp\n\nInterpretacion = list[tuple[str, bool]]\n\n# busca(c, t) es el valor del primer elemento de la lista de asociaci\u00f3n\n# t cuya clave es c. Por ejemplo,\n#    >>> busca('B', [('A', True), ('B', False), ('C', True)])\n#    False\ndef busca(c: str, i: Interpretacion) -> bool:\n    return [v for (d, v) in i if d == c][0]\n\ndef valor(i: Interpretacion, f: FProp) -> bool:\n    match f:\n        case Const(b):\n            return b\n        case Var(x):\n            return busca(x, i)\n        case Neg(p):\n            return not valor(i, p)\n        case Conj(p, q):\n            return valor(i, p) and valor(i, q)\n        case Impl(p, q):\n            return valor(i, p) <= valor(i, q)\n    assert False\n<\/pre>\n<p><a name=\"ej5\"><\/a><\/p>\n<h3>5. El tipo de las f\u00f3rmulas proposicionales: Interpretaciones de una f\u00f3rmula<\/h3>\n<p>El tipo de las f\u00f3rmulas proposicionales se puede definir por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   data FProp = Const Bool\n              | Var Char\n              | Neg FProp\n              | Conj FProp FProp\n              | Impl FProp FProp\n     deriving Show\n<\/pre>\n<p>de modo que la f\u00f3rmula <code>A \u2192 \u22a5 \u2227 \u00acB<\/code> se representa por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   Impl (Var 'A') (Conj (Const False) (Neg (Var 'B')))\n<\/pre>\n<p>Una interpretaci\u00f3n de una f\u00f3rmula es una funci\u00f3n de sus variables en los booleanos. Por ejemplo, la interpretaci\u00f3n que a la variable A le asigna verdadero y a la B falso se puede representar por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   [('A', True), ('B', False)]\n<\/pre>\n<p>El tipo de las intepretaciones de puede definir por<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   type Interpretacion = [(Char, Bool)]\n<\/pre>\n<p>Definir la funci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   interpretaciones :: FProp -> [Interpretacion]\n<\/pre>\n<p>tal que <code>interpretaciones p<\/code> es la lista de las interpretaciones de la f\u00f3rmula <code>p<\/code>. Por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"text\">\n   \u03bb> interpretaciones (Impl (Var 'A') (Conj (Var 'A') (Var 'B')))\n   [[('A',False),('B',False)],\n    [('A',False),('B',True)],\n    [('A',True),('B',False)],\n    [('A',True),('B',True)]]\n<\/pre>\n<p><b>5.1. Soluciones en Haskell<\/b><\/p>\n<pre lang=\"haskell\">\nimport Data.List (nub)\n\ndata FProp = Const Bool\n           | Var Char\n           | Neg FProp\n           | Conj FProp FProp\n           | Impl FProp FProp\n  deriving Show\n\ntype Interpretacion = [(Char, Bool)]\n\ninterpretaciones :: FProp -> [Interpretacion]\ninterpretaciones p =\n  [zip vs i | i <- interpretacionesVar (length vs)]\n  where vs = nub (variables p)\n\n-- (interpretacionesVar n) es la lista de las interpretaciones de n\n-- variables. Por ejemplo,\n--    \u03bb> interpretacionesVar 2\n--    [[False,False],\n--     [False,True],\n--     [True,False],\n--     [True,True]]\ninterpretacionesVar :: Int -> [[Bool]]\ninterpretacionesVar 0 = [[]]\ninterpretacionesVar n = map (False:) bss ++ map (True:) bss\n  where bss = interpretacionesVar (n-1)\n\n-- (variables p) es la lista de las variables de la f\u00f3rmula p. Por\n-- ejemplo,\n--    \u03bb> variables (Impl (Var 'A') (Conj (Const False) (Neg (Var 'B'))))\n--    \"AB\"\n--    \u03bb> variables (Impl (Var 'A') (Conj (Var 'A') (Neg (Var 'B'))))\n--    \"AAB\"\nvariables :: FProp -> [Char]\nvariables (Const _)  = []\nvariables (Var x)    = [x]\nvariables (Neg p)    = variables p\nvariables (Conj p q) = variables p ++ variables q\nvariables (Impl p q) = variables p ++ variables q\n<\/pre>\n<p><b>5.2. Soluciones en Python<\/b><\/p>\n<pre lang=\"python\">\nfrom dataclasses import dataclass\n\n\n@dataclass\nclass FProp:\n    pass\n\n@dataclass\nclass Const(FProp):\n    x: bool\n\n@dataclass\nclass Var(FProp):\n    x: str\n\n@dataclass\nclass Neg(FProp):\n    x: FProp\n\n@dataclass\nclass Conj(FProp):\n    x: FProp\n    y: FProp\n\n@dataclass\nclass Impl(FProp):\n    x: FProp\n    y: FProp\n\nInterpretacion = list[tuple[str, bool]]\n\n# variables(p) es la lista de las variables de la f\u00f3rmula p. Por\n# ejemplo,\n#    >>> variables (Impl(Var('A'), Conj(Const(False), Neg (Var('B')))))\n#    ['A', 'B']\n#    >>> variables (Impl(Var('A'), Conj(Var('A'), Neg (Var('B')))))\n#    ['A', 'A', 'B']\ndef variables(f: FProp) -> list[str]:\n    match f:\n        case Const(_):\n            return []\n        case Var(x):\n            return [x]\n        case Neg(p):\n            return variables(p)\n        case Conj(p, q):\n            return variables(p) + variables(q)\n        case Impl(p, q):\n            return variables(p) + variables(q)\n    assert False\n\n# interpretacionesVar(n) es la lista de las interpretaciones de n\n# variables. Por ejemplo,\n#    >>> interpretacionesVar 2\n#    [[False, False],\n#     [False, True],\n#     [True, False],\n#     [True, True]]\ndef interpretacionesVar(n: int) -> list[list[bool]]:\n    if n == 0:\n        return [[]]\n    bss = interpretacionesVar(n-1)\n    return [[False] + x for x in bss] + [[True] + x for x in bss]\n\ndef interpretaciones(f: FProp) -> list[Interpretacion]:\n    vs = list(set(variables(f)))\n    return [list(zip(vs, i)) for i in interpretacionesVar(len(vs))]\n<\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Esta semana he publicado en Exercitium las soluciones de los siguientes problemas: 1. El tipo de las listas 2. El tipo de los \u00e1rboles binarios 3. El tipo de las f\u00f3rmulas proposicionales: Variables de una f\u00f3rmula 4. El tipo de las f\u00f3rmulas proposicionales: Valor de una f\u00f3rmula 5. 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