I1M2018: El TAD de los multiconjuntos mediante diccionarios en Haskell
En la tercera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han resuelto ejercicios de la relación 36 sobre los multiconjuntos mediante diccionarios.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Un multiconjunto es una colección de elementos en los que no importa -- el orden de los elementos, pero sí el número de veces en que -- aparecen. Por ejemplo, la factorización prima de un número se puede -- representar como un multiconjunto de números primos. -- -- El objetivo de esta relación de ejercicios es implementar el TAD de -- los multiconjuntos utilizando los diccionarios estudiados en el tema -- 29 https://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-18/temas/tema-29.html -- -- El manual, con ejemplos, de la librería Data.Map se encuentra en -- http://bit.ly/25B1na0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import qualified Data.Map as M -- --------------------------------------------------------------------- -- El tipo de dato de multiconjuntos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Un multiconjunto se puede representar mediante un diccionario donde -- las claves son los elementos del multiconjunto y sus valores sus -- números de ocurrencias. Por ejemplo, el multiconjunto -- {a, b, a, c, b, a, e} -- se representa por el diccionario -- [(a,3), (b,2), (c,1), (e,1)] type MultiConj a = M.Map a Int -- --------------------------------------------------------------------- -- Construcciones de multiconjuntos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la constante -- vacio :: MultiConj a -- para el multiconjunto vacío. Por ejemplo, -- vacio == fromList [] -- --------------------------------------------------------------------- vacio :: MultiConj a vacio = M.empty -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- unitario :: a -> MultiConj a -- tal que (unitario x) es el multiconjunto cuyo único elemento es -- x. Por ejemplo, -- unitario 'a' == fromList [('a',1)] -- --------------------------------------------------------------------- unitario :: a -> MultiConj a unitario x = M.singleton x 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Añadir y quitar elementos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- inserta :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (inserta x m) es el multiconjunto obtenido añadiéndole a m el -- elemento x. Por ejemplo, -- ghci> inserta 'a' (unitario 'a') -- fromList [('a',2)] -- ghci> inserta 'b' it -- fromList [('a',2),('b',1)] -- ghci> inserta 'a' it -- fromList [('a',3),('b',1)] -- ghci> inserta 'b' it -- fromList [('a',3),('b',2)] -- --------------------------------------------------------------------- inserta :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a inserta x = M.insertWith (+) x 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- listaAmc :: Ord a => [a] -> MultiConj a -- tal que (listaAmc xs) es el multiconjunto cuyos elementos son los de -- la lista xs. Por ejemplo, -- listaAmc "ababc" == fromList [('a',2),('b',2),('c',1)] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución listaAmc :: Ord a => [a] -> MultiConj a listaAmc xs = M.fromListWith (+) (zip xs (repeat 1)) -- 2ª solución listaAmc2 :: Ord a => [a] -> MultiConj a listaAmc2 = foldr inserta vacio -- Comparación de eficiencia -- λ> listaAmc (replicate 5000000 1) -- fromList [(1,5000000)] -- (1.52 secs, 1,368,870,760 bytes) -- λ> listaAmc2 (replicate 5000000 1) -- fromList [(1,5000000)] -- (4.20 secs, 2,385,729,056 bytes) -- -- λ> listaAmc (replicate 10000000 1) -- fromList [(1,10000000)] -- (2.97 secs, 2,732,899,360 bytes) -- λ> listaAmc2 (replicate 10000000 1) -- fromList *** Exception: stack overflow -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- insertaVarios :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (insertaVarios x n m) es el multiconjunto obtenido -- añadiéndole a m n copias del elemento x. Por ejemplo, -- ghci> insertaVarios 'a' 3 vacio -- fromList [('a',3)] -- ghci> insertaVarios 'b' 2 it -- fromList [('a',3),('b',2)] -- ghci> insertaVarios 'a' 2 it -- fromList [('a',5),('b',2)] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución insertaVarios :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a insertaVarios = M.insertWith (+) -- 2ª solución insertaVarios2 :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a insertaVarios2 x n m = foldr inserta m (replicate n x) -- Comparación de eficiencia -- λ> insertaVarios 1 5000000 vacio -- fromList [(1,5000000)] -- (0.00 secs, 0 bytes) -- λ> insertaVarios2 1 5000000 vacio -- fromList [(1,5000000)] -- (4.24 secs, 2,226,242,792 bytes) -- -- λ> insertaVarios 1 10000000 vacio -- fromList [(1,10000000)] -- (0.00 secs, 0 bytes) -- λ> insertaVarios2 1 10000000 vacio -- fromList *** Exception: stack overflow -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- borra :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borra x m) es el multiconjunto obtenido borrando una -- ocurrencia de x en m. Por ejemplo, -- ghci> borra 'a' (listaAmc "ababc") -- fromList [('a',1),('b',2),('c',1)] -- ghci> borra 'a' it -- fromList [('b',2),('c',1)] -- ghci> borra 'a' it -- fromList [('b',2),('c',1)] -- --------------------------------------------------------------------- borra :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a borra = M.update f where f m | m <= 1 = Nothing | otherwise = Just (m - 1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- borraVarias :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraVarias x n m) es el multiconjunto obtenido a partir del -- m borrando n ocurrencias del elemento x. Por ejemplo, -- ghci> listaAmc "ababcad" -- fromList [('a',3),('b',2),('c',1),('d',1)] -- ghci> borraVarias 'a' 2 (listaAmc "ababcad") -- fromList [('a',1),('b',2),('c',1),('d',1)] -- ghci> borraVarias 'a' 5 (listaAmc "ababcad") -- fromList [('b',2),('c',1),('d',1)] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición borraVarias :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a borraVarias x n = M.update (f n) x where f n m | m <= n = Nothing | otherwise = Just (m - n) -- 2ª definición borraVarias2 :: Ord a => a -> Int -> MultiConj a -> MultiConj a borraVarias2 x n m = foldr borra m (replicate n x) -- Comparación de eficiencia -- λ> borraVarias 1 5000000 (listaAmc (replicate 6000000 1)) -- fromList [(1,1000000)] -- (1.74 secs, 1,594,100,344 bytes) -- λ> borraVarias2 1 5000000 (listaAmc (replicate 6000000 1)) -- fromList [(1,1000000)] -- (6.79 secs, 4,424,846,104 bytes) -- -- λ> borraVarias 1 5000000 (listaAmc (replicate 10000000 1)) -- fromList [(1,5000000)] -- (3.02 secs, 2,768,894,680 bytes) -- λ> borraVarias2 1 5000000 (listaAmc (replicate 10000000 1)) -- fromList *** Exception: stack overflow -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- borraTodas :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraTodas x m) es el multiconjunto obtenido a partir del -- m borrando todas las ocurrencias del elemento x. Por ejemplo, -- ghci> borraTodas 'a' (listaAmc "ababcad") -- fromList [('b',2),('c',1),('d',1)] -- --------------------------------------------------------------------- borraTodas :: Ord a => a -> MultiConj a -> MultiConj a borraTodas = M.delete -- --------------------------------------------------------------------- -- Consultas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- esVacio :: MultiConj a -> Bool -- tal que (esVacio m) se verifica si el multiconjunto m es vacío. Por -- ejemplo, -- esVacio vacio == True -- esVacio (inserta 'a' vacio) == False -- --------------------------------------------------------------------- esVacio :: MultiConj a -> Bool esVacio = M.null -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- cardinal :: MultiConj a -> Int -- tal que (cardinal m) es el número de elementos (contando las -- repeticiones) del multiconjunto m. Por ejemplo, -- cardinal (listaAmc "ababcad") == 7 -- --------------------------------------------------------------------- cardinal :: MultiConj a -> Int cardinal = sum . M.elems -- 2ª definición cardinal2 :: MultiConj a -> Int cardinal2 m = sum [v | (k,v) <- M.assocs m] -- Comparación de eficiencia -- λ> cardinal (listaAmc [1..5000000]) -- 5000000 -- (5.92 secs, 9,071,879,144 bytes) -- λ> cardinal2 (listaAmc [1..5000000]) -- 5000000 -- (7.06 secs, 9,591,013,280 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- cardDistintos :: MultiConj a -> Int -- tal que (cardDistintos m) es el número de elementos (sin contar las -- repeticiones) del multiconjunto m. Por ejemplo, -- cardDistintos (listaAmc "ababcad") == 4 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición cardDistintos :: MultiConj a -> Int cardDistintos = M.size -- 2ª definición cardDistintos2 :: MultiConj a -> Int cardDistintos2 = length . M.keys -- Comparación de eficiencia -- λ> cardDistintos (listaAmc [1..10000000]) -- 10000000 -- (9.86 secs, 17,538,021,680 bytes) -- λ> cardDistintos2 (listaAmc [1..10000000]) -- 10000000 -- (10.14 secs, 18,092,597,184 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- pertenece :: Ord a => a -> MultiConj a -> Bool -- tal que (pertenece x m) se verifica si el elemento x pertenece al -- multiconjunto m. Por ejemplo, -- pertenece 'b' (listaAmc "ababcad") == True -- pertenece 'r' (listaAmc "ababcad") == False -- --------------------------------------------------------------------- pertenece :: Ord a => a -> MultiConj a -> Bool pertenece = M.member -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- noPertenece :: Ord a => a -> MultiConj a -> Bool -- tal que (noPertenece x m) se verifica si el elemento x no pertenece al -- multiconjunto m. Por ejemplo, -- noPertenece 'b' (listaAmc "ababcad") == False -- noPertenece 'r' (listaAmc "ababcad") == True -- --------------------------------------------------------------------- noPertenece :: Ord a => a -> MultiConj a -> Bool noPertenece = M.notMember -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- ocurrencias :: Ord a => a -> MultiConj a -> Int -- tal que (ocurrencias x m) es el número de ocurrencias de x en el -- multiconjunto m. Por ejemplo, -- ocurrencias 'a' (listaAmc "ababcad") == 3 -- ocurrencias 'r' (listaAmc "ababcad") == 0 -- --------------------------------------------------------------------- ocurrencias :: Ord a => a -> MultiConj a -> Int ocurrencias = M.findWithDefault 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15: Definir la función -- elementos :: Ord a => MultiConj a -> [a] -- tal que (elementos m) es la lista de los elementos (sin repeticiones) -- del multiconjunto m. Por ejemplo, -- elementos (listaAmc "ababcad") == "abcd" -- --------------------------------------------------------------------- elementos :: Ord a => MultiConj a -> [a] elementos = M.keys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.Definir la función -- esSubmultiConj :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> Bool -- tal que (esSubmultiConj m1 m2) se verifica si m1 es un -- submulticonjuto de m2 (es decir; los elementos de m1 pertenecen a m2 -- con un númro de ocurrencias igual o mayor). Por ejemplo, -- ghci> let m1 = listaAmc "ababcad" -- ghci> let m2 = listaAmc "bcbaadaa" -- ghci> m1 -- fromList [('a',3),('b',2),('c',1),('d',1)] -- ghci> m2 -- fromList [('a',4),('b',2),('c',1),('d',1)] -- ghci> esSubmultiConj m1 m2 -- True -- ghci> esSubmultiConj m2 m1 -- False -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esSubmultiConj :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> Bool esSubmultiConj m1 m2 = all (\x -> ocurrencias x m1 <= ocurrencias x m2) (elementos m1) -- 2ª definición esSubmultiConj2 :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> Bool esSubmultiConj2 = M.isSubmapOfBy (<=) -- Comparación de eficiencia -- λ> esSubmultiConj (listaAmc [1..1000000]) (listaAmc [1..1000000]) -- True -- (3.06 secs, 3,440,710,816 bytes) -- λ> esSubmultiConj2 (listaAmc [1..1000000]) (listaAmc [1..1000000]) -- True -- (1.71 secs, 3,058,187,728 bytes) -- -- λ> let m = listaAmc (replicate 10000000 1) in esSubmultiConj m m -- True -- (5.71 secs, 5,539,250,712 bytes) -- λ> let m = listaAmc (replicate 10000000 1) in esSubmultiConj2 m m -- True -- (5.87 secs, 5,468,766,496 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Elemento minimo y máximo de un multiconjunto -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir la función -- minimo :: MultiConj a -> a -- tal que (minimo m) es el mínimo elemento del multiconjunto m. Por -- ejemplo, -- minimo (listaAmc "cdacbab") == 'a' -- --------------------------------------------------------------------- minimo :: MultiConj a -> a minimo = fst . M.findMin -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- maximo :: MultiConj a -> a -- tal que (maximo m) es el máximo elemento del multiconjunto m. Por -- ejemplo, -- maximo (listaAmc "cdacbab") == 'd' -- --------------------------------------------------------------------- maximo :: MultiConj a -> a maximo = fst . M.findMax -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- borraMin :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraMin m) es el multiconjunto obtenido eliminando una -- ocurrencia del menor elemento de m. Por ejemplo, -- ghci> borraMin (listaAmc "cdacbab") -- fromList [('a',1),('b',2),('c',2),('d',1)] -- ghci> borraMin it -- fromList [('b',2),('c',2),('d',1)] -- --------------------------------------------------------------------- borraMin :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a borraMin m = borra (minimo m) m -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Definir la función -- borraMax :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraMax m) es el multiconjunto obtenido eliminando una -- ocurrencia del mayor elemento de m. Por ejemplo, -- ghci> borraMax (listaAmc "cdacbab") -- fromList [('a',2),('b',2),('c',2)] -- ghci> borraMax it -- fromList [('a',2),('b',2),('c',1)] -- --------------------------------------------------------------------- borraMax :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a borraMax m = borra (maximo m) m -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Definir la función -- borraMinTodo :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraMinTodo m) es el multiconjunto obtenido eliminando -- todas las ocurrencias del menor elemento de m. Por ejemplo, -- ghci> borraMinTodo (listaAmc "cdacbab") -- fromList [('b',2),('c',2),('d',1)] -- ghci> borraMinTodo it -- fromList [('c',2),('d',1)] -- --------------------------------------------------------------------- borraMinTodo :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a borraMinTodo = M.deleteMin -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Definir la función -- borraMaxTodo :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (borraMaxTodo m) es el multiconjunto obtenido eliminando -- todas las ocurrencias del mayor elemento de m. Por ejemplo, -- ghci> borraMaxTodo (listaAmc "cdacbab") -- fromList [('a',2),('b',2),('c',2)] -- ghci> borraMaxTodo it -- fromList [('a',2),('b',2)] -- --------------------------------------------------------------------- borraMaxTodo :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a borraMaxTodo = M.deleteMax -- --------------------------------------------------------------------- -- Operaciones: unión, intersección y diferencia de multiconjuntos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Definir la función -- union :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (union m1 m2) es la unión de los multiconjuntos m1 y m2. Por -- ejemplo, -- ghci> let m1 = listaAmc "cdacba" -- ghci> let m2 = listaAmc "acec" -- ghci> m1 -- fromList [('a',2),('b',1),('c',2),('d',1)] -- ghci> m2 -- fromList [('a',1),('c',2),('e',1)] -- ghci> union m1 m2 -- fromList [('a',3),('b',1),('c',4),('d',1),('e',1)] -- --------------------------------------------------------------------- union :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a union = M.unionWith (+) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 24. Definir la función -- unionG :: Ord a => [MultiConj a] -> MultiConj a -- tal que (unionG ms) es la unión de la lista de multiconjuntos ms. Por -- ejemplo, -- ghci> unionG (map listaAmc ["aba", "cda", "bdb"]) -- fromList [('a',3),('b',3),('c',1),('d',2)] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición unionG :: Ord a => [MultiConj a] -> MultiConj a unionG = M.unionsWith (+) -- 2ª definición unionG2 :: Ord a => [MultiConj a] -> MultiConj a unionG2 = foldr union vacio -- Comparación de eficiencia -- λ> unionG (replicate 1000000 (listaAmc "abc")) -- fromList [('a',1000000),('b',1000000),('c',1000000)] -- (1.04 secs, 693,213,488 bytes) -- λ> unionG2 (replicate 1000000 (listaAmc "abc")) -- fromList [('a',1000000),('b',1000000),('c',1000000)] -- (1.40 secs, 832,739,480 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 25. Definir la función -- diferencia :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (diferencia m1 m2) es la diferencia de los multiconjuntos m1 -- y m2. Por ejemplo, -- ghci> diferencia (listaAmc "abacc") (listaAmc "dcb") -- fromList [('a',2),('c',1)] -- --------------------------------------------------------------------- diferencia :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a diferencia = M.differenceWith f where f x y | x <= y = Nothing | otherwise = Just (x - y) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 26. Definir la función -- interseccion :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (interseccion m1 m2) es la intersección de los multiconjuntos -- m1 y m2. Por ejemplo, -- ghci> interseccion (listaAmc "abcacc") (listaAmc "bdcbc") -- fromList [('b',1),('c',2)] -- --------------------------------------------------------------------- interseccion :: Ord a => MultiConj a -> MultiConj a -> MultiConj a interseccion = M.intersectionWith min -- --------------------------------------------------------------------- -- Filtrado y partición -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 27. Definir la función -- filtra :: Ord a => (a -> Bool) -> MultiConj a -> MultiConj a -- tal que (filtra p m) es el multiconjunto de los elementos de m que -- verifican la propiedad p. Por ejemplo, -- ghci> filtra (>'b') (listaAmc "abaccaded") -- fromList [('c',2),('d',2),('e',1)] -- --------------------------------------------------------------------- filtra :: Ord a => (a -> Bool) -> MultiConj a -> MultiConj a filtra p = M.filterWithKey (\k _ -> p k) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 28. Definir la función -- particion :: Ord a => -- (a -> Bool) -> MultiConj a -> (MultiConj a,MultiConj a) -- tal que (particion p m) es el par cuya primera componente consta de -- los elementos de m que cumplen p y la segunda por los que no lo -- cumplen. Por ejemplo, -- ghci> particion (>'b') (listaAmc "abaccaded") -- (fromList [('c',2),('d',2),('e',1)],fromList [('a',3),('b',1)]) -- --------------------------------------------------------------------- particion :: Ord a => (a -> Bool) -> MultiConj a -> (MultiConj a,MultiConj a) particion p = M.partitionWithKey (\k _ -> p k) -- --------------------------------------------------------------------- -- Función aplicativa -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 29. Definir la función -- mapMC :: Ord b => (a -> b) -> MultiConj a -> MultiConj b -- tal que (mapMC f m) es el multiconjunto obtenido aplicando la función -- f a todos los elementos de m. Por ejemplo, -- ghci> mapMC (:"N") (listaAmc "abaccaded") -- fromList [("aN",3),("bN",1),("cN",2),("dN",2),("eN",1)] -- --------------------------------------------------------------------- mapMC :: Ord b => (a -> b) -> MultiConj a -> MultiConj b mapMC = M.mapKeys |