I1M2018: Ejercicios de evaluación perezosa y listas infinitas en Haskell
En clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentando las soluciones los 6 primeros ejercicios de evaluación perezosa y listas infinitas de la 10ª relación.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presentan ejercicios con listas infinitas y -- evaluación perezosa. Estos ejercicios corresponden al tema 10 que -- se encuentra en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-18/temas/tema-10.html -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir, por recursión, la función -- repite :: a -> [a] -- tal que (repite x) es la lista infinita cuyos elementos son x. Por -- ejemplo, -- repite 5 == [5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,... -- take 3 (repite 5) == [5,5,5] -- -- Nota: La función repite es equivalente a la función repeat definida -- en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición: repite1 :: a -> [a] repite1 x = x : repite1 x -- 2ª definición: repite2 :: a -> [a] repite2 x = ys where ys = x:ys -- La 2ª definición es más eficiente: -- ghci> last (take 100000000 (repite1 5)) -- 5 -- (46.56 secs, 16001567944 bytes) -- ghci> last (take 100000000 (repite2 5)) -- 5 -- (2.34 secs, 5601589608 bytes) -- Usaremos como repite la 2ª definición repite :: a -> [a] repite = repite2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir, por comprensión, la función -- repiteC :: a -> [a] -- tal que (repiteC x) es la lista infinita cuyos elementos son x. Por -- ejemplo, -- repiteC 5 == [5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,... -- take 3 (repiteC 5) == [5,5,5] -- -- Nota: La función repiteC es equivalente a la función repeat definida -- en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- repiteC :: a -> [a] repiteC x = [x | _ <- [1..]] -- La función repite2 es más eficiente que repiteC -- ghci> last (take 10000000 (repiteC 5)) -- 5 -- (6.05 secs, 1,997,740,536 bytes) -- ghci> last (take 10000000 (repite2 5)) -- 5 -- (0.31 secs, 541,471,280 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Definir, por recursión, la función -- repiteFinitaR :: Int-> a -> [a] -- tal que (repiteFinitaR n x) es la lista con n elementos iguales a -- x. Por ejemplo, -- repiteFinitaR 3 5 == [5,5,5] -- -- Nota: La función repiteFinitaR es equivalente a la función replicate -- definida en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- repiteFinitaR :: Int -> a -> [a] repiteFinitaR n x | n <= 0 = [] | otherwise = x : repiteFinitaR (n-1) x -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir, por comprensión, la función -- repiteFinitaC :: Int-> a -> [a] -- tal que (repiteFinitaC n x) es la lista con n elementos iguales a -- x. Por ejemplo, -- repiteFinitaC 3 5 == [5,5,5] -- -- Nota: La función repiteFinitaC es equivalente a la función replicate -- definida en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- repiteFinitaC :: Int -> a -> [a] repiteFinitaC n x = [x | _ <- [1..n]] -- La función repiteFinitaC es más eficiente que repiteFinitaR -- ghci> last (repiteFinitaR 10000000 5) -- 5 -- (17.04 secs, 2,475,222,448 bytes) -- ghci> last (repiteFinitaC 10000000 5) -- 5 -- (5.43 secs, 1,511,227,176 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Definir, usando repite, la función -- repiteFinita :: Int-> a -> [a] -- tal que (repiteFinita n x) es la lista con n elementos iguales a -- x. Por ejemplo, -- repiteFinita 3 5 == [5,5,5] -- -- Nota: La función repiteFinita es equivalente a la función replicate -- definida en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- repiteFinita :: Int -> a -> [a] repiteFinita n x = take n (repite x) -- La función repiteFinita es más eficiente que repiteFinitaC -- ghci> last (repiteFinitaC 10000000 5) -- 5 -- (5.43 secs, 1,511,227,176 bytes) -- ghci> last (repiteFinita 10000000 5) -- 5 -- (0.29 secs, 541,809,248 bytes) -- 2ª definición repiteFinita2 :: Int -> a -> [a] repiteFinita2 n = take n . repite -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.4. Comprobar con QuickCheck que las funciones -- repiteFinitaR, repiteFinitaC y repiteFinita son equivalentes a -- replicate. -- -- Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como -- se indica a continuación -- quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_repiteFinitaEquiv -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_repiteFinitaEquiv :: Int -> Int -> Bool prop_repiteFinitaEquiv n x = repiteFinitaR n x == y && repiteFinitaC n x == y && repiteFinita n x == y where y = replicate n x -- La comprobación es -- ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=20}) prop_repiteFinitaEquiv -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.5. Comprobar con QuickCheck que la longitud de -- (repiteFinita n x) es n, si n es positivo y 0 si no lo es. -- -- Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como -- se indica a continuación -- quickCheckWith (stdArgs {maxSize=30}) prop_repiteFinitaLongitud -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_repiteFinitaLongitud :: Int -> Int -> Bool prop_repiteFinitaLongitud n x | n > 0 = length (repiteFinita n x) == n | otherwise = null (repiteFinita n x) -- La comprobación es -- ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=30}) prop_repiteFinitaLongitud -- +++ OK, passed 100 tests. -- La expresión de la propiedad se puede simplificar prop_repiteFinitaLongitud2 :: Int -> Int -> Bool prop_repiteFinitaLongitud2 n x = length (repiteFinita n x) == (if n > 0 then n else 0) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.6. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de -- (repiteFinita n x) son iguales a x. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_repiteFinitaIguales :: Int -> Int -> Bool prop_repiteFinitaIguales n x = all (==x) (repiteFinita n x) -- La comprobación es -- ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=30}) prop_repiteFinitaIguales -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir, por comprensión, la función -- ecoC :: String -> String -- tal que (ecoC xs) es la cadena obtenida a partir de la cadena xs -- repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición: el -- primer elemento se repite 1 vez, el segundo 2 veces y así -- sucesivamente. Por ejemplo, -- ecoC "abcd" == "abbcccdddd" -- --------------------------------------------------------------------- ecoC :: String -> String ecoC xs = concat [replicate i x | (i,x) <- zip [1..] xs] -- 2ª definición ecoC1 :: String -> String ecoC1 = concat . zipWith replicate [1..] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Definir, por recursión, la función -- ecoR :: String -> String -- tal que (ecoR xs) es la cadena obtenida a partir de la cadena xs -- repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición: el -- primer elemento se repite 1 vez, el segundo 2 veces y así -- sucesivamente. Por ejemplo, -- ecoR "abcd" == "abbcccdddd" -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición ecoR :: String -> String ecoR = aux 1 where aux _ [] = [] aux n (x:xs) = replicate n x ++ aux (n+1) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir, por recursión, la función -- itera :: (a -> a) -> a -> [a] -- tal que (itera f x) es la lista cuyo primer elemento es x y los -- siguientes elementos se calculan aplicando la función f al elemento -- anterior. Por ejemplo, -- ghci> itera (+1) 3 -- [3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,{Interrupted!} -- ghci> itera (*2) 1 -- [1,2,4,8,16,32,64,{Interrupted!} -- ghci> itera (`div` 10) 1972 -- [1972,197,19,1,0,0,0,0,0,0,{Interrupted!} -- -- Nota: La función itera es equivalente a la función iterate definida -- en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- itera :: (a -> a) -> a -> [a] itera f x = x : itera f (f x) -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir, por recursión, la función -- agrupaR :: Int -> [a] -> [[a]] -- tal que (agrupaR n xs) es la lista formada por listas de n elementos -- consecutivos de la lista xs (salvo posiblemente la última que puede -- tener menos de n elementos). Por ejemplo, -- ghci> agrupaR 2 [3,1,5,8,2,7] -- [[3,1],[5,8],[2,7]] -- ghci> agrupaR 2 [3,1,5,8,2,7,9] -- [[3,1],[5,8],[2,7],[9]] -- ghci> agrupaR 5 "todo necio confunde valor y precio" -- ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"] -- ---------------------------------------------------------------------------- agrupaR :: Int -> [a] -> [[a]] agrupaR _ [] = [] agrupaR n xs = take n xs : agrupaR n (drop n xs) -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir, de manera no recursiva con iterate, la función -- agrupa :: Int -> [a] -> [[a]] -- tal que (agrupa n xs) es la lista formada por listas de n elementos -- consecutivos de la lista xs (salvo posiblemente la última que puede -- tener menos de n elementos). Por ejemplo, -- ghci> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7] -- [[3,1],[5,8],[2,7]] -- ghci> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7,9] -- [[3,1],[5,8],[2,7],[9]] -- ghci> agrupa 5 "todo necio confunde valor y precio" -- ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"] -- ---------------------------------------------------------------------------- agrupa :: Int -> [a] -> [[a]] agrupa n = takeWhile (not . null) . map (take n) . iterate (drop n) -- Puede verse su funcionamiento en el siguiente ejemplo, -- iterate (drop 2) [5..10] -- ==> [[5,6,7,8,9,10],[7,8,9,10],[9,10],[],[],... -- map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10]) -- ==> [[5,6],[7,8],[9,10],[],[],[],[],... -- takeWhile (not . null) (map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10])) -- ==> [[5,6],[7,8],[9,10]] -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Comprobar con QuickCheck que todos los grupos de -- (agrupa n xs) tienen longitud n (salvo el último que puede tener una -- longitud menor). -- ---------------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_AgrupaLongitud :: Int -> [Int] -> Property prop_AgrupaLongitud n xs = n > 0 && not (null gs) ==> and [length g == n | g <- init gs] && 0 < length (last gs) && length (last gs) <= n where gs = agrupa n xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_AgrupaLongitud -- OK, passed 100 tests. -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.4. Comprobar con QuickCheck que combinando todos los -- grupos de (agrupa n xs) se obtiene la lista xs. -- ---------------------------------------------------------------------------- -- La segunda propiedad es prop_AgrupaCombina :: Int -> [Int] -> Property prop_AgrupaCombina n xs = n > 0 ==> concat (agrupa n xs) == xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_AgrupaCombina -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier -- número entero positivo: -- * Si el número es par, se divide entre 2. -- * Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1. -- Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir, -- las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita -- de 13 es -- 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,... -- Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir, -- se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura -- de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número -- con el que comencemos. Ejemplos: -- * Empezando en n = 6 se obtiene 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. -- * Empezando en n = 11 se obtiene: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, -- 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. -- * Empezando en n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta -- 9232 antes de descender a 1: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, -- 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, -- 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, -- 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, -- 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, -- 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, -- 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, -- 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, -- 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, -- 16, 8, 4, 2, 1. -- -- Definir la función -- siguiente :: Integer -> Integer -- tal que (siguiente n) es el siguiente de n en la sucesión de -- Collatz. Por ejemplo, -- siguiente 13 == 40 -- siguiente 40 == 20 -- --------------------------------------------------------------------- siguiente :: Integer -> Integer siguiente n | even n = n `div` 2 | otherwise = 3*n+1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Definir, por recursión, la función -- collatzR :: Integer -> [Integer] -- tal que (collatzR n) es la órbita de CollatzR de n hasta alcanzar el -- 1. Por ejemplo, -- collatzR 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1] -- --------------------------------------------------------------------- collatzR :: Integer -> [Integer] collatzR 1 = [1] collatzR n = n : collatzR (siguiente n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.3. Definir, sin recursión y con iterate, la función -- collatz :: Integer -> [Integer] -- tal que (collatz n) es la órbita de Collatz d n hasta alcanzar el -- 1. Por ejemplo, -- collatz 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1] -- Indicación: Usar takeWhile e iterate. -- --------------------------------------------------------------------- collatz :: Integer -> [Integer] collatz n = takeWhile (/=1) (iterate siguiente n) ++ [1] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.4. Definir la función -- menorCollatzMayor :: Int -> Integer -- tal que (menorCollatzMayor x) es el menor número cuya órbita de -- Collatz tiene más de x elementos. Por ejemplo, -- menorCollatzMayor 100 == 27 -- --------------------------------------------------------------------- menorCollatzMayor :: Int -> Integer menorCollatzMayor x = head [y | y <- [1..], length (collatz y) > x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.5. Definir la función -- menorCollatzSupera :: Integer -> Integer -- tal que (menorCollatzSupera x) es el menor número cuya órbita de -- Collatz tiene algún elemento mayor que x. Por ejemplo, -- menorCollatzSupera 100 == 15 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición menorCollatzSupera :: Integer -> Integer menorCollatzSupera x = head [n | n <- [1..], any (> x) (collatzR n)] -- 2ª definición menorCollatzSupera2 :: Integer -> Integer menorCollatzSupera2 x = head [y | y <- [1..], maximum (collatz y) > x] |