{"id":2015,"date":"2012-04-06T05:02:22","date_gmt":"2012-04-06T05:02:22","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/?p=2015"},"modified":"2013-09-22T18:24:21","modified_gmt":"2013-09-22T16:24:21","slug":"limites-de-sucesiones-y-tipos-de-numeros-en-haskell","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/limites-de-sucesiones-y-tipos-de-numeros-en-haskell\/","title":{"rendered":"L\u00edmites de sucesiones y tipos de n\u00fameros en Haskell"},"content":{"rendered":"<p>En Haskell se dispone de tres tipos para trabajar con los n\u00fameros racionales: dos como n\u00fameros aproximados (<a href=\"http:\/\/bit.ly\/HgMtbE\">Float<\/a> y <a href=\"http:\/\/bit.ly\/HgMFrn\">Double<\/a>) y uno como n\u00fameros exactos (<a href=\"http:\/\/bit.ly\/HgMPiA\">Rational<\/a>). En este ejemplo veremos c\u00f3mo el uso de n\u00fameros aproximados puede conducir a falsas conjeturas sobre l\u00edmites de  sucesiones que pueden refutarse con el uso de los n\u00fameros exactos. Para ello consideraremos tres definiciones de la sucesi\u00f3n <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=u&#038;bg=ffffff&#038;fg=000&#038;s=0&#038;c=20201002\" alt=\"u\" class=\"latex\" \/>:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+++++u_0+%3D+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%5C%5C+%5C%5C+++++u_1+%3D+%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D+%5C%5C+%5C%5C+++++u_%7Bn%7D+%3D+2003+-+%5Cfrac%7B6002%7D%7Bu_%7Bn-1%7D%7D+%2B+%5Cfrac%7B4000%7D%7Bu_%7Bn-1%7D+%5Ccdot+u_%7Bn-2%7D%7D%2C+++++++++%5Cmbox%7B+para+%7D+n+%5Cgeq+2+++++%5Cend%7Barray%7D++&#038;bg=ffffff&#038;fg=000&#038;s=0&#038;c=20201002\" alt=\"&#92;begin{array}{l}     u_0 = &#92;frac{3}{2} &#92;&#92; &#92;&#92;     u_1 = &#92;frac{5}{3} &#92;&#92; &#92;&#92;     u_{n} = 2003 - &#92;frac{6002}{u_{n-1}} + &#92;frac{4000}{u_{n-1} &#92;cdot u_{n-2}},         &#92;mbox{ para } n &#92;geq 2     &#92;end{array}  \" class=\"latex\" \/><\/p>\n<p>usando en cada caso uno de los tipos y conjeturando el l\u00edmite de la sucesi\u00f3n.<br \/>\n<!--more--><\/p>\n<pre lang=\"haskell\">\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n-- \u00a7 Librer\u00eda auxiliar                                                --\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n\r\nimport Data.Ratio\r\n\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n-- Ejercicio 1. Definir la funci\u00f3n\r\n--    u :: Int -> Float\r\n-- tal que (u n) es el n-\u00e9simo t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n u.\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n\r\nu :: Int -> Float\r\nu 0 = 3\/2\r\nu 1 = 5\/3\r\nu n = 2003 - 6002\/(u (n-1)) + 4000\/((u (n-1))*(u (n-2)))\r\n\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n-- Ejercicio 2. Calcular los 10 primeros t\u00e9rminos de la sucesi\u00f3n u y\r\n-- conjeturar el l\u00edmite de la sucesi\u00f3n u.\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n\r\n-- El c\u00e1lculo es\r\n--    ghci> [(n, u n) | n <- [0..9]]\r\n--    [(0,   1.5),\r\n--     (1,   1.6666666),\r\n--     (2,   1.7998047),\r\n--     (3,   1.6717529),\r\n--     (4,-257.8224),\r\n--     (5,2016.9991),\r\n--     (6,2000.0166),\r\n--     (7,2000.0),\r\n--     (8,2000.0),\r\n--     (9,2000.0)]\r\n\r\n-- A partir de lo anterior, la conjetura es que el l\u00edmite de la sucesi\u00f3n\r\n-- es 2.000\r\n\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n-- Ejercicio 3. Definir la funci\u00f3n\r\n--    u' :: Int -> Float\r\n-- tal que (u' n) es el n-\u00e9simo t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n u.\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n\r\nu' :: Int -> Double\r\nu' 0 = 3\/2\r\nu' 1 = 5\/3\r\nu' n = 2003 - 6002\/(u' (n-1)) + 4000\/((u' (n-1))*(u' (n-2)))\r\n\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n-- Ejercicio 4. Calcular los 10 primeros t\u00e9rminos de la sucesi\u00f3n u' y\r\n-- conjeturar el l\u00edmite de la sucesi\u00f3n u.\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n\r\n-- El c\u00e1lculo es\r\n--    ghci> [(n, u' n) | n <- [0..9]]\r\n--    [(0,1.5),\r\n--     (1,   1.6666666666666667),\r\n--     (2,   1.800000000000182),\r\n--     (3,   1.8888888890910494),\r\n--     (4,   1.941176684634911),\r\n--     (5,   1.9699174994632358),\r\n--     (6,   2.2085111769288233),\r\n--     (7, 204.74869262199354),\r\n--     (8,1982.5318590274205),\r\n--     (9,1999.9824122480152)]\r\n\r\n-- A partir de lo anterior, la conjetura es que el l\u00edmite de la sucesi\u00f3n\r\n-- es 2.000\r\n\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n-- Ejercicio 5. Definir la funci\u00f3n\r\n--    u'' :: Int -> Float\r\n-- tal que (u'' n) es el n-\u00e9simo t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n u.\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n\r\nu'' :: Int -> Rational\r\nu'' 0 = 3 % 2\r\nu'' 1 = 5 % 3\r\nu'' n = 2003 - 6002\/(u'' (n-1)) + 4000\/((u'' (n-1))*(u'' (n-2)))\r\n\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n-- Ejercicio 6. Calcular el valor decimal  de los 10 primeros t\u00e9rminos\r\n-- de la sucesi\u00f3n u'' y conjeturar el l\u00edmite de la sucesi\u00f3n u.\r\n-- ---------------------------------------------------------------------\r\n\r\n-- El c\u00e1lculo es\r\n--    ghci> [(n, fromRational (u'' n)) | n <- [0..9]]\r\n--    [(0,1.5),\r\n--     (1,1.6666666666666667),\r\n--     (2,1.8),\r\n--     (3,1.8888888888888888),\r\n--     (4,1.9411764705882353),\r\n--     (5,1.9696969696969697),\r\n--     (6,1.9846153846153847),\r\n--     (7,1.9922480620155039),\r\n--     (8,1.9961089494163424),\r\n--     (9,1.9980506822612085)]\r\n\r\n-- A partir de lo anterior, la conjetura es que el l\u00edmite de la sucesi\u00f3n\r\n-- es 2.\r\n<\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En Haskell se dispone de tres tipos para trabajar con los n\u00fameros racionales: dos como n\u00fameros aproximados (Float y Double) y uno como n\u00fameros exactos (Rational). En este ejemplo veremos c\u00f3mo el uso de n\u00fameros aproximados puede conducir a falsas conjeturas sobre l\u00edmites de sucesiones que pueden refutarse con el uso de los n\u00fameros exactos&#8230;.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[5],"tags":[270],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":false,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2015"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2015"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2015\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3678,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2015\/revisions\/3678"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2015"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2015"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2015"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}