I1M2018: Relaciones binarias homogéneas con la librería de conjuntos de Haskell
En la tercera part de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han resuelto ejercicios de la relación 31 sobre relaciones binarias homogéneas usando la librería Data.Set de Haskell.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación de ejercicios es definir propiedades y -- operaciones sobre las relaciones binarias (homogéneas) usando la -- librería Data.Set. -- -- Como referencia se puede usar el artículo de la wikipedia -- http://bit.ly/HVHOPS -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.Set as S -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Una relación binaria S sobre un conjunto A se puede -- representar mediante la expresión (R xs ps) donde xs es el conjunto -- de los elementos de A (el universo de S) y ps es el conjunto de pares -- de S (el grafo de S). Definir el tipo de dato (Rel a) para -- representar las relaciones binarias sobre a. -- --------------------------------------------------------------------- data Rel a = R (Set a) (Set (a,a)) deriving Show -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. En los ejemplos usaremos las siguientes relaciones binarias: -- r1, r2, r3 :: Rel Int -- r1 = R (fromList [1..9]) (fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)]) -- r2 = R (fromList [1..9]) (fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)]) -- r3 = R (fromList [1..9]) (fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- r1, r2, r3 :: Rel Int r1 = R (fromList [1..9]) (fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)]) r2 = R (fromList [1..9]) (fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)]) r3 = R (fromList [1..9]) (fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- universo :: Ord a => Rel a -> Set a -- tal que (universo r) es el universo de la relación r. Por ejemplo, -- universo r1 == fromList [1,2,3,4,5,6,7,8,9] -- --------------------------------------------------------------------- universo :: Ord a => Rel a -> Set a universo (R u _) = u -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- grafo :: Ord a => Rel a -> [(a,a)] -- tal que (grafo r) es el grafo de la relación r. Por ejemplo, -- grafo r1 == fromList [(1,3),(2,6),(2,7),(8,9)] -- --------------------------------------------------------------------- grafo :: Ord a => Rel a -> Set (a,a) grafo (R _ g) = g -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- reflexiva :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (reflexiva r) se verifica si la relación r es reflexiva. Por -- ejemplo, -- ghci> reflexiva (R (fromList [1,3]) (fromList [(1,1),(1,3),(3,3)])) -- True -- ghci> reflexiva (R (fromList [1,2,3]) (fromList [(1,1),(1,3),(3,3)])) -- False -- --------------------------------------------------------------------- reflexiva :: Ord a => Rel a -> Bool reflexiva (R u g) = and [(x,x) `member` g | x <- elems u] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- simetrica :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (simetrica r) se verifica si la relación r es simétrica. Por -- ejemplo, -- ghci> simetrica (R (fromList [1,3]) (fromList [(1,1),(1,3),(3,1)])) -- True -- ghci> simetrica (R (fromList [1,3]) (fromList [(1,1),(1,3),(3,2)])) -- False -- ghci> simetrica (R (fromList [1,3]) (fromList [])) -- True -- --------------------------------------------------------------------- simetrica :: Ord a => Rel a -> Bool simetrica (R _ g) = and [(y,x) `member` g | (x,y) <- elems g] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- subconjunto :: Ord a => Set a -> Set a -> Bool -- tal que (subconjunto c1 c2) se verifica si c1 es un subconjunto de -- c2. Por ejemplo, -- subconjunto (fromList [1,3]) (fromList [3,1,5]) == True -- subconjunto (fromList [3,1,5]) (fromList [1,3]) == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto :: Ord a => Set a -> Set a -> Bool subconjunto = isSubsetOf -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- composicion :: Ord a => Rel a -> Rel a -> Rel a -- tal que (composicion r s) es la composición de las relaciones r y -- s. Por ejemplo, -- ghci> let r1 = (R (fromList [1,2]) (fromList [(1,2),(2,2)])) -- ghci> let r2 = (R (fromList [1,2]) (fromList [(2,1)])) -- ghci> let r3 = (R (fromList [1,2]) (fromList [(1,1)])) -- ghci> composicion r1 r2 -- R (fromList [1,2]) (fromList [(1,1),(2,1)]) -- ghci> composicion r1 r3 -- R (fromList [1,2,3,4,5,6,7,8,9]) (fromList []) -- --------------------------------------------------------------------- composicion :: Ord a => Rel a -> Rel a -> Rel a composicion (R u g1) (R _ g2) = R u (fromList [(x,z) | (x,y1) <- elems g1, (y2,z) <- elems g2, y1 == y2]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- transitiva :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (transitiva r) se verifica si la relación r es transitiva. -- Por ejemplo, -- ghci> transitiva (R (fromList [1,3,5]) -- (fromList [(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)])) -- True -- ghci> transitiva (R (fromList [1,3,5]) -- (fromList [(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)])) -- False -- --------------------------------------------------------------------- transitiva :: Ord a => Rel a -> Bool transitiva r@(R _ g) = isSubsetOf (grafo (composicion r r)) g -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- esEquivalencia :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (esEquivalencia r) se verifica si la relación r es de -- equivalencia. Por ejemplo, -- ghci> esEquivalencia (R (fromList [1,3,5]) -- (fromList [(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)])) -- True -- ghci> esEquivalencia (R (fromList [1,2,3,5]) -- (fromList [(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)])) -- False -- ghci> esEquivalencia (R (fromList [1,3,5]) -- (fromList [(1,1),(1,3),(3,3),(5,5)])) -- False -- --------------------------------------------------------------------- esEquivalencia :: Ord a => Rel a -> Bool esEquivalencia r = reflexiva r && simetrica r && transitiva r -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- irreflexiva :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (irreflexiva r) se verifica si la relación r es irreflexiva; -- es decir, si ningún elemento de su universo está relacionado con -- él mismo. Por ejemplo, -- ghci> irreflexiva (R (fromList [1,2,3]) (fromList [(1,2),(2,1),(2,3)])) -- True -- ghci> irreflexiva (R (fromList [1,2,3]) (fromList [(1,2),(2,1),(3,3)])) -- False -- --------------------------------------------------------------------- irreflexiva :: Ord a => Rel a -> Bool irreflexiva (R u g) = and [(x,x) `notMember` g | x <- elems u] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- antisimetrica :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (antisimetrica r) se verifica si la relación r es -- antisimétrica; es decir, si (x,y) e (y,x) están relacionado, entonces -- x=y. Por ejemplo, -- antisimetrica (R (fromList [1,2]) (fromList [(1,2)])) == True -- antisimetrica (R (fromList [1,2]) (fromList [(1,2),(2,1)])) == False -- antisimetrica (R (fromList [1,2]) (fromList [(1,1),(2,1)])) == True -- --------------------------------------------------------------------- antisimetrica :: Ord a => Rel a -> Bool antisimetrica (R _ g) = [(x,y) | (x,y) <- elems g, x /= y, (y,x) `member` g] == [] -- Otra definición es antisimetrica2 :: Ord a => Rel a -> Bool antisimetrica2 (R u g) = and [ ((x,y) `member` g && (y,x) `member` g) --> (x == y) | x <- elems u, y <- elems u] where p --> q = not p || q -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- total :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (total r) se verifica si la relación r es total; es decir, si -- para cualquier par x, y de elementos del universo de r, se tiene que -- x está relacionado con y ó y está relacionado con x. Por ejemplo, -- total (fromList [1,3],fromList [(1,1),(3,1),(3,3)]) == True -- total (fromList [1,3],fromList [(1,1),(3,1)]) == False -- total (fromList [1,3],fromList [(1,1),(3,3)]) == False -- --------------------------------------------------------------------- total :: Ord a => Rel a -> Bool total (R u g) = and [(x,y) `member` g || (y,x) `member` g | x <- xs, y <- xs] where xs = elems u -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Comprobar con QuickCheck que las relaciones totales son -- reflexivas. -- --------------------------------------------------------------------- prop_total_reflexiva :: Rel Int -> Property prop_total_reflexiva r = total r ==> reflexiva r -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_total_reflexiva -- *** *** Gave up! Passed only 77 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Clausuras -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- clausuraReflexiva :: Ord a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraReflexiva r) es la clausura reflexiva de r; es -- decir, la menor relación reflexiva que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraReflexiva (fromList [1,3], fromList [(1,1),(3,1)]) -- (fromList [1,3],fromList [(1,1),(3,1),(3,3)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraReflexiva :: Ord a => Rel a -> Rel a clausuraReflexiva (R u g) = R u (g `union` fromList [(x,x) | x <- elems u]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Comprobar con QuickCheck que clausuraReflexiva es -- reflexiva. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraReflexiva :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraReflexiva r = reflexiva (clausuraReflexiva r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ClausuraReflexiva -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- clausuraSimetrica :: Ord a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraSimetrica r) es la clausura simétrica de r; es -- decir, la menor relación simétrica que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraSimetrica (R (fromList [1,3,5]) -- (fromList [(1,1),(3,1),(1,5)])) -- R (fromList [1,3,5]) (fromList [(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(5,1)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraSimetrica :: Ord a => Rel a -> Rel a clausuraSimetrica (R u g) = R u (g `union` fromList [(y,x) | (x,y) <- elems g]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Comprobar con QuickCheck que clausuraSimetrica es -- simétrica. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraSimetrica :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraSimetrica r = simetrica (clausuraSimetrica r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ClausuraSimetrica -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- clausuraTransitiva :: Ord a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraTransitiva r) es la clausura transitiva de r; es -- decir, la menor relación transitiva que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraTransitiva (R (fromList [1..6]) -- (fromList [(1,2),(2,5),(5,6)])) -- R (fromList [1,2,3,4,5,6]) -- (fromList [(1,2),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(5,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraTransitiva :: Ord a => Rel a -> Rel a clausuraTransitiva (R u g) = R u (aux g) where aux r | cerradoTr r = r | otherwise = aux (r `union` comp r r) cerradoTr r = isSubsetOf (comp r r) r comp r s = fromList [(x,z) | (x,y1) <- elems r, (y2,z) <- elems s, y1 == y2] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Comprobar con QuickCheck que clausuraTransitiva es -- transitiva. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraTransitiva :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraTransitiva r = transitiva (clausuraTransitiva r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_ClausuraTransitiva -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Generador de relaciones -- -- --------------------------------------------------------------------- -- genSet es un generador de relaciones binarias. Por ejemplo, -- ghci> sample genRel -- (fromList [0],fromList []) -- (fromList [-1,1],fromList [(-1,1)]) -- (fromList [-3,-2],fromList []) -- (fromList [-2,0,1,6],fromList [(0,0),(6,0)]) -- (fromList [-7,0,2],fromList [(-7,0),(2,0)]) -- (fromList [2,11],fromList [(2,2),(2,11),(11,2),(11,11)]) -- (fromList [-4,-2,1,4,5],fromList [(1,-2),(1,1),(1,5)]) -- (fromList [-4,-3,-2,6,7],fromList [(-3,-4),(7,-3),(7,-2)]) -- (fromList [-9,-7,0,10],fromList [(10,-9)]) -- (fromList [-10,3,8,10],fromList [(3,3),(10,-10)]) -- (fromList [-10,-9,-7,-6,-5,-4,-2,8,12],fromList []) genRel :: (Arbitrary a, Integral a) => Gen (Rel a) genRel = do xs <- listOf1 arbitrary ys <- listOf (elements [(x,y) | x <- xs, y <- xs]) return (R (fromList xs) (fromList ys)) instance (Arbitrary a, Integral a) => Arbitrary (Rel a) where arbitrary = genRel |