{"id":6328,"date":"2018-11-15T19:02:53","date_gmt":"2018-11-15T18:02:53","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/?p=6328"},"modified":"2018-11-16T17:52:56","modified_gmt":"2018-11-16T16:52:56","slug":"ra2018-razonamiento-automatico-sobre-programas-en-isabelle-hol","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/ra2018-razonamiento-automatico-sobre-programas-en-isabelle-hol\/","title":{"rendered":"RA2018: Razonamiento autom\u00e1tico sobre programas en Isabelle\/HOL"},"content":{"rendered":"<p>En la primera parte de la clase de hoy del curso de <a href=\"http:\/\/www.cs.us.es\/~jalonso\/cursos\/m-ra-18\">Razonamiento autom\u00e1tico<\/a> se han comentado las soluciones de los ejercicios de la <a href=\"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/RA2018\/index.php\/R1\">1\u00aa relaci\u00f3n<\/a>.<\/p>\n<p>En la segunda parte, se ha estudiado c\u00f3mo se pueden demostrar manualmente propiedades de programas Haskell. Para ello, se han usado las <a href=\"http:\/\/www.cs.us.es\/~jalonso\/cursos\/i1m-16\/temas\/tema-8.pdf\">transparencias del tema 8<\/a> del curso de <a href=\"https:\/\/www.cs.us.es\/~jalonso\/cursos\/i1m-16\/\">Inform\u00e1tica<\/a> (de 1\u00ba del Grado en Matem\u00e1tica). Como lectura complementaria se recomienda el cap\u00edtulo 13 del libro de G. Hutton <a href=\"http:\/\/bit.ly\/1gMqK0X\">Programming in Haskell<\/a>.<\/p>\n<p>A continuaci\u00f3n se ha explicado c\u00f3mo demostrar autom\u00e1ticamente las propiedades anteriores con Isabelle\/HOL.<\/p>\n<p>El enunciado de las propiedades es inmediato: basta escribir la palabra <strong>lemma<\/strong> y a continuaci\u00f3n la propiedad entre comillas dobles; por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"isar\">\nlemma \"longitud (repite n x) = n\"\n<\/pre>\n<p>Tambi\u00e9n se puede poner un nombre al lema, por ejemplo,<\/p>\n<pre lang=\"isar\">\nlemma inversaAcAux_es_inversa:\n  \"inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys\"\n<\/pre>\n<p>La demostraci\u00f3n es la palabra <strong>by<\/strong> seguida por el m\u00e9todo de demostraci\u00f3n. Los m\u00e9todos que hemos usado son<\/p>\n<ul>\n<li><strong>by simp<\/strong>: que es el m\u00e9todo de simplificaci\u00f3n por reescritura,<\/li>\n<li><strong>by (induct x) auto<\/strong>: que es por inducci\u00f3n en x (donde x es un n\u00famero natural o una lista) y simplificaci\u00f3n autom\u00e1tica de ambos casos,<\/li>\n<li><strong>by (induct rule: fn.induct) auto<\/strong>: que es por inducci\u00f3n seg\u00fan la definici\u00f3n de la funci\u00f3n fn y simplificaci\u00f3n autom\u00e1tica de todos los casos, <\/li>\n<li><strong>by (simp add: lema_auxiliar)<\/strong>: que es el m\u00e9todo de simplificaci\u00f3n por reescritura a\u00f1adi\u00e9ndole a las reglas de reescritura la correspondiente al lema_auxiliar,<\/li>\n<\/ul>\n<p>La teor\u00eda con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:<br \/>\n<!--more--><\/p>\n<pre lang=\"isar\">\nchapter {* Tema 2: Razonamiento autom\u00e1tico sobre programas en Isabelle\/HOL *}\n\ntheory T2b_Razonamiento_automatico_sobre_programas_en_IsabelleHOL\nimports Main \nbegin\n\ntext {* \n  En este tema se demuestra con Isabelle las propiedades de los\n  programas funcionales como se expone en el tema 8 del curso\n  \"Inform\u00e1tica\" que puede leerse en http:\/\/goo.gl\/Imvyt *}\n\ntext {*\n  Se usar\u00e1n nombres cortos. *}\n  \ndeclare [[names_short]]\n\nsection {* Razonamiento ecuacional *}\n\ntext {* ----------------------------------------------------------------\n  Ejemplo 1. Definir, por recursi\u00f3n, la funci\u00f3n\n     longitud :: 'a list \u21d2 nat\n  tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,\n     longitud [a,b,a] = 3\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\nfun longitud :: \"'a list \u21d2 nat\" where\n  \"longitud []     = 0\"\n| \"longitud (x#xs) = 1 + longitud xs\"\n   \nvalue \"longitud [a,b,a] = 3\"\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 2. Demostrar que \n     longitud [a,b,a] = 3\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\nlemma \"longitud [a,b,a] = 3\"\n  by simp\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 3. Definir la funci\u00f3n\n     fun intercambia :: 'a \u00d7 'b \u21d2 'b \u00d7 'a\n  tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las\n  componentes del par p. Por ejemplo,\n     intercambia (u,v) = (v,u)\n  ------------------------------------------------------------------ *}\n\nfun intercambia :: \"'a \u00d7 'b \u21d2 'b \u00d7 'a\" where\n  \"intercambia (x,y) = (y,x)\"\n\nvalue \"intercambia (u,v) = (v,u)\"\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 4. (p.6) Demostrar que \n     intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\nlemma \"intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)\"\n  by simp\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 5. Definir, por recursi\u00f3n, la funci\u00f3n\n     inversa :: 'a list \u21d2 'a list\n  tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los\n  elementos de xs. Por ejemplo,\n     inversa [a,d,c] = [c,d,a]\n  ------------------------------------------------------------------ *}\n\nfun inversa :: \"'a list \u21d2 'a list\" where\n  \"inversa []     = []\"\n| \"inversa (x#xs) = inversa xs @ [x]\"\n\nvalue \"inversa [a,d,c] = [c,d,a]\"\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 6. (p. 9) Demostrar que \n     inversa [x] = [x]\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\nlemma \"inversa [x] = [x]\"\n  by simp\n\nsection {* Razonamiento por inducci\u00f3n sobre los naturales *}\n\ntext {*\n  [Principio de inducci\u00f3n sobre los naturales] Para demostrar una\n  propiedad P para todos los n\u00fameros naturales basta probar que el 0\n  tiene la propiedad P y que si n tiene la propiedad P, entonces n+1\n  tambi\u00e9n la tiene.  \n     \u27e6P 0; \u22c0n. P n \u27f9 P (Suc n)\u27e7 \u27f9 P m\n\n  En Isabelle el principio de inducci\u00f3n sobre los naturales est\u00e1\n  formalizado en el teorema nat.induct y puede verse con\n     thm nat.induct\n*}\n\nthm nat.induct\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 7. Definir la funci\u00f3n\n     repite :: nat \u21d2 'a \u21d2 'a list\n  tal que (repite n x) es la lista formada por n copias del elemento\n  x. Por ejemplo, \n     repite 3 a = [a,a,a]\n  ------------------------------------------------------------------ *}\n\nfun repite :: \"nat \u21d2 'a \u21d2 'a list\" where\n  \"repite 0 x       = []\"\n| \"repite (Suc n) x = x # (repite n x)\"\n\nvalue \"repite 3 a = [a,a,a]\"\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 8. (p. 18) Demostrar que \n     longitud (repite n x) = n\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\n(* 1\u00aa demostraci\u00f3n (procedimental) *)  \nlemma \"longitud (repite n x) = n\"\n  apply (induct n)\n   apply auto\n  done\n\n(* 2\u00aa demostraci\u00f3n (declarativa) *)  \nlemma \"longitud (repite n x) = n\"\n  by (induct n) auto\n\nsection {* Razonamiento por inducci\u00f3n sobre listas *}\n\ntext {*\n  Para demostrar una propiedad para todas las listas basta demostrar\n  que la lista vac\u00eda tiene la propiedad y que al a\u00f1adir un elemento a\n  una lista que tiene la propiedad se obtiene otra lista que tambi\u00e9n\n  tiene la propiedad. \n\n  En Isabelle el principio de inducci\u00f3n sobre listas est\u00e1 formalizado\n  mediante el teorema list.induct que puede verse con \n     thm list.induct\n*}\n\nthm list.induct\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 9. Definir la funci\u00f3n\n     conc :: 'a list \u21d2 'a list \u21d2 'a list\n  tal que (conc xs ys) es la concatenci\u00f3n de las listas xs e ys. Por\n  ejemplo, \n     conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c]\n  ------------------------------------------------------------------ *}\n\nfun conc :: \"'a list \u21d2 'a list \u21d2 'a list\" where\n  \"conc []     ys = ys\"\n| \"conc (x#xs) ys = x # (conc xs ys)\"\n\nvalue \"conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c]\"\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 10. (p. 24) Demostrar que \n     conc xs (conc ys zs) = (conc xs ys) zs\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\n(* 1\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs\"\n  apply (induct xs) \n   apply auto\n  done\n\n(* 2\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs\"\n  by (induct xs) auto\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 11. Refutar que \n     conc xs ys = conc ys xs\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\nlemma \"conc xs ys = conc ys xs\"\n  quickcheck\n  oops\n\ntext {* Encuentra el contraejemplo, \n  xs = [a2]\n  ys = [a1] *}\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 12. (p. 28) Demostrar que \n     conc xs [] = xs\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\n(* 1\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"conc xs [] = xs\"\n  apply (induct xs) \n   apply auto\n  done\n\n(* 2\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"conc xs [] = xs\"\n  by (induct xs) auto\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 13. (p. 30) Demostrar que \n     longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\n(* 1\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys\"\n  apply (induct xs) \n   apply auto\n  done\n\n(* 2\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys\"\n  by (induct xs) auto\n\nsection {* Inducci\u00f3n correspondiente a la definici\u00f3n recursiva *}\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 14. Definir la funci\u00f3n\n     coge :: nat \u21d2 'a list \u21d2 'a list\n  tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por \n  ejemplo, \n     coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c]\n  ------------------------------------------------------------------ *}\n\nfun coge :: \"nat \u21d2 'a list \u21d2 'a list\" where\n  \"coge n []           = []\"\n| \"coge 0 xs           = []\"\n| \"coge (Suc n) (x#xs) = x # (coge n xs)\"\n\nvalue \"coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c]\"\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 15. Definir la funci\u00f3n\n     elimina :: nat \u21d2 'a list \u21d2 'a list\n  tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando los n primeros\n  elementos de xs. Por ejemplo, \n     elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e]\n  ------------------------------------------------------------------ *}\n\nfun elimina :: \"nat \u21d2 'a list \u21d2 'a list\" where\n  \"elimina n []           = []\"\n| \"elimina 0 xs           = xs\"\n| \"elimina (Suc n) (x#xs) = elimina n xs\"\n\nvalue \"elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e]\"\n\ntext {* \n  La definici\u00f3n coge genera el esquema de inducci\u00f3n coge.induct:\n     \u27e6\u22c0n. P n []; \n      \u22c0x xs. P 0 (x#xs); \n      \u22c0n x xs. P n xs \u27f9 P (Suc n) (x#xs)\u27e7\n     \u27f9 P n x\n\n  Puede verse usando \"thm coge.induct\". *}\n\nthm coge.induct\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 16. (p. 35) Demostrar que \n     conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\n(* 1\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs\"\n  apply (induct rule: coge.induct) \n    apply auto\n  done\n\n(* 2\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs\"\n  by (induct rule: coge.induct) auto\n\nsection {* Razonamiento por casos *}\n\ntext {*\n  Distinci\u00f3n de casos sobre listas:\n  \u00b7 El m\u00e9todo de distinci\u00f3n de casos se activa con (cases xs) donde xs\n    es del tipo lista. \n  \u00b7 \"case Nil\" es una abreviatura de \n       \"assume Nil: xs =[]\".\n  \u00b7 \"case Cons\" es una abreviatura de \n       \"fix ? ?? assume Cons: xs = ? # ??\"\n    donde ? y ?? son variables an\u00f3nimas. *}\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 17. Definir la funci\u00f3n\n     esVacia :: 'a list \u21d2 bool\n  tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vac\u00eda. Por ejemplo,\n     esVacia []  = True\n     esVacia [a] = False\n  ------------------------------------------------------------------ *}\n\nfun esVacia :: \"'a list \u21d2 bool\" where\n  \"esVacia []     = True\"\n| \"esVacia (x#xs) = False\"\n\nvalue \"esVacia []  = True\"\nvalue \"esVacia [a] = False\"\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 18 (p. 39) . Demostrar que \n     esVacia xs = esVacia (conc xs xs)\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\n(* 1\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"esVacia xs = esVacia (conc xs xs)\"\n  apply (cases xs) \n   apply auto\n  done\n\n(* 2\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"esVacia xs = esVacia (conc xs xs)\"\n  by (cases xs) auto\n\nsection {* Heur\u00edstica de generalizaci\u00f3n *}\n\ntext {* \n  Heur\u00edstica de generalizaci\u00f3n: Cuando se use demostraci\u00f3n estructural,\n  cuantificar universalmente las variables libres (o, equivalentemente,\n  considerar las variables libres como variables arbitrarias). *}\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 19. Definir la funci\u00f3n\n     inversaAc :: 'a list \u21d2 'a list\n  tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando\n  acumuladores. Por ejemplo, \n     inversaAc [a,c,b,e] = [e,b,c,a]\n  ------------------------------------------------------------------ *}\n\nfun inversaAcAux :: \"'a list \u21d2 'a list \u21d2 'a list\" where\n  \"inversaAcAux [] ys     = ys\"\n| \"inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)\"\n\nfun inversaAc :: \"'a list \u21d2 'a list\" where\n  \"inversaAc xs = inversaAcAux xs []\"\n\nvalue \"inversaAc [a,c,b,e] = [e,b,c,a]\"\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 20. (p. 44) Demostrar que \n     inversaAcAux xs ys = (inversa xs) @ ys\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\n(* 1\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma inversaAcAux_es_inversa1:\n  \"inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys\"\n  apply (induct xs arbitrary: ys) \n   apply auto\n  done\n\n(* 2\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma inversaAcAux_es_inversa:\n  \"inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys\"\n  by (induct xs arbitrary: ys) auto\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 21. (p. 43) Demostrar que \n     inversaAc xs = inversa xs\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\ncorollary \"inversaAc xs = inversa xs\"\n  by (simp add: inversaAcAux_es_inversa)\n\nsection {* Demostraci\u00f3n por inducci\u00f3n para funciones de orden superior *}\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 22. Definir la funci\u00f3n\n     sum :: nat list \u21d2 nat\n  tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo,\n     sum [3,2,5] = 10\n  ------------------------------------------------------------------ *}\n\nfun sum :: \"nat list \u21d2 nat\" where\n  \"sum []     = 0\"\n| \"sum (x#xs) = x + sum xs\"\n\nvalue \"sum [3,2,5] = 10\"\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 23. Definir la funci\u00f3n\n     map :: ('a \u21d2 'b) \u21d2 'a list \u21d2 'b list\n  tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la funci\u00f3n f a los\n  elementos de xs. Por ejemplo,\n     map (\u03bbx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10]\n  ------------------------------------------------------------------ *}\n\nfun map :: \"('a \u21d2 'b) \u21d2 'a list \u21d2 'b list\" where\n  \"map f []     = []\"\n| \"map f (x#xs) = (f x) # map f xs\"\n\nvalue \"map (\u03bbx. 2*x) [3::nat,2,5] = [6,4,10]\"\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 24. (p. 45) Demostrar que \n     sum (map (\u03bbx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs)\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\n(* 1\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"sum (map (\u03bbx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs)\"\n  apply (induct xs) \n   apply auto\n  done\n\n(* 2\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"sum (map (\u03bbx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs)\"\n  by (induct xs) auto\n\ntext {* --------------------------------------------------------------- \n  Ejemplo 25. (p. 48) Demostrar que \n     longitud (map f xs) = longitud xs\n  ------------------------------------------------------------------- *}\n\n(* 1\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"longitud (map f xs) = longitud xs\"\n  apply (induct xs) \n   apply auto\n  done\n\n(* 2\u00aa demostraci\u00f3n *)  \nlemma \"longitud (map f xs) = longitud xs\"\n  by (induct xs) auto\n\nsection {* Referencias *}\n\ntext {*\n  \u00b7 J.A. Alonso. \"Razonamiento sobre programas\" http:\/\/goo.gl\/R06O3\n  \u00b7 G. Hutton. \"Programming in Haskell\". Cap. 13 \"Reasoning about\n    programms\". http:\/\/bit.ly\/1gMqK0X \n  \u00b7 S. Thompson. \"Haskell: the Craft of Functional Programming, 3rd\n    Edition. Cap. 8 \"Reasoning about programms\". \n  \u00b7 L. Paulson. \"ML for the Working Programmer, 2nd Edition\". Cap. 6. \n    \"Reasoning about functional programs\". http:\/\/bit.ly\/1gMqFKI\n*}\n\nend\n<\/pre>\n<p>Como tarea se propuso la resoluci\u00f3n de los ejercicios de la <a href=\"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/RA2018\/index.php\/R2\">2\u00aa relaci\u00f3n<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En la primera parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento autom\u00e1tico se han comentado las soluciones de los ejercicios de la 1\u00aa relaci\u00f3n. En la segunda parte, se ha estudiado c\u00f3mo se pueden demostrar manualmente propiedades de programas Haskell. 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