{"id":5941,"date":"2018-02-20T16:14:37","date_gmt":"2018-02-20T15:14:37","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/?p=5941"},"modified":"2018-02-20T16:14:37","modified_gmt":"2018-02-20T15:14:37","slug":"lmf2017-consecuencia-logica-y-demostrabilidad","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/lmf2017-consecuencia-logica-y-demostrabilidad\/","title":{"rendered":"LMF2017: Consecuencia l\u00f3gica y demostrabilidad"},"content":{"rendered":"<p>La clase de hoy del curso <a href=\"http:\/\/www.cs.us.es\/~jalonso\/cursos\/lmf-17\">L\u00f3gica matem\u00e1tica y fundamentos<\/a> ha empezado analizando el problema fundamental de los estudiados en el <a href=\"http:\/\/www.cs.us.es\/~jalonso\/cursos\/lmf-17\/temas\/tema-1.pdf\">tema 1<\/a> sobre la sintaxis y dem\u00e1tica de la l\u00f3gica proposicional. Dicho problema es el de la consecuencia l\u00f3gica (es decir, dado un conjunto de f\u00f3rmulas S y una f\u00f3rmula F decidir si F es consecuencia l\u00f3gica de S). En el caso proposicional dicho problema se puee resolver mediante tablas de verdad, pero este m\u00e9todo presenta dos inconvenientes: su complejidad exponencial y la imposibilidad de ampliarlo para l\u00f3gicas de primer orden.<\/p>\n<p>Como soluci\u00f3n al problema se coment\u00f3 la posibilidad de transformar el problema de consecuencia al de demostrabilidad de forma que F es consecuencia l\u00f3gica de S si, y s\u00f3lo si, se puede demostrar F a partir de S. El nuevo problema que se plantea es precisar qu\u00e9 es una demostraci\u00f3n.<\/p>\n<p>Ambos problemas, el verdad y el demostraci\u00f3n se manifiestan en la crisis de los fundamentos de la matem\u00e1ticas (como se ilustra en el libro de Morris Kline <a href=\"https:\/\/www.sigloxxieditores.com\/libro\/matematicas_17111\/\">Matem\u00e1ticas (La p\u00e9rdida de la certidumbre)<\/a>,<\/p>\n<p>En la aproximci\u00f3n al concepto de la demostraci\u00f3n hemos comentado algunas <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/List_of_long_mathematical_proofs\">demostraciones enormes<\/a>, como<\/p>\n<ul>\n<li>la de la <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Classification_of_finite_simple_groups\">clasificaci\u00f3n de los grupos finitos simples<\/a> que tiene m\u00e1s de 10.000 p\u00e1ginas,<\/li>\n<li>la del <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Four_color_theorem\">teorema de los 4 colores<\/a> que requiere el uso del ordenador para resolver algunos casos,<\/li>\n<li>la de la <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Kepler_conjecture\">conjetura de Kepler<\/a> que requiere a\u00fan m\u00e1s c\u00e1lculo por ordenador que la anterior.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Las dos \u00faltimas demostraciones han sido formalmente verificadas con ayuda de ordenador. La del teorema de los 4 colores fue verificada en 2005 por Benjamin Werner y Georges Gonthier usando <a href=\"https:\/\/coq.inria.fr\/\">Coq<\/a>. La conjetura de Kepler fue verificada en el <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/1501.02155\">proyecto Flyspec<\/a> usando los sistemas de demostraci\u00f3n <a href=\"http:\/\/www.cl.cam.ac.uk\/research\/hvg\/Isabelle\/index.html\">Isabelle<\/a> y <a href=\"http:\/\/www.cl.cam.ac.uk\/~jrh13\/hol-light\/\">HOL Light<\/a>.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s de las demostraciones enormes, hemos comentado las <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/List_of_incomplete_proofs\">demostraciones incorrectas<\/a>.  En dicha lista aparece inconsistencia de Frege en su libro sobre los fundamentos de la aritm\u00e9tica. Para explicar esta \u00faltima, y su relaci\u00f3n con los fundamentos de la programaci\u00f3n, hemos comentado las <a href=\"http:\/\/www.seas.upenn.edu\/~cis500\/current\/lectures\/lec01.pdf\">presentaci\u00f3n de Benjamin Peirce<\/a> especialmente las p\u00e1ginas 8 a 10 donde se comenta la inconsistencia de Frege.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La clase de hoy del curso L\u00f3gica matem\u00e1tica y fundamentos ha empezado analizando el problema fundamental de los estudiados en el tema 1 sobre la sintaxis y dem\u00e1tica de la l\u00f3gica proposicional. 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