{"id":3837,"date":"2013-11-21T20:17:04","date_gmt":"2013-11-21T19:17:04","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/?p=3837"},"modified":"2013-11-22T07:18:10","modified_gmt":"2013-11-22T06:18:10","slug":"ra2013-ejercicios-de-razonamiento-automatico-sobre-programas-con-isabellehol","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/ra2013-ejercicios-de-razonamiento-automatico-sobre-programas-con-isabellehol\/","title":{"rendered":"RA2013: Ejercicios de razonamiento autom\u00e1tico sobre programas con Isabelle\/HOL"},"content":{"rendered":"<p>En la primera parte de la clase de hoy del curso de <a href=\"http:\/\/www.cs.us.es\/~jalonso\/cursos\/m-ra-13\">Razonamiento autom\u00e1tico<\/a> se ha comentado las soluciones de la 2\u00aa relaci\u00f3n de ejercicios cuyo objetivo es demostrar autom\u00e1ticamente con Isabelle\/HOL propiedades de programas.<\/p>\n<p>Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuaci\u00f3n<\/p>\n<pre lang=\"isar\">\r\nheader {* R2: Razonamiento autom\u00e1tico sobre programas *}\r\n\r\ntheory R2\r\nimports Main \r\nbegin\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 1. Definir la funci\u00f3n\r\n     sumaImpares :: nat \u21d2 nat\r\n  tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros n\u00fameros\r\n  impares. Por ejemplo,\r\n     sumaImpares 5  =  25\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun sumaImpares :: \"nat \u21d2 nat\" where\r\n  \"sumaImpares 0 = 0\"\r\n| \"sumaImpares (Suc n) = sumaImpares n + (2*n+1)\"\r\n\r\nvalue \"sumaImpares 5\" -- \"= 25\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 2. Demostrar que \r\n     sumaImpares n = n*n\r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\nlemma \"sumaImpares n = n*n\"\r\nby (induct n) auto\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 3. Definir la funci\u00f3n\r\n     sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat \u21d2 nat\r\n  tal que \r\n     (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. \r\n  Por ejemplo, \r\n     sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun sumaPotenciasDeDosMasUno :: \"nat \u21d2 nat\" where\r\n  \"sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2\"\r\n| \"sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = \r\n      sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(n+1)\"\r\n\r\nvalue \"sumaPotenciasDeDosMasUno 3\" -- \"= 16\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 4. Demostrar que \r\n     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)\r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\nlemma \"sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)\"\r\nby (induct n) auto\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 5. Definir la funci\u00f3n\r\n     copia :: nat \u21d2 'a \u21d2 'a list\r\n  tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento\r\n  x. Por ejemplo, \r\n     copia 3 x = [x,x,x]\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun copia :: \"nat \u21d2 'a \u21d2 'a list\" where\r\n  \"copia 0 x       = []\"\r\n| \"copia (Suc n) x = x # copia n x\"\r\n\r\nvalue \"copia 3 x\" -- \"= [x,x,x]\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 6. Definir la funci\u00f3n\r\n     todos :: ('a \u21d2 bool) \u21d2 'a list \u21d2 bool\r\n  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen\r\n  la propiedad p. Por ejemplo,\r\n     todos (\u03bbx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True\r\n     todos (\u03bbx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun todos :: \"('a \u21d2 bool) \u21d2 'a list \u21d2 bool\" where\r\n  \"todos p []     = True\"\r\n| \"todos p (x#xs) = (p x \u2227 todos p xs)\"\r\n\r\nvalue \"todos (\u03bbx. x>(1::nat)) [2,6,4]\" -- \"= True\"\r\nvalue \"todos (\u03bbx. x>(2::nat)) [2,6,4]\" -- \"= False\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son\r\n  iguales a x. \r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\nlemma \"todos (\u03bby. y=x) (copia n x)\"\r\nby (induct n) auto\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 8. Definir la funci\u00f3n\r\n    factR :: nat \u21d2 nat\r\n  tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,\r\n    factR 4 = 24\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun factR :: \"nat \u21d2 nat\" where\r\n  \"factR 0       = 1\"\r\n| \"factR (Suc n) = Suc n * factR n\"\r\n\r\nvalue \"factR 4\" -- \"= 24\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 9. Se considera la siguiente definici\u00f3n iterativa de la\r\n  funci\u00f3n factorial \r\n     factI :: \"nat \u21d2 nat\" where\r\n     factI n = factI' n 1\r\n     \r\n     factI' :: nat \u21d2 nat \u21d2 nat\" where\r\n     factI' 0       x = x\r\n     factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x\r\n  Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene \r\n     factI' n x = x * factR n\r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\nfun factI' :: \"nat \u21d2 nat \u21d2 nat\" where\r\n  \"factI' 0       x = x\"\r\n| \"factI' (Suc n) x = factI' n (x * Suc n)\"\r\n\r\nfun factI :: \"nat \u21d2 nat\" where\r\n  \"factI n = factI' n 1\"\r\n\r\nvalue \"factI 4\" -- \"= 24\"\r\n\r\nlemma fact: \r\n  \"factI' n x = x * factR n\"\r\nby (induct n arbitrary: x) \r\n   (auto simp del: mult_Suc)\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 10. Demostrar que\r\n     factI n = factR n\r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\ncorollary \"factI n = factR n\"\r\nby (simp add: fact)\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 11. Definir, recursivamente y sin usar (@), la funci\u00f3n\r\n     amplia :: 'a list \u21d2 'a \u21d2 'a list\r\n  tal que (amplia xs y) es la lista obtenida a\u00f1adiendo el elemento y al\r\n  final de la lista xs. Por ejemplo,\r\n     amplia [d,a] t = [d,a,t]\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun amplia :: \"'a list \u21d2 'a \u21d2 'a list\" where\r\n  \"amplia []     y = [y]\"\r\n| \"amplia (x#xs) y = x # amplia xs y\"\r\n\r\nvalue \"amplia [d,a] t\" -- \"= [d,a,t]\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 12. Demostrar que \r\n     amplia xs y = xs @ [y]\r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\nlemma \"amplia xs y = xs @ [y]\"\r\nby (induct xs) auto\r\n\r\nend\r\n<\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En la primera parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento autom\u00e1tico se ha comentado las soluciones de la 2\u00aa relaci\u00f3n de ejercicios cuyo objetivo es demostrar autom\u00e1ticamente con Isabelle\/HOL propiedades de programas. 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