{"id":1344,"date":"2011-03-17T20:31:48","date_gmt":"2011-03-17T20:31:48","guid":{"rendered":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/?p=1344"},"modified":"2011-05-21T09:38:06","modified_gmt":"2011-05-21T09:38:06","slug":"dao2011-ejercicios-de-razonamiento-sobre-programas-con-isabelle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/dao2011-ejercicios-de-razonamiento-sobre-programas-con-isabelle\/","title":{"rendered":"DAO2011: Ejercicios de razonamiento sobre programas con Isabelle"},"content":{"rendered":"<p>En la clase de hoy del curso de <a href=\"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/DAO2011\">Demostraci\u00f3n asistida por ordenador<\/a> se han comentado las soluciones propuestas por los alumnos a los ejercicios de demostraci\u00f3n con Isabelle de propiedades de programas funcionales.<\/p>\n<p>La teor\u00eda correspondiente a la clase es <a href=\"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/DAO2011\/index.php5\/Rel_1\">Relacion_1.thy<\/a> cuyo contenido se muestra a continuaci\u00f3n<br \/>\n<!--more--><\/p>\n<pre lang=\"isar\">\r\nheader {* Razonamiento en Isabelle sobre programas *}\r\n\r\ntheory Tema_2_ej_sol\r\nimports Main Efficient_Nat\r\nbegin\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 1. Definir la funci\u00f3n\r\n     sumaImpares :: \"nat \u21d2 nat\"\r\n  tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros n\u00fameros\r\n  impares. Por ejemplo,\r\n     sumaImpares 5  =  25\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun sumaImpares :: \"nat \u21d2 nat\" where\r\n  \"sumaImpares 0 = 0\"\r\n| \"sumaImpares (Suc n) = sumaImpares n + (2*n+1)\"\r\n\r\nvalue \"sumaImpares 5\" -- \"= 25\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 2. Demostrar que \r\n     sumaImpares n = n*n\r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\nlemma \"sumaImpares n = n*n\"\r\nby (induct n) auto\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 3. Definir la funci\u00f3n\r\n     sumaPotenciasDeDosMasUno :: \"nat \u21d2 nat\"\r\n  tal que \r\n     (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. \r\n  Por ejemplo, \r\n     sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun sumaPotenciasDeDosMasUno :: \"nat \u21d2 nat\" where\r\n  \"sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2\"\r\n| \"sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = \r\n      sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(n+1)\"\r\n\r\nvalue \"sumaPotenciasDeDosMasUno 3\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 4. Demostrar que \r\n     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)\r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\nlemma \"sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)\"\r\nby (induct n) auto\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 5. Definir la funci\u00f3n\r\n     copia :: \"nat \u21d2 'a \u21d2 'a list\"\r\n  tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento\r\n  x. Por ejemplo, \r\n     copia 3 2 = [2,2,2]\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun copia :: \"nat \u21d2 'a \u21d2 'a list\" where\r\n  \"copia 0 x       = []\"\r\n| \"copia (Suc n) x = x # copia n x\"\r\n\r\nvalue \"copia 3 2\" -- \"= [2,2,2]\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 6. Definir la funci\u00f3n\r\n     todos :: \"('a \u21d2 bool) \u21d2 'a list \u21d2 bool\"\r\n  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen\r\n  la propiedad p. Por ejemplo,\r\n     todos (\u03bbx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True\r\n     todos (\u03bbx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False\r\n  Nota; La conjunci\u00f3n se representa por \u2227\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun todos :: \"('a \u21d2 bool) \u21d2 'a list \u21d2 bool\" where\r\n  \"todos p []     = True\"\r\n| \"todos p (x#xs) = (p x \u2227 todos p xs)\"\r\n\r\nvalue \"todos (\u03bbx. x>(1::nat)) [2,6,4]\" -- \"= True\"\r\nvalue \"todos (\u03bbx. x>(2::nat)) [2,6,4]\" -- \"= False\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son\r\n  iguales a x. \r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\nlemma \"todos (\u03bby. y=x) (copia n x)\"\r\nby (induct n) auto\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 8. Definir la funci\u00f3n\r\n    factR :: \"nat \u21d2 nat\"\r\n  tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,\r\n    factR 4  =  24\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun factR :: \"nat \u21d2 nat\" where\r\n  \"factR 0 = 1\"\r\n| \"factR (Suc n) = Suc n * factR n\"\r\n\r\nvalue \"factR 4\" -- \"= 24\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 9. Se considera la siguiente definici\u00f3n iterativa de la\r\n  funci\u00f3n factorial \r\n     factI :: Integer -> Integer\r\n     factI n = factI' n 1\r\n     \r\n     factI' :: Integer -> Integer -> Integer\r\n     factI' 0     x = x                  -- factI'.1\r\n     factI' (n+1) x = factI' n (n+1)*x   -- factI'.2\r\n  Comprobar con QuickCheck que factI y factR son equivalentes sobre los\r\n  n\u00fameros naturales.\r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\nfun factI' :: \"nat \u21d2 nat \u21d2 nat\" where\r\n  \"factI' 0       x = x\"\r\n| \"factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x\"\r\n\r\nfun factI :: \"nat \u21d2 nat\" where\r\n  \"factI n = factI' n 1\"\r\n\r\nvalue \"factI 4\" -- \"= 24\"\r\n     \r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 10. Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene \r\n     factI' n x = x * factR n\r\n  y, como corolario, que\r\n     factI n = factR n\r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\nlemma fact: \"factI' n x = x * factR n\"\r\nby (induct n arbitrary: x) auto\r\n\r\ncorollary \"factI n = factR n\"\r\nby (simp add: fact)\r\n\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 12. Definir, recursivamente y sin usar (@). la funci\u00f3n\r\n     amplia :: \"'a list \u21d2 'a \u21d2 'a list\"\r\n  tal que (amplia xs y) es la lista obtenida a\u00f1adiendo el elemento y al\r\n  final de la lista xs. Por ejemplo,\r\n     amplia [2,5] 3 = [2,5,3]\r\n  ------------------------------------------------------------------ *}\r\n\r\nfun amplia :: \"'a list \u21d2 'a \u21d2 'a list\" where\r\n  \"amplia []     y = [y]\"\r\n| \"amplia (x#xs) y = x # amplia xs y\"\r\n\r\nvalue \"amplia [2,5] 3\" -- \"= [2,5,3]\"\r\n\r\ntext {* --------------------------------------------------------------- \r\n  Ejercicio 13. Demostrar que \r\n     amplia xs y = xs @ [y]\r\n  ------------------------------------------------------------------- *}\r\n\r\nlemma \"amplia xs y = xs @ [y]\"\r\nby (induct xs) auto\r\n\r\nend\r\n<\/pre>\n<p><\/source><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En la clase de hoy del curso de Demostraci\u00f3n asistida por ordenador se han comentado las soluciones propuestas por los alumnos a los ejercicios de demostraci\u00f3n con Isabelle de propiedades de programas funcionales. La teor\u00eda correspondiente a la clase es Relacion_1.thy cuyo contenido se muestra a continuaci\u00f3n<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_kad_post_transparent":"","_kad_post_title":"","_kad_post_layout":"","_kad_post_sidebar_id":"","_kad_post_content_style":"","_kad_post_vertical_padding":"","_kad_post_feature":"","_kad_post_feature_position":"","_kad_post_header":false,"_kad_post_footer":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"footnotes":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false},"categories":[165],"tags":[289],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":false,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1344"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1344"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1344\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1367,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1344\/revisions\/1367"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1344"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1344"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.glc.us.es\/~jalonso\/vestigium\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1344"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}